江苏省泰州中学2020-2021学年高二10月月度质量检测数学试题5182.pdf
江苏省泰州中学 2020-2021 学年第一学年第一学期月度质量检测答案 高二数学试卷 2020.10.06 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.已知数列 na通项公式为 211nnan，则6a（）A.35 B.11 C.35 D.11 2.对于常数 m、n，“mn0”是“方程 mx2ny21 的曲线是双曲线的”（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3.若抛物线 x2ay 的准线与椭圆2214xy相切，则 a（）A.4 或 4 B.4 C.8 或 8 D.8 4.周髀算经中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为：（）A.15.5尺 B.12.5尺 C.10.5尺 D.9.5尺 5.已知等差数列 na的首项和公差均不为 0，且满足2527aaa，则37112810aaaaaa的值为（）A.1314 B.1213 C.1112 D.13 6.设双曲线2211612xy的左、右焦点分别为12,F F，过1F的直线l交双曲线左支于,A B两点，则22|AFBF的最小值为（）A20 B21 C22 D23 7.已知点P是椭圆222210 xyabab上的一点，1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，点P到原点O的距离为焦距的一半，且12PFPFa，则椭圆的离心率为（）A64 B104 C32 D22 8.一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（）A1 B2 C2 D2.5 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分 9.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在 上的射影为，则（）A若，则 B以为直径的圆与准线 相切 C设，则 D过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 10.下列命题正确的是（）A.给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式 B.若等差数列 na的公差0d，则 na是递增数列 C.若 a,b,c 成等差数列，则1 1 1,a b c可能成等差数列 D.若数列 na是等差数列，则数列12nnaa也是等差数列 11.下列判断中正确的是（）A在ABC中，“60B”的充要条件是“A，B，C成等差数列”B“AB”是“sinAsinB”的充要条件 C.“ab”是“22acbc”的必要不充分条件.D.命题“xR，210 xx”的否定为“xR，210 xx”.12.已知 A、B 两点的坐标分别是(1,0),(1,0)，直线 AP、BP 相交于点 P，且两直线的斜率之积为 m，则下列结论正确的是（）A当1m 时，点 P 的轨迹圆（除去与 x 轴的交点）B当10m 时，点 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆（除去与 x 轴的交点）C当01m时，点 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的抛物线 D当1m时，点 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的双曲线（除去与 x 轴的交点）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分 13.已知命题 p:x0,4，tan xm，命题 q:0,3x，使得不等式220 xxm成立，若命题 p 为真命题，则实数m的最小值为 ;若命题 p 和命题 q 有且仅有一个是真命题，则实数 m 的取值范围是_.14.过点（3，-1）且与双曲线2213xy有公共渐近线的双曲线标准方程是_.15.若数列 na满足*111 (,)nndnNdaa为常数，则称数列 na为调和数列.已知数列1nb为调和数列，12320300,bbbb且378bb则16b_.16.已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在等差数列 na中，已知470a，21100a，（1）求出首项1a与公差d，并写出通项公式；（2）na中有多少项属于区间18,18？18.已知命题 p：实数 m 满足的方程221(0)34xyamama表示双曲线，命题 q：实数 m 满足的方程x2m1 y22m1 表示焦点在 y 轴上的椭圆.（1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；（2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围 19.已知数列an中，a135，an21an1(n2，nN*)，数列bn满足 bn1an1(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由 20.已知双曲线 C 的离心率为2 33，点2 3,1在双曲线上，且抛物线22ypx（0p）的焦点F 与双曲线的一个焦点重合.（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点 F 作一条直线 l 交抛物线于 A，B 两点，当直线 l 的斜率为3时，求线段AB的长度.21.已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32，其右顶点为A，下顶点为B，定点0,2C，ABC的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于,P Q两点，直线,BP BQ分别与x轴交于,M N两点.（1）求椭圆C的方程；（2）试探究,M N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.22.已知椭圆2222:10 xyCabab的左右顶点分别为 A和 B，离心率为12，且点1,23T在椭圆上。（1）求椭圆C的方程；（2）过点 M（1，0）作一条斜率不为 0 的直线交椭圆于 P,Q 两点，连接 AP、BQ，直线 AP 与 BQ交于点 N，探求点 N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.江苏省泰州中学 2020-2021 学年第一学年第一学期月度质量检测答案 高二数学试卷 2020.10.06 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.已知数列 na的通项公式为 211nnan，则6a（）A.35 B.11 C.35 D.11 答案：A 2.对于常数 m、n，“mn0”是“方程 mx2ny21 的曲线是双曲线的”（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案：C 3.若抛物线 x2ay 的准线与椭圆2214xy相切，则 a（）A.4 或 4 B.4 C.8 或 8 D.8 答案：A 4.周髀算经中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为：（）A.15.5尺 B.12.5尺 C.10.5尺 D.9.5尺 答案：A 5.已知等差数列 na的首项和公差均不为 0，且满足2527aaa，则37112810aaaaaa的值为（）A.1314 B.1213 C.1112 D.13 答案：B 6.设双曲线2211612xy的左、右焦点分别为12,F F，过1F的直线l交双曲线左支于,A B两点，则 22|AFBF的最小值为（）A20 B21 C22 D23 答案：C 7.已知点P是椭圆222210 xyabab上的一点，1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，点P到原点O的距离为焦距的一半，且12PFPFa，则椭圆的离心率为（）A64 B104 C32 D22 答案：B 因为P是椭圆上一点，1F，2F分别为左、右焦点，则122PFPFa，而12PFPFa，则132PFa，212PFa 又因为点P到原点O的距离为焦距的一半，即12POOFOF，故三角形12PFF为直角三角形，则2221212PFPFFF，即 22231222aac，解得2258ca，所以104e 8.一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（）A1 B2 C2 D2.5 答案：A 清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如下图所示，圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交，设半径为，圆心为，圆方程为：代入双曲线方程，得，要使清洁球到达底部，.二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分 9.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在 上的射影为，则（）A若，则 B以为直径的圆与准线 相切 C设，则 D过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 答案：ABC 10.下列命题正确的是（）A.给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式 B.若等差数列 na的公差0d，则 na是递增数列 C.若 a,b,c 成等差数列，则1 1 1,a b c可能成等差数列 D.若数列 na是等差数列，则数列12nnaa也是等差数列 答案：BCD 11.下列判断中正确的是（）A在ABC中，“60B”的充要条件是“A，B，C成等差数列”B“AB”是“sinAsinB”的充要条件 C.“ab”是“22acbc”的必要不充分条件.D.命题“xR，210 xx”的否定为“xR，210 xx”.答案：AC 12.已知 A、B 两点的坐标分别是(1,0),(1,0)，直线 AP、BP 相交于点 P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（）A当1m 时，点 P 的轨迹圆（除去与 x 轴的交点）B当10m 时，点 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆（除去与 x 轴的交点）C当01m时，点 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的抛物线 D当1m时，点 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的双曲线（除去与 x 轴的交点）答案：ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分 13.已知命题 p:x0,4，tan xm，命题 q:0,3x，使得不等式220 xxm成立，若命题 p 为真命题，则实数m的最小值为 ;若命题 p 和命题 q 有且仅有一个是真命题，则实数 m 的取值范围是_.答案：1;31m 14.过点（3，-1）且与双曲线2213xy有公共渐近线的双曲线标准方程是_.答案：22162xy 15.若数列 na满足*111 (,)nndnNdaa为常数，则称数列 na为调和数列.已知数列1nb为调和数列，12320300,bbbb且378bb则16b_.答案：26 16.已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为_.答案：（0，3）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在等差数列 na中，已知470a，21100a，（1）求出首项1a与公差d，并写出通项公式；（2）na中有多少项属于区间18,18？解：设等差数列 na的公差为 d，由470a，21100a，得 4121137020100aadaad，解得1100,10ad 1(1)100(1)(10)10110naandnn （2）由181010018n，得9.212.8n，*10,11,12,nNn共三项。18.已知命题 p：实数 m 满足的方程221(0)34xyamama表示双曲线，命题 q：实数 m 满足的方程x2m1 y22m1 表示焦点在 y 轴上的椭圆.（1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；（2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围 解：（1）若命题p为真，即方程221(0)34xyamama表示双曲线，所以340mama，解得34ama，即3,4maa.（2）若命题q为真，即x2m1y22m1 表示的焦点在 y 轴上的椭圆成立，解得312m，记 B=3(1,)2.由(1)知，记 A=3,4aa 因为p是q的充分不必要条件，所以AB，故33421aa或33421aa，解得1338a.所以实数a的取值范围为1338a.19.已知数列an中，a135，an21an1(n2，nN*)，数列bn满足 bn1an1(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由 解：（1）证明：因为 bn1an1(nN*)，an21an1(n2，nN*)，所以 1111111111 11121nnnnnnbbaaaa 又111512ba，所以数列bn是等差数列。（2）由（1）得，1527(1)122nnnbna，所以2127nan.当*4,nnN数列an单调递减；当*3,nnN数列an单调递减.又1343,1,35aaa，当4n时，1na.所以，数列an的最大项43a，最小项31a .20.已知双曲线 C 的离心率为2 33，点2 3,1在双曲线上，且抛物线22ypx（0p）的焦点F 与双曲线的一个焦点重合.（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点 F 作一条直线 l 交抛物线于 A，B 两点，当直线 l 的斜率为3时，求线段AB的长度.解：（1）设双曲线的方程为22221xyab（0a，0b），由题设2 33ca 所以33ba，又点2 3,1在双曲线上，所以221211ab 由解得29a，23b，故双曲线标准方程为22193xy；设双曲线的焦距为2c，因为22212cab，得2 3c，所以抛物线焦点为2 3,0F，即2 34 32pp，所以抛物线的标准方程为28 3yx.（2）设直线32 3yx交抛物线于11,A x y，22,B x y，联立232 38 3yxyx得2320 3360 xx即323180 xx，故1220 33xx.由抛物线定义知12pAFx，22pBFx，所以1220 332 34 333ABxxp 21.已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32，其右顶点为A，下顶点为B，定点0,2C，ABC的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于,P Q两点，直线,BP BQ分别与x轴交于,M N两点.（1）求椭圆C的方程；（2）试探究,M N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.解：（1）由已知，,A B的坐标分别是,0,0,A aBb由于ABC的面积为3，1(2)32b a，又由32e 得2ab，解得：=1b，或=3b（舍去），2,=1ab 椭圆方程为2214xy；（2）设直线PQ的方程为2ykx，,P Q的坐标分别为1122,P x yQ x y 则直线BP的方程为1111yyxx，令0y，得点M的横坐标111Mxxy 直线BQ的方程为2211yyxx，令0y，得点N的横坐标221Nxxy 1212(1)(1)MNx xxxyy1212(3)(3)x xkxkx 12212123()9x xk x xk xx 把直线2ykx代入椭圆2214xy得22(14)16120kxkx 由韦达定理得1221214x xk,1221614kxxk 222221214124891414MNkx xkkkk22212412489363kkk，是定值 22.已知椭圆2222:10 xyCabab的左右顶点分别为 A 和 B，离心率为12，且点1,23T在椭圆上。（1）求椭圆C的方程；（2）过点 M（1，0）作一条斜率不为 0 的直线交椭圆于 P,Q 两点，连接 AP、BQ，直线 AP 与 BQ交于点 N，探求点 N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.解：（1）由题设，12ca，221914ab，且222abc 所以224,3ab，椭圆方程为22143xy；（2）由（1）知，A（-2，0），B（2，0），设直线PQ的方程为1xmy，联立方程组221431xyxmy，得22(34)690mymy，因为0，设1122,P x yQ x y，所以12122269,3434myyy ymm，设直线AP的方程为11(2)2yyxx，直线BQ的方程为22(2)2yyxx，则 1212(2)(2)22yyxxxx，即21211212(2)(3)22(2)(1)yxy myxxy xy my，而12123()2my yyy,121239222313222yyxxyy，x=4，即直线AP与直线BQ的交点在直线 x=4 上。
