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圆盘定理及其应用 摘要：给除了矩阵特征值的定义及确定特征值范围的圆盘定理，并对特征值估计和定位的圆盘定理进行了深入的研究，同时对对角占优实矩阵给出了更加精确的估计和定位特征值的方法。由于圆盘定理对估计特征值有其它方法不可替代的优势，所以圆盘定理在各个行业得到了广泛的应用。在集成电路加工工艺中，有一种工艺是离子注入，它可比较精确的控制离子的注入量和注入位置。但离子注入后会对半导体的晶格结构造成影响，为了让破坏的晶格得到修复，在离子注入后要对半导体进行退火的加工工艺。本文就利用圆盘定理，基于模拟退火法提出了一种新的算法，新算法用于解决实特征值的求解问题，具有通用姓，并且具有很高的稳定性。在精确度要求极高的集成电路退火工艺中，一定会有很好的应用。关键字：圆盘定理 矩阵特征值 集成电路退火工艺 退火算法 一 引言 设nniiCaA)(，如果存在C，nCx，且x0，满足xAx，则称复数为方阵A特征值，x为对应于的特征向量 1。我们知道对每一个方阵nniiCaA)(在复数域内有n个特征值。特征值理论及应用渗透到数学和其他科学的很多领域。其主要方面是如何求出n个特征值。求方阵n个特征值从理论上讲是求：0)det(AE，即0111 nnnnkkk的根。当n5时，特征方程没有一般的求根公式。因此，关于特征值的研究转入两方面内容：第一，近似求特征值；第二，特征值的估计和定位2。事实上，在很多应用方面往往不必精确求出特征值，而是只要一个粗略的估计就可以了。例如在微分方程和自动控制理论研究中，通过估计矩阵A的特征值是否均为负实部，便可判定系统的稳定性；与差分方法的稳定性有关的问题、与线性方程组迭代法求解有关问题，需要估计矩阵特征值是否均落在单位圆内等。因此，特征值的估计和定位一直是人们关注的课题。现阶段各个行业对矩阵论中特征值的应用也不必精确求出，只要一个估计和定位即可，所以，目前研究阶段处在对特征值估计和定位上。在集成电路加工工艺中，有一个重要的工序就是退火，退火的目的是为了把上一步加工工序中离子注入引起的晶格缺陷修复。在模拟退火的算法中，矩阵特征值的估计和定位也尤其显得重要。对于矩阵特征值的估计和定位，一个很好的定理在其中得到了普遍的作用。它就是圆盘定理，它很好的解决了上述一系列的问题。二 预备知识 1 矩阵特征值的定义:设nniiCaA)(，如果存在C，nCx，且x0，满足xAx，则称复数为方阵A特征值，x为对应于的特征向量。2 Gerschgorin圆盘定理 设nniiCaA)(，则A的所有特征值n,21 （可相重）都落在复平面的n个圆盘iiiiPazzAD|)(其中 ni,2,1 的并集)(1ADiniU中，其中|,|1nijijiiaPni,2,1 。并A的n个圆盘中S个圆盘构成一个连通域G，与其余n-s个圆盘互不相交，则A中仅有S个特征值落在G内。3 Ostrowski圆盘定理 设10,aCAnn，为A的任一特征值，则至少有一个i，ni 1，使得其中|,|1nijijiiaP，|,|1nijijiiaQ即A的n个特征值都落在下面n个圆盘 aiaiiiiQPazzAD1|)(其中 ni,2,1 的并集)(1ADiniU中。Gerschgorin 定理是用方阵)(ijaA 本身的元素及其ija的简单函数估计A的特征值的位置的基础定理。从定理可以得到：（1）孤立的G氏圆盘中含有且仅含有一个特征值，而 S 个连通的G氏圆盘中恰含有 S 个特征值，而不保证每个圆盘都一定会有A的特征值；（2）如果A的n个圆盘两两不相交，则A有n个互异的特征值，且每一种特征值恰好在孤立的圆盘内。因此，通过不断缩小圆盘半径，孤立各圆盘就可以近似估计和定位A的特征值。三 圆盘定理的应用 圆盘定理最早是由 Gersgorin 在 1931 年提出的，是特征值估计中最古老，最简单和最优美的结果之一3。由于圆盘定理对特征值估计和定位的优越性，在后来的发展中，圆盘定理出现了各种推理和改进的定理。在此基础上，各个行业对圆盘定理的的应用也越来越广泛。本文就对圆盘定理在对角占优实矩阵的特征值估计和模拟退火算法在矩阵实特征值中的求解问题进行了分析和讨论。1 对角占优实矩阵的特征值估计 由两个圆盘定理出发，可以得到实用性较强的其它几个定理来估计和定位矩阵的特征值。可是，不论哪个定理，都是选取主对角元为圆心，以一定的半径的圆盘来定位特征值。这种方法的确是一种很不错的方法，但是在实际应用中我们注意到，用这种方法去估计所有矩阵的特征值的整体分布是很好的，但是它很难估计出每个特征值的具体大小。经过深入的研究发现，产生这一问题的根本原因是圆盘圆心的选择。比如用圆盘iR去覆盖特征值i，如果ija与i相差较大，则定会产生圆盘半径较大的现象，由于ija相当于i的偏移量不同，所以在很多情况下，连个圆盘很难仅仅通过调整半径的方法达到孤立。因此，ija相当于i的偏移量将直接影响该方法的可行性和实用性。但是对于对角占优矩阵，它的主对角元ija相当于 i的偏移量不会太大。故通过作简单相似变换的方法来适当缩小圆盘半径就可以达到孤立圆盘的目的。下面我们就可以研究在简单相似变换下，对角占优矩阵的一些性质。（1）对角占优矩阵：设nnCA，nnijaA)(，若)(1jiaanjijii i=1，2，n。则称A是行对角占优的矩阵。类似地，可以定义列对角占优矩阵。（2）圆盘定理基础上对对角占优的矩阵进行更精确的定位和估计：设nnCA，有 n 个数 bi0(i=1,2,n)，令ir=ijnijjijbba1（i=1,2,n)）。选择 bi的原则就是使变换后的连通区域变成孤立区域，则特征值分布在n 个不同的孤立圆盘中，这样就使得对特征值的估计和定位更加精确。参考文献 1 蒋正新等.矩阵论及其应用.北京,北京航空学院出版社,1988.2 陈筠青,张锡藩,单峰.探讨矩阵特征值的估计和定位J.沈阳航空工业学院学报,1998,15(4):41-45.3 申淑谦.Gersgorin 圆盘定理专题的教学讨论J.中国科教创新导刊,2010(8):82.
