高中数学必修5-均值不等式31417.pdf
.1/4 均值不等式复习（学案）基础知识回顾 1均值不等式：abab2(1)均值不等式成立的条件：_.(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号 2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)baab2(a，b同号)(3)abab22(a，bR)(4)a2b22ab22(a，bR)注意：使用均值不等式求最值，前提是“一正、二定、三相等”3算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为ab2，几何平均数为ab，均值不等式可表达为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数 4利用均值不等式求最值问题 已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_时，_有最_值是_(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当_时，_有最_值是_.(简记：和定积最大)双基自测 1函数yx1x(x0)的值域为()A(，22，)B(0，)C2，)D(2，)2以下不等式：a212a；abab2；x21x211.其中正确的个数是()A0 B1 C2 D3 3若正实数a，b满足ab1，则()A.1a1b有最大值 4 Bab有最小值14 C.ab有最大值 2Da2b2有最小值22 4.若实数ba,满足2ba，则ba33 的最小值是()A18 B.6 C.32D.432 5.若正数ba,满足3baab，则ab的取值围是.6.若 Ryx,且12 yx，则yx11的最小值为.典型例题 类型一 利用均值不等式求最值 1若函数f(x)x1x2(x2)的最小值为_.2已知t0，则函数yt24t1t的最小值为_.2/4 3.当x0 时，则f(x)2xx21的最大值为_ 4.已知x0，y0，且 2xy1，则1x1y的最小值为_；5.若x，y(0，)且 2x8yxy0，则xy的最小值为_ 6.已知 0 x25，则y2x5x2的最大值为_ 7.已知532,(0,0)xyxy,则xy的最小值是_ 8已知x，yR，且满足x3y41，则xy的最大值为_ 类型二.证明题 1.已知a0，b0，c0，且abc1.求证：1a1b1c9.2.正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc 类型三.恒成立问题 1.若对任意x0，xx23x1a恒成立，则a的取值围是_ 2.已知不等式1()()9axyxy对任意正实数,x y恒成立，则正实数a的最小值为 巩固练习 1已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则2()abcd的最小值是 A0 B1 C2 D4 2已知 0 x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A.13B.12 C.34D.23 3把一段长 16 米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为()A4 B8 C16 D32.3/4 4.设 x、y 为正数，则有(x+y)(1x4y)的最小值为（）A15 B12 C9 D6 5.已知,x yR，且41xy，则x y的最大值为.6.已知54x，则函数14245yxx的最大值为 7.已知x、y为正实数，且121+=xy，则 x+y 的最小值。8.已知00yx，且302xyyx，则xy的最大值 9.已知lglg1xy，则52xy的最小值是.10.若x，y 是正数，则22)21()21(xyyx的最小值是 11.函数1(01)xyaaa，的图象恒过定点A，若点A在直线10(0)mxnymn 上，则11mn的最小值为 12.已知a0，b0，且ab1，则1a2b的最小值 13.（1）求2710(1)1xxyxx 的值域。（2）求函数2254xyx的值域。14求以下函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.231(1),(0)xxyxx 1(2)2,(3)3yxxx .4/4 1(3)2sin,(0,)sinyxxx 15.已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值围。16已知x0，y0，且 2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值 17.某种汽车，购买时费用为 10 万元；每年应交保险费、养路费与汽油费合计 9 千元；汽车的维修费平均为第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，依次成等差数列递增。问这种汽车使用多少年报废最合算（与使用多少年的年平均费用最少）？18.研究函数()(0)bf xaxabx、图象与性质。（1）定义域（2）值域（3）奇偶性（4）单调性（5）极值点（6）图象 练习：若x、yR，求4()f xxx)10(x的最小值。xabab2ab2aboy
