江西省南康中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题理(含解析)2879.pdf

江西省南康中学 2019-2020 学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题（本大题共 12 小题）1.直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（）A.B.C.D.2.在空间直角坐标系中，已知M（-1，0，2），N（3，2，-4），则MN的中点Q到坐标原点O的距离为（）A.B.C.2 D.3 3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A.9 B.45 C.126 D.270 4.若样本x1，x2，xn平均数是 4，方差是 2，则另一样本 3x1+2，3x2+2，3xn+2的平均数和方差分别为（）A.12,2 B.14,6 C.12,8 D.14,18 5.总体由编号为 01，02，19，20 的 20 个个体组成利用下面的随机数表选取 7个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 3 列和第 4 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 6 个个体的编号为（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.02 B.07 C.01 D.06 6.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习 10 组，每组罚球 40 个命中个数的茎叶图如图，则下面结论中错误的一个是（）A.乙的众数是 21 B.甲的中位数是 24 C.甲的极差是 29 D.甲罚球命中率比乙高 7.已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），（x0，y0）的线性回归方程为=x+2，则x0-y0的值为（）A.B.C.D.8.已知空间中不同直线m、n和不同平面、，下面四个结论：若m、n互为异面直线，m，n，m，n，则；若mn，m，n，则；若n，m，则nm；若，m，nm，则n 其中正确的是（）A.B.C.D.9.若执行如图所示的程序框图，输出S的值为 3，则判断框中应填入的条件是（）A.？B.？C.？D.？10.已知正方体的棱长为 1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（）A.B.C.D.11.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为（）A.B.C.D.12.如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻转成A1DE（A1平面ABCD），若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）A.与平面垂直的直线必与直线BM垂直 B.异面直线BM与所成角是定值 C.一定存在某个位置,使 D.三棱锥外接球半径与棱AD的长之比为定值 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.将参加数学竞赛的 1000 名学生编号如下：0001，0002，0003，1000，打算从中抽取一个容量为 50 的样本，按系统抽样的办法分成 50 个部分如果第一部分编号为0001，0002，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为_ 14.如图，AOB为水平放置的AOB斜二测画法的直观图，且OA=2，OB=3，则AOB的周长为_ 15.已知点P（t，t-1），tR，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则|PF|-|PE|的最大值为_ 16.已知边长为2的菱形ABCD中，BAD=60，沿对角边BD折成二面角A-BD-C为120的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.某地统计局就本地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本数据的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在1000，1500）（1）求居民月收入在3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10000人中用分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析，则月收入在2500，3000）的这段应抽多少人？18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，ABCD，BAD=90，AD=，DC=2AB=2，E为BC中点（）求证：平面PBC平面PDE （）线段PC上是否存在一点F，使PA平面BDF？若存在，求的值；若不存在，说明理由 19.某书店刚刚上市了中国古代数学史，销售前该书店拟定了 5 种单价进行试销，每种单价（x元）试销 1 天，得到如表单价x（元）与销量y（册）数据：单价x（元）18 19 20 21 22 销量y（册）61 56 50 48 45（1）根据表中数据，请建立y关于x的回归方程；（2）预计今后的销售中，销量y（册）与单价x（元）服从（1）中的回归方程，已知每册书的成本是 12 元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？附：，20.如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的高为 2，点D是A1B的中点，点E是B1C1的中点 （1）证明：DE平面ACC1A1；（2）若三棱锥EDBC的体积为，求该正三棱柱的底面边长 21.在如图所示的几何体中，DEAC，AC平面BCD，AC2DE4，BC2，DC1，BCD=60 (1)证明：BD平面ACDE；(2)求平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值 22.如图，在直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4 与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2（1）若，求AMN的面积；（2）若k1k2=-2，求证：直线MN过定点 答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：直线l的倾斜角为，0，180），直线l的方程为，则 tan=，解得=150，则直线l的倾斜角为 150，故选：A 直线l的倾斜角为，0，180），直线l的方程为，则 tan=，解得 本题考查了倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2.【答案】A 【解析】解：M（-1，0，2），N（3，2，-4），MN的中点Q（1，1，-1），Q到坐标原点O的距离|QO|=故选：A MN的中点Q（1，1，-1），由此能求出Q到坐标原点O的距离|QO|本题考查两点间距离的求法，考查中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想 3.【答案】C 【解析】解：第一次执行循环体后，S=0，k=3，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S=9，k=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S=45，k=9，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S=126，k=12，满足退出循环的条件；故输出S值为 126，故选：C 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题 4.【答案】D 【解析】解：样本x1，x2，xn平均数是 4，方差是 2，则样本 3x1+2，3x2+2，3xn+2 的平均数是 34+2=14，方差为 322=18 故选：D 根据样本数据的平均数和方差的概念，计算所求样本数据的平均数和方差 本题考查了样本数据的平均数与方差的计算问题，是基础题 5.【答案】C 【解析】解：第 1 行的第 3 列和第 4 列数字为 16，满足条件，以此是 65，72 不满足条件，08 满足条件，02 满足条件，63 不满足条件.14 满足条件，07 满足条件，02 重复，43，69，97，28，不满足条件 01 满足条件，即满足条件的 6 个数为 16，08，14，02，07，01，则第 6 个个体编号为 01，故选：C 根据随机数表的定义进行选取即可 本题主要考查简单随机抽样的应用，利用随机数表法是解决本题的关键比较基础 6.【答案】B 【解析】解：由茎叶图知，乙的众数是 21，故A正确；甲的中位数是=23，故B错误；甲的极差是 37-8=29，故C正确；由茎叶图得到甲的数据集中于茎叶图的左下方，乙的数据集中于茎叶图的右上方，所以甲罚球命中率比乙高，故D正确 故选：B 利用茎叶图的性质、众数、中位数、极差的定义求解 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的性质、众数、中位数、极差的定义的合理运用 7.【答案】A 【解析】解：由题意知=（10+x0），=（15+y0），线性回归方程为=x+2，（15+y0）=（10+x0）+2，解得：x0-y0=-3，故选：A 利用平均数公式计算预报中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得答案 本题考查了线性回归直线的性质，回归直线必过样本的中心点 8.【答案】D 【解析】解：对于，由面面平行的判定定理可得，若m、n互为异面直线，m，n，则 或相交，又因为m，n，则，故正确；对于，若mn，m，n，则 或，相交，故错误，对于，若n，m，则nm；故正确，对于，若，m，nm，则n 或n，故错误，综上可得：正确的是，故选：D 由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解 本题考查了线面、面面的位置关系，属中档题 9.【答案】C 【解析】解：根据程序框图，运行结果如下：第一次循环,S=log23,k=3;第二次循环,S=log23log34,k=4;第三次循环,S=log23log34log45,k=5;第四次循环,S=log23log34log45log56,k=6;第五次循环,S=log23log34log45log56log67,k=7;第六次循环,S=log23log34log45log56log67log78=log28=3,k=8;故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k8?故选：C 根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件 本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题 10.【答案】C 【解析】【分析】本题考查动点F的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题 分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，推导出平面EMNGQP平面A1BC1，从而动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，由此能求出动点F的轨迹所形成的区域面积【解答】解：如图，分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，则PEA1C1GN，EMA1BGQ，PQBC1MN，易得：平面EMNGQP平面A1BC1，点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF平面A1BC1，动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，PE=EM=MN=NG=GQ=PQ=，PN=，E到PN的距离d=，动点F的轨迹所形成的区域面积：S=2S梯形PNME=2=故选C 11.【答案】A 【解析】解：设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为 2，M，N分别是A1B1，A1D1的中点，则三棱锥C-AMN为所求几何体 由图可知AM=AN=，MN=，AC=2，CM=CN=3，由余弦定理得 cosMAN=，sinMAN=，SMAN=，同理可得SMCN=，SMAC=SNAC=3，棱锥的表面积S=故选：A 以正方体为载体作出三棱锥的直观图，求出棱锥的各棱长，利用余弦定理求出各面面积 本题考查了棱锥的结构特征和三视图，作出棱锥的直观图是解题关键，属于中档题 12.【答案】C 【解析】解：对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，由E为AB的中点，可得B为CH的中点，又M为A1C的中点，可得BMA1H，BM平面A1DE，A1H 平面A1DE，则BM平面A1DE，故与平面A1DE垂直的直 线必与直线BM垂直，则A正确；对于B，设AB=2AD=2a，过E作EGBM，G平面A1DC，则A1EG=EA1H，在EA1H中，EA1=a，EH=DE=a，A1H=，则EA1H为定值，即A1EG为定值，则B正确；对于C，连接A1O，可得DEA1O，若DEMO，即有DE平面A1MO，即有DEA1C，由A1C在平面ABCD中的射影为AC，可得AC与DE垂直，但AC与DE不垂直 则不存在某个位置，使DEMO，则C不正确；对于D，连接OA，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得 三棱锥A1-ADE外接球球心为O，半径为，即有三棱锥A1-ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值则D正确 故选：C 对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM平面A1DE，即可判断A；对于B，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断B；对于C，连接A1O，运用线面垂直的判定定理和性质定理，可得AC与DE垂直，即可判断C；对于D，由直角三角形的性质，可得三棱锥A1-ADE外接球球心为O，即可判断D 本题考查命题的真假判断与应用，考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，是中档题 13.【答案】0795 【解析】解：系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个 又现在总体的个体数为 1000，样本容量为 50，k=20 若第一个号码为 0015，则第 40 个号码为 0015+2039=0795 故答案为 0795 因为系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个，所以只需找到k的值，就可计算第 40 个号码为多少 本题考查了抽样方法中的系统抽样，掌握系统抽样的规律 14.【答案】12 【解析】解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长 0B=3，高OA=2OA=4，AB=5，直角三角形OAB的周长为 3+4+5=12 故答案为：12 根据斜二侧画法得到三角形OAB为指教三角形，且其底面边长 0B=3，高OA=2OA=4，AB=5，然后求三角形的周长即可 本题主要考查平面图形的直观图的应用，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，比较基础 15.【答案】4 【解析】解：P（t，t-1）P点在直线y=x-1 上，作E关于直线y=x-1 的对称点E，且圆O：关于直线y=x-1 对称的圆O1方程为：（x-1）2+（y+1）2=，所以E在圆O1上，|PE|=|PE|，设圆的圆心为O2，|PE|PO1|-|EO1|，|PF|PO2|+|FO2|，|PF|-|PE|=|PF|-|PE|（|PO2|+|FO2|）-（|PO1|-|EO1|）=|PO2|-|PO1|+2|O1O2|+2=4，当P、E、F、O1、O2五点共线，E在线段PO1上，O2在线段PF上时成立 因此，|PF|-|PE|的最大值为 4 故答案为：4 结合图象发现两圆位于P点所在直线的不同侧，应先做出圆O关于直线y=x-1 对称的圆O1，把|PF|-|PE|转化为|PF|-|PE|，要使|PF|-|PE|最大，则必须|PF|最大，|PE|最小 本题主要考查圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，距离和差的最值问题常采用的方法是对称变换 16.【答案】28 【解析】【分析】设两三角形外心分别为O2，O3，球心为O，BD中点为O1，由题意知AO1C=120，OO1=2，OO3=，由此求出球半径，从而能求出四面体的外接球的表面积 本题主要考查了四面体外接球的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题【解答】解：如图，设两三角形外心分别为O2，O3，球心为O，BD中点为O1，由题意知AO1C=120，OO1=2，OO3=，球半径OC=，四面体的外接球的表面积为S=4=28 故答案为：28 17.【答案】解：（1）由频率分布直方图可知，居民月收入在3000，3500）内的频率为 0.0003500=0.15；（2）由频率分布直方图可知，0.0002（1500-1000）=0.1，0.0004（2000-1500）=0.2，0.0005（2500-2000）=0.25 0.1+0.2+0.25=0.550.5 样本数据的中位数 2000+=2400；（3）居民月收入在2500，3000的频率为 0.0005（3000-2500）=0.25，10000 人中月收入在2500，3000的人数为 0.2510000=2500（人），再从 10000 人用分层抽样方法抽出 100 人，月收入在2500，3000的这段应抽取 100=25 人 【解析】（1）利用频率分布直方图，小矩形的面积即为频率，从而可得答案；（2）根据频率直方图，先确定中位数的位置，再由公式计算出中位数；（3）利用频率分布直方图和分层抽样的方法即可确定抽取的人数 本题考查频率分布直方图及分层抽样的方法，求解此类题的关键是熟练掌握频率分布直方图的结构及分层抽样的规则，本题属于统计中的基本题型，是这几年高考的热点，在高考的试卷上出现的频率相当高，应对此类题做题的规律好好理解掌握频率分布直方图中小长方形的面积=组距=频率，各个矩形面积之和等于 1，能根据直方图求频率，属于常规题型 18.【答案】解：（）连接BD 在RTDAB中，BD=（1 分）知DBC是等腰三角形 又E为BC的中点 DEBC （2 分）PD平面ABCD，且BC 平面ABCD PDBC （3 分）PDDE=D BC平面PDE （4 分）又BC 平面PBC 平面PBC平面PDE （5 分）（）线段PC上存在一点F，且时，有PA平面BDF（6 分）证明如下：连接AC交BD于点O，在平面PAC中过点O作OFPA，则交PC于F（7 分）又OF 平面BDF，PA平面BDF PA平面BDF （9 分）四边形ABCD中ABCD，易知ABOCDO 又CD=2AB=2，（10 分）OFPA （11 分）当时，PA平面BDF（12 分）【解析】（1）要证平面PBC平面PDE，只要证平面PBC内的直线BC平面PDE即可 （2）由线面平行的性质定理，若使PA平面BDF，则过直线PA的平面和平面BDF的交线会和PA平行，故作辅助线OFAP，再利用线面平行判定定理证明确定F的位置，则利用三角形相似的相似比确定的值 本题中考查了空间位置关系（两平面垂直的判定与性质，线面平行的判定与性质），相似比确定线段分点，考查了空间想象能力，分析能力（1）中证直线BC平面PDE是关键点，（2）中确定OFPA是突破点，题型较常规，属于中档题 19.【答案】解：（1），y对x的回归直线方程为：；（2）设获得的利润为W，则W=（x-12）y=-4x2+180 x-1584，二次函数W=-4x2+180 x-1584 的开口向下，当x=22.5 时，W取最大值，故当单价应定为 22.5 元时，可获得最大利润 【解析】（1）由已知求得 与的值，则线性回归方程可求；（2）由题意写出获得的利润W关于x的函数式，再由二次函数求最值 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题 20.【答案】（1）证明：如图，连接AB1，AC1，D是A1B的中点，E是B1C1的中点，在B1AC1中，DEAC1,DE平面ACC1A1，AC1 平面ACC1A1,DE平面ACC1A1.（2）解：由等体积法，得VE-DBC=VD-EBC D是A1B的中点，点D到平面BCC1B1的距离是点A到平面BCC1B1的距离的一半 如图，作AFBC交BC于点F，由正三棱柱的性质可知，AF平面BCC1B1 设底面正三角形的边长a，则三棱锥D-EBC的高，解得a=1 该正三棱柱的底面边长为 1 【解析】本题考查线面平行的证明，考查正棱柱的底面边长的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题（1）连接AB1，AC1，推导DEAC1，由此能证明DE平面ACC1A1（2）由等体积法，得VE-DBC=VD-EBC，点D到平面BCC1B1的距离是点A到平面BCC1B1的距离的一半，作AFBC交BC于点F，由此能求出该正三棱柱的底面边长为 1 21.【答案】证明：（1）在BCD中，BD2=4+1-212cos60=3 BC2=BD2+DC2，BCD为直角三角形，BDCD 又AC平面BCD，BD平面BCDACBD 而ACCD=C，BD平面ACDE 解：（2）方法一：如图延长AE，CD相交于G，连接BG，则平面AEB平面BCD=BG 二面角A_BG-C就是平面BCD与平面BAE所成二面角 DEAC，AC=2DE，DE是AGC的中位线 GD=DC=1，这样GC=BC=2，BCD=60，BGC是等边三角形 取BG的中点为H，连接AH，GH，AC平面BCD AHC就是二面角A-BG-C的平面角 在RtAHC中，AC=4，GH=，所以 sin=平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值为 方法二：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，可得D（0，0，0），B（，0，0），C（0，1，0），E（0，0，2），A（0，1，4）=（-，1，4），=（0，1，2）设=（x，y，z）是平面BAE的法向量，则，令z=，得=（2，-2，）取平面BCD的法向量为=（0，0，1）设平面BCD与平面BAE所成二面角的平面角为，则|cos|=，sin=平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值为 【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查运用求解能力、空间想象能力、探索能力、转化与化归思想、函数与方程思想，是中档题（1）推导出BDCD，ACBD，由此能证明BD平面ACDE（2）法一：延长AE，CD相交于G，连接BG，二面角A_BG-C就是平面BCD与平面BAE所成二面角由此能求出平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值 法二：建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值 22.【答案】（1）解：由题知，直线AM的方程为y=2x+4，直线AN的方程为 圆心到直线AM的距离，得，同理求得，由题知k1k2=-1，得ANAM，；（2）证明：由题知直线AM的方程y=k1（x+2），直线AN的方程为 联立方程，得，得x=-2 或，同理，直线MN为 即，得，直线MN恒过定点 【解析】（1）由题意得到直线AM与AN的方程，利用垂径定理分别求得AM与AN的值，再由两直线垂直，代入三角形面积公式求解；（2）由题知直线AM的方程y=k1（x+2），直线AN的方程为分别与圆的方程联立求得M，N的坐标，写出MN的直线方程，利用直线系方程即可证明线MN过定点 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题