江苏省南京市玄武高级中学2020-2021学年度第一学期高三学情检测数学试题5510.pdf
2020-2021 学年度第一学期高三学情检测试卷 数 学 一、选择题 1.设集合，则()A.B.C.D.2.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A.()2xf x B.()|f xx xC.1()f xx D.()lg|f xx 3.函数ln(1)yxx的定义域为（）A.（0,1）B.0,1)C.(0,1 D.0,1 4 已 知 三 棱 锥ABCD四 个 顶 点 均 在 半 径 为R的 球 面 上，且22ACBCAB，若该三棱锥体积的最大值为 1，则这个球的表面积为（）A.81500 B.4 C.925 D.9100 5 已 知()fx是 函 数()f x的 导 函 数，且 对 任 意 的 实 数x都 有 e23xfxxf x，01f，则不等式()5xf xe的解集为（）A4,1B(1,4)C(,4)(1,)D(,1)(4,)6 函数的图象大致为（）7已知定义在上的奇函数，对于都有，当时，则函数在内所有的零点之和为（）A6 B8 C10 D12 8已知13241,log 3,log 72abc，则a，b，c的大小关系为（）Aabc Bbac Cacb D cab 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9若 0a1，bc1，则()B A.bca1 B.cabacb C.ca1ba1 D.logcalogba 10.关于函数 sinsinfxxx有下述四个结论，其中正确的结论是（）A.fx是偶函数 B.fx在区间,2单调递增 C.fx在,有四个零点 D.fx的最大值为 2 11.已知函数 f(x)=+(n 为正整数)，则下列判断正确的是()A.函数 f(x)始终为奇函数 B.当 n 为偶数时，函数 f(x)的最小值为 4 C.当 n 为奇数时，函数 f(x)的极小值为 4 D.当 n=1 时，函数 y=f(x)的图象关于直线 y=2x 对称 12.已知mN*,若对任意的x1,2,x+4 恒成立,则实数m的值可以为()A.1 B.2 C.3 D.4 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将答案填写在题中的横线上。13函数的单调递增区间是_ 14已知函数f（x）的定义域为（0，+），且满足f（x）+xf（x）0（f（x）是f（x）的导函数），则不等式（x-1）f（x2-1）f（x+1）的解集为_ 15已知平面向量a(1,2)，b(4,2)，camb(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.16 已 知cba,分 别 为ABC三 个 内 角CBA,的 对 边，a=1，且(1)(sinsin)sin,bABcbC（则ABC面积的最大值为_ 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)17设函数，其中 （1）当 m=0 时，求函数的极值；（2）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围 18.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知bc2acosB(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小 19.如图，在四棱锥 中，PA底面 ABCD，ADAB，ABCD,AD=DC=AP=2,AB=1.点为棱的中点。（1）证明：PD面 ABE；（2）若为棱上一点，满足 BFAC，求二面角 的余弦值。20.2020 年 9 月 3 日，工业和信息化部消费品工业司发布 2020 年 17 月全国家用电冰箱产量 4691.3 万台，同比下降 2.0%；房间空气调节器产量 12353.0 万台，同比下降 14.0%；家用洗衣机产量 3984.9 万台，同比下降 2.6%。为此，一公司拟定在 2020 年双 11 淘宝购物节期间举行房间空气调节器的促销活动，经测算该产品的年销售量 P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用 x 万元满足=+(其中,a 为正常数).已知 2020 年生产该产品还需投入成本 100+2P 万元（不含促销费用），产品的销售价格定为+元/件.（）试将 2020 年该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；（）问：2020 年该公司促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？21.已知椭圆：过点，右焦点是抛物线的焦点（1）求椭圆的方程；（2）已知动直线 l 过右焦点，且与椭圆分别交于，两点试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在求出点的坐标；若不存在，说明理由 22.已知函数，函数的图象在处的切线与直线平行.（1）求实数a的值；（2）若函数()g x存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设1212xx xx，（）是函数()g x的两个极值点，且72b，试求12()()g xg x的最小值.2020-2021 学年度第一学期高三学情检测试卷 数学参考答案 1-5 DBBDA 6-8DC 9.AD 10.BCD 11.BC 12.ABC 13.（2,5）14.(,)15.m=16 17解：（）当 m=0 时，f(x)=-x2+3.此时，则.由，解得.由;在，上单调递减，在上单调递增.所以有极小值，有极大值.（）由，得.所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.对函数求导，得.由，解得，.由;由.在，上单调递减，在上单调递增.又因为，所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.当或时，函数在区间上有两个零点.18.（）证明：b+c=2acosB，sinB+sinC=2sinAcosB，sinB+sin（A+B）=2sinAcosB sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）A，B是三角形中的角，B=A-B，A=2B；（）解：ABC的面积S=，bcsinA=，2bcsinA=a2，2sinBsinC=sinA=sin2B，sinC=cosB，B+C=90，或C=B+90，A=90或A=45 19(1)证明见解析.(2).详解：依题意，以点为原点，以、为轴建立空间直角坐标系如图，可得(,),(,),(,),(,)由为棱的中点，得(,)（1）向量=(,),=(,)故 =,又 AB面 PAD.所以AB面 PD。故 PD面 ABE（2）=(,),=(,),=(,),=(,)由点在棱上，设=,故=+=+=(,)由 ，得 =因此，()+()=,=即=(,)设=(,)为平面的法向量，则 =，即=+=不妨令=，可得=(,)为平面的一个法向量 取平面的法向量=(,)，则,=|=所以二面角 的余弦值为 20.（）由题意，得 y=(4+.=+,将其代入上式并化简，得=+（）.此即为所求产品的利润y关于促销费用x的函数关系式.（）由（）得，当且仅当+=+，即x=10时，上式取等号.当a时,促销费用需投入10万元，厂家的利润最大；2 当 0a10 时,易得222400400(10)1(10)(10)xyxx ,由于，0a10，函数在上单调递增，当时,函数=+有最大值 即促销费用投入 a 万元时，厂家的利润最大.综上,当 a时,促销费用投入 10 万元，厂家的利润最大；当 a10 时,促销费用投入 a 万元，厂家的利润最大.21.【答案】（1）；（2）存在，【解析】（1）因为椭圆过点，所以 又抛物线的焦点为，所以，所以，解得（舍去）或 所以椭圆的方程为（2）假设在轴上存在定点，使得，当直线 l 的斜率不存在时，则，由，解得或；当直线 l 的斜率为时，则，由，解得或 由可得，即点的坐标为 下面证明当时，恒成立，当直线 l 的斜率不存在或斜率为时，由知结论成立 当直线斜率存在或且不为时，设其方程为，由，得，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且，所以 综上所述，在轴上存在定点，使得恒成立 22.解：（），.切线与直线平行，.（）易得()，().由题意，知函数存在单调递减区间,等价于在上有解，则故可设.而，所以，要使在上有解，则只须，即，故所求实数 b 的取值范围是.（）由（）知，令，得.()是函数的两个极值点，()是方程的两个根，.令，且.，化简整理，得,解得或.而，.又，函数在单调递减，.故的最小值为.
