苏教版九年级数学上册1.3一元二次方程的根与系数的关系练习题(含答案)2140.pdf

1.3 一元二次方程的根与系数的关系 注意事项：本试卷满分 100 分，考试时间 45 分钟，试题共 20 题答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2020启东市一模）已知 x1，x2是一元二次方程 x2+x30 的两个根，则 x1+x2x1x2的值为（）A1 B2 C3 D4 2（2019崇川区校级二模）已知 x1，x2是一元二次方程 2x23x+10 的两个根，下列结论正确的是（）Ax1+x2 Bx1x21 Cx1，x2都是有理数 Dx1，x2都是无理数 3（2019如皋市一模）已知 x1，x2是关于 x 的方程 x2mx30 的两个根，下面结论一定正确的是（）Ax1+x20 Bx1x2 Cx1x20 Dx10，x20 4（2019 秋秦淮区期末）若关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的解为 x11，x23，则方程 a（x1）2+b（x1）+c0 的解为（）Ax10，x22 Bx12，x24 Cx10，x24 Dx12，x22 5（2019 秋仪征市期末）若 a，b（ab）是方程（xm）（nx）2（mn）的两根，则实数 a，b，m，n 的大小关系是（）Amabn Bambn Camnb Dabmn 6（2019 秋兴化市期末）已知一元二次方程 p2p30，q2q30（qp），则 p+q 的值为（）A B C3 D3 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7（2020 春崇川区期末）若方程 x23x+20 的两根是、，则+8（2020 春如东县期末）已知 m、n 是方程 x22x50 的两个根，那么 m2+mn+2n 9（2019 秋建邺区期末）若长方形的长和宽分别是关于 x 的方程 2x26x+30 的两个根，则长方形的周长是 10（2019 秋梁溪区期末）请写出“两个根分别是 2，2”的一个一元二次方程：11（2020玄武区一模）设 x1、x2是方程 x2x10 的两个根，则 x12x2+x1x22 12（2020玄武区模拟）设 x1，x2是一元二次方程 x2+2x+m0 的两个根，且 x1+x2x1x21，则 m 13（2020南通模拟）已知 a，b 是一元二次方程 x2+x10 的两根，则 3a2b的值是 14（2020兴化市模拟）设 m、n 是方程 x2+x20200 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 58 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（2019海陵区二模）已知关于 x 的一元二次方程 2x2+（m2）xm0（1）求证：不论 m 取何值，方程总有实数根；（2）若该方程的两根互为相反数，求 m 的值 16（2020灌南县一模）已知关于 x 的方程 x2+kx+k50（1）求证：不论 k 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为 x3，求该方程的另一个根 17（2020 春如东县期末）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（k1）x+k20（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若这个方程的两根为 x1，x2，且满足 x123x1x2+x221，求 k 的值 18（2019 秋姜堰区期末）已知ABCD 边 AB、AD 的长是关于 x 的方程 x2mx+120 的两个实数根（1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？（2）当 AB3 时，求ABCD 的周长 19（2019 秋海陵区校级期末）已知：关于 x 的方程 x2（m+1）x+m210，根据下列条件求 m 的值（1）方程有一个根为 1；（2）方程两个实数根的和与积相等 20（2020仪征市一模）定义：若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0，a，b，c 为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定 T（a，b，c）为该“全整方程”的“全整数”（1）判断方程 x2x10 是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；（2）若关于 x 的一元二次方程 x2（2m3）x+m24m50（其中 m 为整数，且满足 5m22）是“全整方程”，求其“全整数”答案解析 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2020启东市一模）已知 x1，x2是一元二次方程 x2+x30 的两个根，则 x1+x2x1x2的值为（）A1 B2 C3 D4【分析】根据韦达定理得出 x1+x21，x1x23，代入计算可得【解析】x1，x2是一元二次方程 x2+x30 的两个根，x1+x21，x1x23，则原式1（3）1+32，故选：B 2（2019崇川区校级二模）已知 x1，x2是一元二次方程 2x23x+10 的两个根，下列结论正确的是（）Ax1+x2 Bx1x21 Cx1，x2都是有理数 Dx1，x2都是无理数【分析】利用根与系数的关系对 A、B 进行判断；根据根的判别式对 C、D 进行判断【解析】x1+x2，x1x2，所以 A、B 选项错误，因为（3）24211，所以 x1，x2都是有理数，则 C 选项正确，D 选项错误 故选：C 3（2019如皋市一模）已知 x1，x2是关于 x 的方程 x2mx30 的两个根，下面结论一定正确的是（）Ax1+x20 Bx1x2 Cx1x20 Dx10，x20【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出a2+40，进而可得出 x1x2，此题得解【解析】（m）241（3）m2+120，方程 x2mx30 有两个不相等的实数根，x1x2 故选：B 4（2019 秋秦淮区期末）若关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的解为 x11，x23，则方程 a（x1）2+b（x1）+c0 的解为（）Ax10，x22 Bx12，x24 Cx10，x24 Dx12，x22【分析】把方程 a（x1）2+b（x1）+c0 看作关于 x1 的一元二次方程，则 x11 或 x13，然后解一元一次方程【解析】把方程 a（x1）2+b（x1）+c0 看作关于 x1 的一元二次方程，而关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的解为 x11，x23，所以 x11 或 x13，所以 x10，x24 故选：C 5（2019 秋仪征市期末）若 a，b（ab）是方程（xm）（nx）2（mn）的两根，则实数 a，b，m，n 的大小关系是（）Amabn Bambn Camnb Dabmn【分析】把 a，b（ab）是方程（xm）（nx）2（mn）的两根看作抛物线 y（xm）（xn）与直线 y2 的交点的横坐标，然后画出导致的函数图象，从而得到实数 a，b，m，n 的大小关系【解析】方程变形为（xm）（xn）2，把 a，b（ab）是方程（xm）（nx）2（mn）的两根看作抛物线 y（xm）（xn）与直线 y2 的交点的横坐标，而抛物线 y（xm）（xn）与 x 轴的交点的横坐标分别为 m、n，如图，所以 mabn 故选：A 6（2019 秋兴化市期末）已知一元二次方程 p2p30，q2q30（qp），则 p+q 的值为（）A B C3 D3【分析】根据根与系数的关系即可求出答案【解析】由题意可知：p、q 是方程 x2x30 的两根，p+q，故选：B 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7（2020 春崇川区期末）若方程 x23x+20 的两根是、，则+5 【分析】利用根与系数的关系可得出+3，2，将其代入+中即可求出结论【解析】方程 x23x+20 的两根是、，+3，2，+3+25 故答案为：5 8（2020 春如东县期末）已知 m、n 是方程 x22x50 的两个根，那么 m2+mn+2n 4 【分析】根据根与系数的关系得出 m+n2，mn5，根据 m22m50 求出 m25+2m，代入即可 【解析】m、n 是方程 x22x50 的两个根，m+n2，mn5，m22m50，m22m+5，m2+mn+2n 2m+5+mn+2n 5+22+5 4 故答案为：4 9（2019 秋建邺区期末）若长方形的长和宽分别是关于 x 的方程 2x26x+30 的两个根，则长方形的周长是 6 【分析】设长方形的长和宽分别 a、b，则利用根与系数的关系得到 a+b3，从而得到长方形的周长【解析】设长方形的长和宽分别 a、b，因为 a、b 关于 x 的方程 2x26x+30 的两个根，所以 a+b3，所以长方形的周长2（a+b）236 故答案为 6 10（2019 秋梁溪区期末）请写出“两个根分别是 2，2”的一个一元二次方程：x240 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可【解析】一个一元二次方程的两个根分别为 2，2，这个一元二次方程为：（x2）（x+2）0，即这个一元二次方程为：x240 故答案为：x240 11（2020玄武区一模）设 x1、x2是方程 x2x10 的两个根，则 x12x2+x1x22 【分析】根据根与系数的关系可得出 x1+x2，x1x21，将其代入 x12x2+x1x22x1x2（x1+x2）中即可求出结论【解析】x1、x2是方程 x2x10 的两个根，x1+x2，x1x21，x12x2+x1x22x1x2（x1+x2）1 故答案为：12（2020玄武区模拟）设 x1，x2是一元二次方程 x2+2x+m0 的两个根，且 x1+x2x1x21，则 m 1 【分析】由根与系数的关系可得 x1+x22，x1x2m，代入 x1+x2x1x21，即可求出 m 的值【解析】x1，x2是一元二次方程 x2+2x+m0 的两个根，x1+x22，x1x2m，x1+x2x1x21，2m1，解得 m1 故答案为：1 13（2020南通模拟）已知 a，b 是一元二次方程 x2+x10 的两根，则 3a2b的值是 8 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案【解析】由题意可知：a+b1，ab1，a2+a1，原式3（1a）b 33ab 32a（a+b）32a+1 42a 4 4 4+4 8，故答案为：8 14（2020兴化市模拟）设 m、n 是方程 x2+x20200 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 2019 【分析】由于 m、n 是方程 x2+x20200 的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到 m+n1，并且 m2+m20200，然后把 m2+2m+n 可以变为 m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果【解析】m、n 是方程 x2+x20200 的两个实数根，m+n1，并且 m2+m20200，m2+m2020，m2+2m+nm2+m+m+n202012019 故答案为：2019 三、解答题（本大题共 6 小题，共 58 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（2019海陵区二模）已知关于 x 的一元二次方程 2x2+（m2）xm0（1）求证：不论 m 取何值，方程总有实数根；（2）若该方程的两根互为相反数，求 m 的值【分析】（1）表示出根的判别式，判断值大于等于 0，即可得证；（2）根据题意表示出两个之和，令其中为 0，求出 m 的值即可【解析】（1）（m2）2+8m（m+2）20，方程总有实数根；（2）由题得：m20，解得：m2 16（2020灌南县一模）已知关于 x 的方程 x2+kx+k50（1）求证：不论 k 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为 x3，求该方程的另一个根【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案（2）将 x3 代入原方程即可求出 k 的值，代入原方程即可得到结论【解析】（1）b24ack24（k5）k24k+20（k2）2+16（k2）20，（k2）2+160，即 b24ac0 不论 k 取何值，方程必有两个不相等的实数根（2）将 x3 代入原方程得 9+3k+k50，解得：k1，设该方程的另一个根为 x1，3x16，x12，该方程的另一个根为2 17（2020 春如东县期末）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（k1）x+k20（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若这个方程的两根为 x1，x2，且满足 x123x1x2+x221，求 k 的值【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出b24ac 的值大于等于 0，建立关于 k的不等式，解不等式即可求出 k 的取值范围；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x21k，x1x2k2，再将它们代入x123x1x2+x221，即可求出 k 的值【解析】（1）（k1）24（k2）（k3）2，（k3）20，0，此方程总有两个实数根（2）由根与系数关系得 x1+x21k，x1x2k2，x123x1x2+x221，（x1+x2）25x1x21，（1k）25（k2）1，解得 k12，k25 由（1）得无论 k 取何值方程总有两个实数根，k 的值为 2 或 5 18（2019 秋姜堰区期末）已知ABCD 边 AB、AD 的长是关于 x 的方程 x2mx+120 的两个实数根（1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？（2）当 AB3 时，求ABCD 的周长【分析】（1）由菱形的四边相等知方程有两个相等的实数根，据此利用根的判别式求解可得；（2）由 AB3 知方程的一个解为 3，代入方程求出 m 的值，从而还原方程，再利用根与系数的关系得出 AB+AD 的值，从而得出答案【解析】（1）若四边形 ABCD 是菱形，则 ABAD，所以方程有两个相等的实数根，则（m）241120，解得 m4；（2）AB3，93m+120，解得 m7，方程为 x27x+120，则 AB+AD7，平行四边形 ABCD 的周长为 2（AB+AD）14 19（2019 秋海陵区校级期末）已知：关于 x 的方程 x2（m+1）x+m210，根据下列条件求 m 的值（1）方程有一个根为 1；（2）方程两个实数根的和与积相等【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义把 x1 定义方程得到关于 m 的一元二次方程，然后解此方程即可得到 m 的值；（2）根据根与系数的关系得到关于 m 的一元二次方程，然后解此方程即可得到 m 的值【解析】（1）依题意有 1（m+1）+m210，m2m10，解得 m；（2）依题意有 m+1m21，m2m20，解得 m1 或 2，当 m2 时0，方程无实数根，故 m1 20（2020仪征市一模）定义：若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0，a，b，c 为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定 T（a，b，c）为该“全整方程”的“全整数”（1）判断方程 x2x10 是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；（2）若关于 x 的一元二次方程 x2（2m3）x+m24m50（其中 m 为整数，且满足 5m22）是“全整方程”，求其“全整数”【分析】（1）解出方程 x2x10，即可得出结论；（2）先求出 b24ac4m+29，再利用“全整方程”判断出 4m+29 是完全平方数，即可得出结论【解答】解（1）是，理由：解方程 x2x10 得 x11，x23，两个根均为整数，满足定义，方程为“全整方程”，T（a，b，c）；（2）一元二次方程 x2（2m3）x+m24m50，b24ac4m+29，5m22，即：494m+29117，关于 x 的一元二次方程 x2（2m3）x+m24m50 是“全整方程”，b24ac 是完全平方数，即 4m+29 是完全平方数，4m+2964 或 81 或 100，m 为整数，m（舍去），m13，m（舍去），即原方程为 x223x+1120，T（a，b，c）