高考综合复习——机械振动-机械波专题复习31407.pdf

.1/19 机械振动 机械波专题复习 考纲解读 本专题考查的热点有简谐运动的特点与图象、波的图象以与波长、波速、频率的关系，题型以选择题和填空题为主，难度中等偏下，有的考区也以计算题的形式考查 复习时应注意理解振动过程中回复力、位移、速度、加速度等各物理量的变化规律、振动与波动 的关系与两个图象的物理意义，注意图象在空间和时间上的周期性。第一部分 机械振动 知识要点梳理知识点一简谐运动知识梳理 1定义 物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。表达式为：F=kx，是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。（2）回复力是一种效果力，是振动物体在沿振动方向上所受的合力。（3）“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态。）特别提醒：简谐运动的位移大小和方向都是相对平衡位置来说的，是从平衡位置指向所在位置的矢量。2几个重要的物理量间的关系 要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移 x、回复力 F、加速度 a、速度 v 这四个矢量的相互关系。（1）由定义知：Fx，方向与位移方向相反。（2）由牛顿第二定律知：aF，方向与 F 方向相同。（3）由以上两条可知：ax，方向与位移方向相反。（4）v 和 x、F、a 之间的关系最复杂：当 v、a 同向（即 v、F 同向，也就是 v、x 反向）时 v 一定增大；当 v、a 反向（即 v、F 反向，也就是 v、x 同向）时，v 一定减小。3从总体上描述简谐运动的物理量 振动的最大特点是往复性或者说是周期性。因此振动物体在空间的运动有一定的围，用振幅 A 来描述；在时间上则用周期 T 来描述完成一次全振动所需的时间。（1）振幅 A 是描述振动强弱的物理量。（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）（2）周期 T 是描述振动快慢的物理量。周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。任何简谐运动都有共同的周期公式：（其中 m 是振动物体的质量，k 是回复力系数，即简谐运动的判定式 F=kx中的比例系数，对于弹簧振子 k 就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。（3）频率也是描述振动快慢的物理量。周期与频率的关系是。4表达式，其中 A 是振幅，是 t=0 时的相位，即初相位或初相。5简谐运动的能量特征 振动过程是一个动能和势能不断转化的过程，振动物体总的机械能的大小与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。简谐运动的振幅不变，总的机械能守恒。疑难导析 1、简谐运动中路程和时间的关系.2/19 （1）若质点运动时间 t 与周期 T 的关系满足 t=nT（n1，2，3），则成立 特别提醒：不论计时起点对应质点在哪个位置向哪个方向运动，经历一个周期就完成一次全振动，完成任何一次全振动质点通过的路程都等于 4A。（2）若质点运动时间 t 与周期 T 的关系满足（n1，2，3），则成立 （3）若质点运动时间 t 与周期 T 的关系满足，此种情况最复杂，分三种情形 计时起点对应质点在三个特殊位置（两个最大位移处，一个平衡位置），由简谐运动的周期性和对称性知，成立。计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间，向平衡位置运动，则 sA。计时起点对应质点在最大位移处和平衡位置之间，向最大位移处运动，则 sA。（4）质点运动时间 t 为非特殊值，则需要利用简谐运动的振动图象进行计算。2、简谐运动的位移、速度、加速度与对称性 （1）位移：方向为从平衡位置指向振子位置，大小为平衡位置到该位置的距离。位移的表示方法：以平衡位置为原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某一时刻振子（偏离平衡位置）的位移用该时刻振子所在位置的坐标来表示。振子通过平衡位置时，位移改变方向。（2）速度：描述振子在振动过程中经过某一位置或在某一时刻运动的快慢。在所建立的坐标轴上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。振子在最大位移处速度为零，在平衡位置时速度最大，振子在最大位移处速度方向发生改变。（3）加速度：根据牛顿第二定律，做简谐运动物体的加速度。由此可知，加速度的大小跟位移大小成正比，其方向与位移方向总是相反。振子在位移最大处加速度最大，通过平衡位置时加速度为零，此时加速度改变方向。（4）简谐运动的对称性 瞬时量的对称性：做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系。另外速度、动量的大小具有对称性，方向可能相同或相反。过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时时间相等，如，如下图：特别提醒：利用简谐运动的对称性，可以解决物体的受力问题，如放在竖直弹簧上做简谐运动的物体，若已知物体在最高点的合力或加速度，可求物体在最低点的合力或加速度。但要注意最高点和最低点合力或加速度的方向相反。由于简谐运动有周期性，因此涉与简谐运动时，往往出现多解，分析时应特别注意：物体在某一位置时，位移是确定的，而速度不确定；时间也存在周期性关系。例：一个弹簧振子的振动周期是 0.025s，当振子从平衡位置开始向右运动，经过 0.17s 时，振子的运动情况是（）A正在向右做减速运动 B正在向右做加速运动 C正在向左做减速运动 D正在向左做加速运动 答案：B 知识点二简谐运动的图象知识梳理 1简谐运动的图象 以横轴表示时间 t，以纵轴表示位移 x，建立坐标系，画出的简谐运动的位移时间图象都是正弦或余弦曲线。2简谐运动的图象 （1）从平衡位置开始计时，函数表达式为，图象如图 1。（2）从最大位移处开始计时，函数表达式，图象如图 2。.3/19 3振动图象的物理意义 表示振动物体的位移随时间变化的规律。4从图象中可以知道 （1）任一个时刻质点的位移 （2）振幅 A （3）周期 T （4）速度方向：由图线随时间的延伸就可以直接看出 （5）加速度：加速度与位移的大小成正比，而方向总与位移方向相反。只要从振动图象中认清位移（大小和方向）随时间变化的规律，加速度随时间变化的情况就迎刃而解了。疑难导析 1关于振动图象的讨论 （1）简谐运动的图象不是振动质点的轨迹。做简谐运动质点的轨迹是质点往复运动的那一段线段（如弹簧振子）或那一段圆弧（如单摆）。这种往复运动的位移图象，就是以 x 轴上纵坐标的数值表示质点对平衡位置的位移，以 t 轴横坐标数值表示各个时刻，这样在 xt 坐标系，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况振动图象。（2）简谐运动的周期性表达在振动图象上是曲线的重复性。简谐运动是一种复杂的非匀变速运动，但运动的特点具有简单的周期性、重复性、对称性。所以用图象研究要比用方程要直观、简便。简谐运动的图象随时间的增加将逐渐延伸，过去时刻的图形将永远不变，任一时刻图线上过该点切线的斜率数值代表该时刻振子的速度大小，正负表示速度的方向，斜率为正时表示速度沿 x 正向，斜率为负时表示速度沿 x 负向。2根据简谐运动图象分析简谐运动情况的基本方法 简谐运动图象能够反映简谐运动的运动规律，因此将简谐运动图象跟具体的运动过程联系起来是讨论简谐运动的一种方法。（1）从简谐运动图象上可以直接读出不同时刻 t 的位移值，从而知道位移 x 随时间 t 的变化情况。（2）在简谐运动图象中，用作曲线上某点切线的方法可确定各时刻质点的速度大小和方向。切线与 x 轴正方向夹角小于时，速度方向与选定的正方向相同，且夹角越大说明此时速度越大；当切线与 x 轴正方向的夹角大于时，速度方向与选定的正方向相反，且夹角越大说明此时速度越小。也可以根据位移情况来判断速度的大小，因为质点离平衡位置越近，质点速度越大，而最大位移处，质点速度为零。根据位移变化趋势判定速度方向，若正位移增大，速度为正方向，若正位移减小，速度为负方向；反之，若负位移增大，速度为负方向，若负位移减小，速度为正方向。（3）由于，故可以根据图象上各个时刻的位移变化情况确定质点加速度的变化情况。同样只要知道了位移和速度的变化情况，也就不难判断出质点在不同时刻的动能和势能的变化情况。例：一质点做简谐振动，其位移 x 与时间 t 的关系曲线如下图，由可知（）A质点振动频率是 4Hz Bt2s 时，质点的加速度最大 C质点的振幅为 2cm Dt3s 时，质点所受合外力最大.4/19 答案：BC 解析：由图可知，振动周期为 T4s，因而振动倾率 f=0.25Hz，所以选项 A 错误。图中 t0 点是振动平衡位置，质点在平衡位置时所受合外力为零，速度最大，加速度为零；质点在最大位移处所受合外力最大，加速度最大，速度为零，因而选项 B 正确，选项 D 错误。振幅是质点偏离平衡位置的最大位移，由图可见，质点偏离平衡位置的最大位移为 2cm，振幅为 2cm，因而选项 C 正确。知识点三典型的简谐运动知识梳理 1弹簧振子 （1）周期，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度系数决定。（2）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是。这个结论可以直接使用。在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。2单摆 （1）在一条不可伸长的、质量可以忽略的细线下拴一质点，上端固定，构成的装置叫单摆；当单摆的最大偏角小于时，单摆的振动近似为简谐运动。（2）单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度()越大，由于摆球的轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力。（3）单摆的周期：。在小振幅摆动时，单摆的振动周期跟振幅和振子的质量都没有关系。疑难导析 类单摆的等效摆长和等效重力加速度 在有些振动系统中 不一定是绳长，g 也不一定为 9.8，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。（1）等效摆长：如下图，三根等长的绳共同系住一密度均匀的小球 m，球直径为 d。与天花板的夹角。若摆球在纸面做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在处，故等效摆 长，周期；若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在 O 处，故等效摆长为，周期。（2）等效重力加速度：公式中的 g 由单摆所在的空间位置决定。由知，g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆.5/19 所在处的等效值代入公式，即 g 不一定等于 9.8。g 还由单摆系统的运动状态决定。如单摆处在向上加速发射的航天飞机，设加速度为 a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值。再如，单摆若在轨道上运行的航天飞机，摆球完全失重，回复力为零，则等效值，所以周期为无穷大，即单摆不摆动了。g 还由单摆所处的物理环境决定。如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和竖直电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有等效值的问题。在均匀场中值等于摆球静止在平衡位置时摆线的力与摆球质量的比值，由此找到等效重力加速度代入公式即可求得周期 T。若g，T 变短；g，T 变长。例：在一加速系统中有一摆长为 的单摆。（1）当加速系统以加速度 a 竖直向上做匀加速运动时，单摆的周期多大？若竖直向下加速呢？（2）当加速系统在水平方向以加速度 a 做匀加速直线运动时，单摆的周期多大？解析：（1）当单摆随加速系统向上加速时，设在平衡位置相对静止的摆球的视重力为 F，如图 甲所示，则，故，由得，视重力加速度，所以单摆周期 同理，当升降机竖直向下加速时，视重力，则，故 （2）当在水平方向加速时，相对系统静止时摆球的位置如图乙所示，视重力，故视重力加速度，所以周期。知识点四受迫振动与共振知识梳理 1受迫振动 物体在周期性变化的驱动力作用下的振动叫受迫振动；物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系。2共振 是一种特殊的受迫振动，当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动物体的振幅最大，这种现象叫共振。声音的共振叫共鸣。疑难导析 1共振曲线 如下图，共振曲线以驱动力频率为横坐标，以受迫振动的振幅为纵坐标。它直观地反映了驱动力频率.6/19 对受迫振动振幅的影响，由图可知，与越接近，振幅 A 越大；当时，振幅 A 最大。2受迫振动中系统能量的转化受迫振动不是系统部动能和势能的转化，而是与外界时刻进行着能量交换，系统的机械能也时刻变化。3发生共振时，驱动力对振动系统总是做正功，总是向系统输入能量，使系统的机械能逐渐增加，振动物体的振幅增大。当驱动力对系统做的功与摩擦力做的功以与介质阻力做的功之和相等时，振动系统的机械能不再增加，振幅不再增大。例：如图为一单摆的共振曲线，根据图象解答：（1）该单摆的摆长约为多少？（2）共振时单摆的振幅多大？解析：（1）从共振曲线可知，单摆的固有频率 f=0.5Hz，因为，所以，代入数据解得1m （2）从共振曲线可知：单摆发生共振时，振幅 A8cm。典型例题透析题型一简谐运动的图象 利用简谐运动的图象可以确定：（1）可以确定振动物体在任一时刻的位移。如图中，对应时刻的位移分别为。（2）确定振动的振幅。图中最大位移的值就是振幅，如图表示振动的振幅是 10cm。（3）确定振动的周期和频率。振动图象上一个完整的正弦（余弦）图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期。由图可知，OD、AE、BF 的间隔都等于振动周期，T=0.2s，频率。（4）确定各质点的振动方向。例如图中的时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在时刻，质点正向着平衡位置运动。（5）比较各时间质点加速度的大小和方向。例如在图中时刻质点位移为正，则加速度为负，时刻为负，则加速度为正，又因为，所以。.7/19 例1、一质点简谐运动的振动图象如下图。（1）该质点振动的振幅是 cm；周期是 s；初相是_。（2）写出该质点简谐运动的表达式，并求出当 t=1s 时质点的位移。思路点拨：（1）由图象可得出振幅、周期、初相。（2）由，A 和为振幅和初相。将 t=1s 代入即可求出位移。解析：（1）由质点振动图象可得 A=8cm，T=0.2s，（2）rad/s 质点简谐运动表达式为，当 t=1s 时，x=8cm。总结升华：（1）应用振动图象可直接读出振幅、周期、初相。（2）书写简谐运动表达式，可根据位移通式，结合从图象上得到的振幅 A 和初相、周期 T，再根据，解出代入即可。举一反三 变式如下图为一弹簧振子的振动图象。求：（1）从计时开始经过多长时间弹簧振子第一次达到弹性势能最大？（2）在第 2s 末到第 3s 末这段时间弹簧振子的加速度、速度、动能、弹性势能各是怎样变化的？（3）该振子在前 100s 的总位移是多少？路程是多少？解析：（1）由图可知，在计时开始的时刻弹簧振子恰好沿 x 轴正方向通过平衡位置 O，此时弹簧振子具有最大动能，随着时间的延续，速度不断减小，而位移逐渐增大，经ls，其位移达到最大，此时弹性势能最大。.8/19 （2）由图知，在 t=2s 时，弹簧振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断增加，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大；当 t=3s 时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值。（3）振子经过一周期位移为零，路程为 54cm=20cm，前 100s 刚好经过了 25 个周期，所以前 100s 振子位移 s=0，路程2025cm=500cm=5m。题型二简谐运动具有往复性、对称性和周期性 简谐运动的过程特点 1变化特点：抓住两条线 第一，从中间到两边（平衡位置到最大位移）：，动能，势能，机械能E 不变。第二，从两边到中间（最大位移到平衡位置）：，动能，势能，机械能 E不变。2运动规律 （1）周期性简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能恢复到原来的状态。（2）对称性简谐运动的物体具有相对平衡位置的对称性。物体做简谐运动时，在同一位置 P 点，振子的位移相同，回复力、加速度、动能和势能也相同，速度的大小相等，但方向可相同也可相反。在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势能对应相等，回复力、加速度大小相等，方向相反；速度的大小相等，方向可相同，也可相反，运动的时间也对应相等；一个做简谐运动的质点，经过时间 t=nT（n 为正整数），则质点必回到出发点，而经过 t(2n+1)（n 为正整数），则质点所处位置必与原来位置关于平衡位置对称。例 2、一弹簧振子做简谐运动，周期为 T（）A若 t 时刻和时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则一定等于 T 的整数倍 B若 t 时刻和时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则一定等于 T/2 的整数倍 C若=T，则在 t 时刻和时刻振子运动的加速度一定相等 D若=T/2，则在 t 时刻和时刻弹簧的长度一定相等 思路点拨：利用简谐运动的周期性和对称性分析求解。解析：对 A 选项，只能说明这两个时刻振子位于同一位置，如下图，设在 P 点，并未说明这两个时刻振子的运动方向是否相同，可以是振子由 P 向 B 再回到 P 的时间，故认为一定等于 T 的整数倍是错误的；对 B 选项，振子两次到 P 位置时可以速度大小相等，方向相反，但并不能肯定等于 T/2 的整数倍，选项 B 也是错误的；在相隔一个周期 T 的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必定相同，选项 C 是正确的；相隔 T/2 的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置可位于 P 和对称的处，在 P 处弹簧处于伸长状态，在处弹簧处于压缩状态，弹簧的长度并不相等，选项 D 是错误的。答案：C 总结升华：简谐运动的周期性简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回到原来的状态。简谐运动的对称性简谐运动的物体具有相对平衡位置的对称性。举一反三变式一个质点在平衡位置 O 点附近做机械振动。若从 O 点开始计时，经过 3s 质点第一次经过 M 点（如下图）；再继续运动，又经过 2s 它第二次经过 M 点；则该质点第三次经过 M 点还需的时间是（）A.8s B.4s C.14s D.s.9/19 答案：CD 解析：由简谐振动的对称性可知，质点由 Oa，aO；OM，MO；Mb，bM；所用时间分别对应相等。又因为开始计时时，质点从 O 点开始运动方向不明确，故应分为两种情况讨论。（1）当质点开始从 O 点向右运动时，由题意得，=3s，2=2s，而=，所以有 T=16s，故质点第三次达 M 点还需要时间为 t=2=8s6s=14s。（2）当质点开始从 O 点向左运动时，由题意得，=3s，2=2s，而=，所以有 T=s，=s，故质点第三次达 M 点还需要时间为=2=s。题型三单摆的周期 等效单摆的周期公式中是等效重力加速度。等效重力加速度由单摆所在的空间位置决定，一般情况下等效重力加速度等于摆球静止时摆线的力（视重）与摆球质量的比值。例 3、如下图，在水平地面上有一段光滑圆弧形槽，弧的半径是 R，所对圆心角小于，现在圆弧的右侧边缘 M 处放一个小球 A，使其由静止下滑，则：（1）球由 A 至 O 的过程中所需时间 t 为多少？在此过程中能量如何转化？（定性说明）（2）若在 MN 圆弧上存在两点 P、Q，且 P、Q 关于 O 对称，且已测得球 A 由 P 直达 Q 所需时间为，则球由 Q 至 N 的最短时间为多少？（3）若在圆弧的最低点 O 的正上方 h 处由静止释放小球 B，让其自由下落，同时 A 球从圆弧右侧由静止释放，欲使 A、B 两球在圆弧最低点 O 处相遇，则 B 球下落的高度 h 是多少？思路点拨：要抓住圆弧光滑且圆心角小于这个条件，隐含条件是小球的运动可等效为单摆，即球在圆弧上做简谐运动。从而利用简谐运动的周期性和对称性以与机械能守恒定律解决问题。解析：（1）由单摆周期公式知：球 A 的运动周期，.10/19 所以 在由 AO 的过程中球 A 的重力势能转化为动能。（2）由对称性可知 代入数据解得 Q 至 N 的最短时间 （3）欲使 A、B 相遇，则两球运动时间相同，且必须同时到达 O 点，A 球能到 O 点的时间可以是，也可以是。故由简谐运动的周期性可知两球相遇所经历的时间可以是或 所以 A 球运动的时间必为的奇数倍，即 所以。总结升华：此题易出现的错误一是不会利用简谐运动对称性；二是不注意周期性带来多解问题，误认为从 A 到 O 时间仅为。第二部分 机械波知识要点梳理知识点一机械波知识梳理 1波的形成 机械振动在介质中的传播形成机械波。条件：波源；介质。2机械波的分类 按质点的振动方向与波的传播方向是垂直还是平行分为横波和纵波。3描述波动的物理量 名称 符号 单位 意义 备注 波长 m 沿着波的传播方向，两个相邻的振动情况完全相同的质点的距离 在一个周期，波传播的距离等于一个波长 波速 v m/s 振动传播的速度 波速大小由介质决定 振幅 A m 质点振动的位移的最大值 数值大小由波源决定 周期 T s 质点完成一次全振动的时间 频率 f Hz 1s 质点完成全振动的次数 4机械波的传播特征 （1）机械波向外传播的只是振动这一运动形式和振动的能量，介质中的质点本身并没有随波迁移。（2）机械波在传播过程中，介质中各质点都在各自的平衡位置附近做同频率、同振幅的简谐振动，沿着.11/19 波的传播方向，后一质点的振动总落后于前一质点的振动，或者说后面的质点总要重复前面质点的振动，只是在时间上晚了一段。正是由于不同质点在同一时刻的振动步调不一致，于是就形成了波。（3）在介质中有波传播时，由于介质中各个质点运动的周期性，决定振动状态在介质中的传播也具有周期性，如果忽略了介质对能量的吸收消耗，则介质中各质点均做振幅相同的简谐振动。疑难导析 1波长概念的理解 公式 vf 中，v 由介质决定，f 取决于波源，而由波源和介质共同决定；当波源振动时，将带动其相邻的质点做同频率的受迫振动。驱动力来源于振源，所有质点的振动频率均等于振源的频率；当波从一种介质进入另一种介质时，频率不变，波速变化，波长也随之变化。2质点振动速度与波速的区别 质点的振动速度与波速是两个不同的概念。振动速度是变化的；波速相对于同一均匀介质是一个定值。波速是振动形式的传播速度，也是能量的传播速度。不能认为 v 正比于，反比于 T。特别提醒：（1）机械波从一种介质进入另一种介质，频率不变，波速、波长都改变。（2）机械波波速仅由介质来决定，固体、液体中波速比空气。例：如下图，一横波的波源在坐标原点，x 轴为波的传播方向，y 轴为振动方向。当波源开始振动 0.5s时形成了如下图的波形（波刚传到图中 P 点）。试求：（1）该波的振幅；（2）从图示位置再经多长时间波传到 Q 点？（3）Q 点开始振动的方向如何？解析：（1）根据图象可知，波的振幅为 A=10cm （2）根据题意，波的周期为 T=0.5s，波的波长为，波速，传到 Q 点所用的时间 （3）Q 点的振动方向就是如下图的波形中 P 点的振动方向，判断可知沿 y 轴的负方向。知识点二波的图象知识梳理 1波的图象 简谐波的图象是正弦或余弦曲线。（1）波的图象形象直观地揭示了较为抽象的波动规律。波的图象表示在波的传播方向上介质量质点在同一时刻相对平衡位置的位移，波动图象一般随时间的延续而变化(时，波形不变，k 为整数)。（2）从图象可获取的信息有：该时刻各质点的振动位移；振幅 A 和波长；若已知波的传播方向，由图象可知各质点的振动方向；若已知某质点此时刻的振动方向，由图象可知波的传播方向。疑难导析 1、振动图象与波动图象区别.12/19 振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象。简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦(余弦)曲线形状，但二图象是有本质区别的，见表：振动图象 波形图象 研究对象 一振动质点 沿传播方向所有介质质点 研究容 一质点的位移随时间的变化规律 某时刻所有质点的空间分布规律 图线 物体意义 一质点在各时刻的位移 某时刻各质点的位移 图线变化 已有图形不变 图象随时间沿传播方向平移 质点振动方向 的确定方法 下一时刻的振动 重复前一质点的振动 一个完整曲线占 横坐标的距离 表示一个周期 表示一个波长 2、简谐波常见问题分类 （1）若已知波的传播方向和波速的大小，可画出前后某一时刻的波形图 画出再经时间波形图的方法：平移法。先确定，算出时间波传播的距离，再把整个波形沿波的传播方向平移。特殊点法。找两点(原点和的点)并确定其运动方向，确定经时间这两点所到达的位置，按正弦规律画出新的波形。特别提醒：若要画出时间前的波形，则往相反方向平移即可；若或较大，则可根据波动图象的重复性采用去整留零（即整周期去掉，只画不足 1 个周期部分即可）方法处理。例：如下图，是一列简谐横波沿 x 轴正方向传播的图象，试画出经时间的波形。方法 1：平移法。因为，把整个波形向右平移，见图中虚线所示。方法 2：特殊点法。取 O 点和隔的点 A 来研究，如下图，由上面方法易判定 O 点向下运动，A 也向下运动，经时间，O 到，A 到(注意质点只是上、下振动)，再由正弦曲线规律画出虚线的波形。（2）波的传播方向与质点振动方向的判断方法 已知波的传播方向，由图象可知各质点的振动方向；若已知某质点此时刻的振动方向，由图象可知波的.13/19 传播方向。常用方法有：上下坡法。沿波的传播方向看，“上坡”的质点向下振动；“下坡”的质点向上振动，简称“上坡下，下坡上”（如图甲所示）。同侧法。在波的图象上某一点，沿纵轴方向画出一个箭头表示质点的振动方向，并设想在同一点沿水平方向画个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧（如图乙所示）。平移法。将波沿波的传播方向做微小移动，如图丙中虚线所示，则可判定 P 点沿 y 正方向运动了。（3）在解决图象问题时，要注意波的空间周期性、时间周期性、双向性、对称性和多解性。波的空间周期性 在同一波线上相距为波长整数倍的多个不同质点振动情况完全相同。沿波的传播方向，在 x 轴上任取一点 P，如下图，P 点的振动完全重复波源 O 的振动，只是时间上比 O 点要落后时间，在同一波线上，凡坐标与 P 点坐标 x 之差为波长整数倍的质点，在同一时刻 t 的位移都与坐标为 x 的质点的振动“相貌”完全相同，因此在同一波线上，某一振动“相貌”势必会不断地重复出现，这就是机械波的空间周期性。波的时间周期性 波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波形图线相同，这就是机械波的时间周期性。波的双向性 双向性是指波沿正、负方向传播时，若正、负两方向传播的时间之和等于周期的整数倍，则正、负两方向传播的那一时刻波形相同。波的对称性 波源的振动，要带动它左、右相邻介质质点振动，波要向左、右两方向传播，对称性是指波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同。例：如图为沿 x 轴向右传播的简谐横波在 t1.2s 时的波形，位于坐标原点处的观察者测到在 4s 有 10个完整的波经过该点。（1）求该波的波幅、频率、周期和波速。（2）画出平衡位置在 x 轴上 P 点处的质点在 00.6s 的振动图象。思路点拨：根据波动图象可以求出波长、振幅；由 可以求出波速；由 求出频率；另外也可以.14/19 用求出频率。由波动图象和波的传播方向可以确定质点的振动方向，然后可画出振动图象。解析：（1）A0.1m 2m （2）知识点三波的性质知识梳理 1波的反射 （1）波在介质中传播时，任一时刻介质振动步调相同的点的包络面，叫做波面，垂直于波面并指向波传播方向的直线，叫做波线。（2）介质中波面上的各点，都可以看作发射子波的波源，其后任意时刻，这些子波前进方向的包络面就形成新的波面。（3）波的反射中，反射角等于入射角。2波的干涉 频率相同的两列波叠加，使某些区域的振动加强，某些区域的振动减弱，并且振动加强和振动减弱的区域相互间隔。（1）干涉的主要特点是：振动加强区域实际上是以两列波振幅之和为新的振幅作振动，振动减弱区域是以两列波振幅之差为新的振幅作振动。加强区域和减弱区域是不随时间作周期性变化的，位移的大小在零和最大值之间。（2）加强点和减弱点的判定方法 第一种方法：从波的波形图来判定：在两列相干波叠加区域，某一点是波峰和波峰叠加（如图中的 M 点）或波谷和波谷相叠加（如 N 点）。这样的点，两列波引起的位移方向相同，为振动加强点。第二种方法：振动情况完全相同的两个波源，在同一介质中形成的两列波的重叠区，某质点的振动是加强还是减弱，取决于两个相干波源到该质点的距离之差，若(n=0，1，2，3)，则该质点振动总是加强；若(n=0，l，2，3)，则该质点振动总是减弱。3波的衍射 波可以绕过障碍物继续传播，这种现象叫波的衍射。衍射现象的本质是波在遇到小孔或障碍物时，偏离了直线传播，使波所波与的围扩大。任何波都能发生衍射，衍射总是存在的，只是有的衍射明显，有的衍射不明显。实验证明，只有当小孔或障碍物的尺寸跟波长相差不多，或比波长更小时，才能观察到明显的衍射现象。4多普勒效应 （1）多普勒效应：由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者感到波的频率发生变化的现象，叫做多普勒效应。（2）当波源与观察者有相对运动时，如果二者相互接近，观察者接收到的频率变大；如果二者相互远离，观察者接收的频率变小。（3）机械波、电磁波、光波都能产生多普勒效应，多普勒效应是波动过程共有的特征。疑难导析干涉和衍射是波的两个特有的现象。波的干涉与波的衍射的比较见下表.15/19 定义 现象 可观察到现象的条件 相同点 波的衍射 波可以绕过障碍物继续传播的现象 波能偏离直线而传到直线传播以外的空间 缝、孔或障碍物的尺寸跟波长相差不多或者小于波长 干涉和衍射是波特有的现象 波的干涉 频率相同的两列波叠加，使某些区域的振动加强，某些区域的振动减弱，而且加强和减弱的区域相间分布的现象 振动强弱相间的区域。某些区域总是加强，某些区域总是减弱 两列波的频率相同 特别提醒：（1）波的干涉和衍射都是波特有的现象可以帮助我们区别波动和其他运动形式。（2）干涉和衍射发生的现象不同，发生的条件也不相同，实际应用中要加以区分。典型例题透析题型一波的传播方向与质点振动方向的判断 波的传播方向与质点振动方向的互判方法 （1）根据波的传播特性判断 由传播方向判定质点振动方向：确定该质点前边相邻的一质点，根据这一质点此时的位置，确定要判定质点振动方向。由质点的振动方向判定波的传播方向。由某质点的振动方向确定哪边是它前边的点，从而确定波传播方向。（2）“上下坡”法 沿波的传播方向看，上坡的点向下振动，下坡的点向上振动。例 1、湖面上一点 O 上下振动，振辐为 0.2m，以 O 点为圆心形成圆形水波，如下图，A、B、O 三点在一条直线上，OA 间距离为 4.0m，OB 间距离为 2.4m。某时刻 O 点处在波峰位置，观察发现 2s 后此波峰传到 A 点，此时 O 点正通过平衡位置向下运动，OA 间还有一个波峰。将水波近似为简谐波。（1）求此水波的传播速度、周期和波长。（2）以 O 点处在波峰位置为 0 时刻，某同学打算根据 OB 间距离与波长的关系，确定 B 点在 0 时刻的振动情况，画出 B 点的振动图象。你认为该同学的思路是否可行？若可行，画出 B 点振动图象，若不可行，请给出正确思路并画出 B 点的振动图象。思路点拨：（1）根据传播距离和时间可以求出波速，根据波在空间传播的周期性，可以求出周期，进而求出波长。另一种方法根据 O、A 两质点的位置求出波长，再求出周期。（2）根据 OB 之间的距离和波长关系可以确定 O 时刻 B 点所处的位置以与振动方向。从而画出振动图象。解析：（1）由题意知 2s 传播了 4m，故=2m/s 因为 O 点在 2s 末正过平衡位置向下运动，故 2s 应为（OA 间有一个波峰），.16/19 即：1.6s 3.2m （2）可行。B 在 O 点右边，即 B 点落后 O 点。故在 0 时刻 B 正处于平衡位置向下运动，所以振动图象如图：总结升华：该题为中档题，考查了波动和振动的关系。解题过程中应画出向左、右传播的波形图，这样便于直观分析。此题可以采用上下坡法判断波的传播方向和质点振动方向的关系。举一反三变式一列简谐横波在 x 轴上传播，某时刻的波形图如下图，a、b、c 为三个质元，a 正向上运动。由此可知（）A该波沿 x 轴正方向传播 Bc 正向上运动 C该时刻以后，b 比 c 先到达平衡位置 D该时刻以后，b 比 c 先到达离平衡位置最远处 答案：AC 解析：由 a 的运动方向可知，该波沿 x 轴正方向传播，此时刻 b 正向上运动。c 正向下运动，所以该时刻以后，b 比 c 先到达平衡位置。应选项 A、C 正确。总结升华：此题主要考查了波动图象的相关知识。解决此题时要注意：波的传播方向和各质点的振动方向是两个重要的方向，二者的关系可根据如下的两种方法判断：第一种方法，已知某一质点的振动方向，则从此质点开始沿着 x 轴在曲线的同侧画一箭头，此箭头方向指向波的传播方向。第二种方法，已知波的传播方向时，顺着波的传播方向去看，各质点的振动方向满足“上坡下，下坡上”的规律，且越远的质点，振动越晚。题型二 机械波的传播特点（规律）（1）前带后，后跟前，运动状态向后传。即：各质点都做受迫振动，起振方向由波源来决定；且其振动频率（周期）都等于波源的振动频率（周期），但离波源越远的质点振动越滞后。（2）机械波传播的是波源的振动形式和波源提供的能量，而不是质点。例 2、图甲中，波源 S 从平衡位置 y=0 开始振动，运动方向竖直向上（y 轴的正方向），振动周期 T=0.01s，产生的简谐波向左、右两个方向传播，波速均为 v=80m/s经过一段时间后，P、Q 两点开始振动，已知距离SP=1.2m、SQ=2.6m。若以 Q 点开始振动的时刻作为计时的零点，则在图乙的振动图象中，能正确描述 P、Q 两点振动情况的是（）A为 Q 点振动图象 B为 Q 点振动图象 C为 P 点振动图象 D为 P 点振动图象 .17/19 思路点拨：（1）波的传播公式知二求一，要求其中的一个物理量必须非常主动自觉地找到另外的两个物理量，或在波与振动这部分题目中，若已知中的任意两个量，要自觉地应用求出第三个量，以备后用。（2）已知一段距离 x，要把这段距离用波长的倍数形式表示出来，才能反映出这段距离 x 的含义，如此题中SQ2.6m，即=1.2m，即，从而还可知道P离S的距离小于Q离S的距离。（3）波传到某一点时，这一点的起振方向与振源最初的振动方向相同。因为 S 最初运动方向竖直向上，所以 P、Q 两点刚开始振动的方向也是竖直向上。（4）波的定义告诉我们，波传播一个波长需要一个周期，类同，波传播 n 个波长就需要 n 个周期，如此题中 P 离 S 的距离小于 Q 离 S 的距离，则 P 就比 Q 早振动。解析：根据波长和波速的关系得波长=0.8m 所以有：SP=1.5，SQ=3.25，即波由波源传播到 Q 点时，P 已经振动 3.25T1.5T=1.75T 当 Q 开始振动时，P 从波谷开始向上振动。由此可以判断选项 A、D 是正确的。答案：AD 总结升华：机械波向外传播的只是振动这一运动形式和振动的能量，介质中的质点本身并没有随波迁移。举一反三变式如下图，一列简谐横波沿 x 轴正方向传播，从波传到 x=5m的 M 点时开始计时，已知 P 点相继出现两个波峰的时间间隔为 0.4s，下面说法中正确的是（）A这列波的波长是 4m B这列波的传播速度是 10m/s C质点 Q（x=9m）经过 0.5s 才第一次到达波峰 DM 点以后各质点开始振动时的方向都是向下 答案：ABD 解析：（1）从图上可以看出波长为