高考数学一轮复习第6章数列第4节数列求和教学案文北师大版3057.pdf

第四节 数列求和 最新考纲 1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法 (对应学生用书第 102 页)1公式法(1)等差数列的前n项和公式：Snna1an2na1nn12d；(2)等比数列的前n项和公式：Sn na1，q1，a1anq1qa11qn1q，q1.2分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解 3裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和 4错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解 5倒序相加法 如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解 6并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解 例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.常用结论 1一些常见的数列前n项和公式(1)1234nnn12；(2)13572n1n2；(3)24682nn2n.2常用的裂项公式(1)1nnk1k1n1nk；(2)14n2112n12n11212n112n1；(3)1nn1n1n；(4)loga11nloga(n1)logan.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前n项和Sna1an11q.()(2)当n2 时，1n21121n11n1.()(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得 ()(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得 sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编 1数列an的前n项和为Sn，若an1nn1，则S5等于()A1 B.56 C.16 D.130 B an1nn11n1n1，S5a1a2a51121213151611656.故选 B.2若Sn123456(1)n1n，则S50_.25 S50(12)(34)(4950)25.3数列 112，314，518，7116，(2n1)12n，的前n项和Sn等于_ n2112n Sn135(2n1)12141812n n212112n112n2112n.4若x0，且x1，则 12x3x2nxn1_.1xn1x2nxn1x 设Sn12x3x2nxn1，则xSnx2x23x3nxn，得：(1x)Sn1xx2xn1nxn1xn1xnxn，所以Sn1xn1x2nxn1x.(对应学生用书第 102 页)考点 1 分组转化求和 分组转化求和的两个常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和；(2)通项公式为an bn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和 已知数列an的前n项和Snn2n2，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前 2n项和 解(1)当n1 时，a1S11；当n2 时，anSnSn1n2n2n12n12n.a1也满足ann，故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前 2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，则A2122n1222n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前 2n项和T2nAB22n1n2.母题探究 在本例(2)中，若条件不变，求数列bn的前n项和Tn.解 由本例(1)知bn2n(1)nn.当n为偶数时，Tn(21222n)1234(n1)n22n112n22n1n22；当n为奇数时，Tn(21222n)1234(n2)(n1)n 2n12n12n2n1n252.所以Tn 2n1n22，n为偶数，2n1n252，n为奇数.通项公式中出现(1)n，在求数列的前n项和Sn时，要分n为偶数和n为奇数两种情况讨论 1.若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为()A2nn21 B2n1n21 C2n1n22 D2nn2 C Sna1a2a3an(21211)(22221)(23231)(2n2n1)(2222n)2(123n)n212n122nn12n2(2n1)n2nn2n1n22.故选 C.2已知数列an中，a1a21，an2 an2，n是奇数，2an，n是偶数，则数列an的前 20 项和为()A1 121 B1 122 C1 123 D1 124 C 由题意可知，数列a2n是首项为 1，公比为 2 的等比数列，数列a2n1是首项为 1，公差为 2 的等差数列，故数列an的前 20 项和为1121012101109221 123.选 C.考点 2 错位相减法求和 错位相减法求和的四个步骤 (2019天津高考)设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于 0，已知a1b13，b2a3，b34a23.(1)求an和bn的通项公式；(2)设数列cn满足cn 1，n为奇数，bn2，n为偶数.求a1c1a2c2a2nc2n(nN*)解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.依题意，得 3q32d，3q2154d，解得 d3，q3，故an33(n1)3n，bn33n13n.所以，an的通项公式为an3n，bn的通项公式为bn3n.(2)a1c1a2c2a2nc2n(a1a3a5a2n1)(a2b1a4b2a6b3a2nbn)n3nn126(631123218336n3n)3n26(131232n3n)记Tn131232n3n，则 3Tn132233n3n1，得，2Tn332333nn3n1 313n13n3n12n13n132.所以，a1c1a2c2a2nc2n3n26Tn3n232n13n132 2n13n26n292(nN*)错位相减法求和时应注意两点(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n1 项和当作n项和 设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1 时，记cnanbn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意得 10a145d100，a1d2，即 2a19d20，a1d2，解得 a11，d2或 a19，d29.故 an2n1，bn2n1或 an192n79，bn929n-1.(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn2n12n1，于是Tn1325227239242n12n1，12Tn123225237249252n12n.可得 12Tn21212212n22n12n32n32n，故Tn62n32n1.教师备选例题(2017山东高考)已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a26，a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；(2)bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n1bnbn1，求数列bnan的前n项和Tn.解(1)设an的公比为q，由题意知：a1(1q)6，a21qa1q2，又an0，由以上两式联立方程组解得a12，q2，所以an2n.(2)由题意知S2n12n1b1b2n12(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cnbnan，则cn2n12n.因此Tnc1c2cn 325227232n12n12n12n，又12Tn3225237242n12n2n12n1，两式相减得 12Tn321212212n12n12n1，所以Tn52n52n.考点 3 裂项相消法求和 裂项相消法求和的两个关注点(1)通项公式能裂为两项差的形式，求和时能产生连续相互抵消的项(2)消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩到第几项，后边就剩到倒数第几项 形如an1nnk型 已知数列an的各项都为正数，其前n项和为Sn，且满足 4Sna2n2an3 对任意的正整数n都成立(1)证明数列an是等差数列，并求其通项公式；(2)设bn1Sn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)当n1 时，4S1a212a13，即a212a130，解得a13 或a11(舍去)，由 4Sna2n2an3，得当n2 时，4Sn1a2n12an13，两式相减，得 4ana2na2n12an2an1，即(anan1)(anan12)0，又an0，anan120，即anan12(n2)，数列an是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，an32(n1)2n1.(2)由an2n1，得Sn32n12nn(n2)，bn1Sn1nn2121n1n2，Tnb1b2b3bn1bn 12113121413151n11n11n1n2 121121n11n2342n32n1n2.本例在求前n项和Tn时，应注意两点：(1)bn裂成两项差时，不要漏掉系数12.(2)求和消项后，前边剩两项，后边也剩两项，注意符号不同 教师备选例题 在等差数列an中，a24，a1a4a730，其前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列1Sn2n的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为d.法一：由已知可得 a1d4，a1a13da16d30，即 a1d4，3a19d30，解得 a11，d3，所以ana1(n1)d1(n1)33n2.法二：由等差数列的性质可得a1a4a73a430，解得a410，所以da4a24210423，所以ana2(n2)d4(n2)33n2.(2)由(1)知Sn3n2n2，所以Sn2n3n2n22n3n23n23nn12，所以1Sn2n23nn1231n1n1.所以Tn23112231213231n1n12311n12n3n1.形如an1nkn型 已知函数f(x)x的图像过点(4,2)，令an1fn1fn，nN*，记数列an的前n项和为Sn，则S2 020()A.2 0191 B.2 0201 C.2 0211 D.2 0211 C 由f(4)2，得 42，解得12，则f(x)x12.an1fn1fn1n1nn1n，S2 020a1a2a3a2 020(21)(3 2)(4 3)(2 0202 019)(2 021 2 020)2 0211，故选 C.本例中通项公式的裂项使用了分母有理化 1.已知数列an的通项公式为anlg11n，若数列an的前n项和Sn3，则项数n()A99 B101 C999 D1001 C anlg11nlgn1nlg(n1)lg n，Sna1a2a3an(lg 2lg 1)(lg 3lg 2)(lg 4lg 3)lg(n1)lg nlg(n1)，令Snlg(n1)3 得n1103，解得n999，故选 C.2已知等差数列an满足a37，a5a726.(1)求等差数列an的通项公式；(2)设cn1anan1，nN*，求数列cn的前n项和Tn.解(1)设等差数列的公差为d，则由题意可得 a12d7，2a110d26，解得 a13，d2.所以an32(n1)2n1.(2)因为cn1anan112n12n3，所以cn1212n112n3，所以Tn121315151712n112n3121312n3n6n9.课外素养提升 数学建模数学文化与数列(对应学生用书第 105 页)纵观近几年高考，数列以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新，同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开下面通过对典型例题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让学生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文化的理解，提升数学建模的核心素养 等比数列与数学文化【例 1】(2018北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A.32f B.322f C.1225f D.1227f D 从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f，公比为122的等比数列，记为an，则第八个单音频率为a8f(122)811227f，故选 D.评析 根据等比数列的定义可知，十三个单音的频率构成等比数列【例 2】(2019邵阳模拟)九章算术中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长 1 尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高 3尺，莞第一天长高 1 尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的 2 倍若蒲、莞长度相等，则所需时间为()(结果精确到 0.1.参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)A2.2 天 B2.4 天 C2.6 天 D2.8 天 C 设蒲的长度组成等比数列an，其a13，公比为12，其前n项和为An.莞的长度组成等比数列bn，其b11，公比为 2，其前n项和为Bn.则An3112n112，Bn2n121，由题意可得：3112n1122n121，化为：2n62n7，解得 2n6,2n1(舍去)nlg 6lg 21lg 3lg 22.6.估计 2.6 天蒲、莞长度相等，故选 C.评析 问题转化成两个等比数列前n项和相等问题【素养提升练习】1中国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地，请问第二天走了()A192 里 B96 里 C48 里 D24 里 B 依题意，每天走的路程构成等比数列an，且n6，公比q12，S6378，设等比数列an的首项为a1，依题意有a11126112378，解得a1192.所以a21921296.即第二天走了 96 里 等差数列与数学文化【例 3】(2019九江模拟)我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四尺斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根 5 尺长的金杖，一头粗，一头细在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1尺，重 2 斤问依次每一尺各重多少斤？”根据上面的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，问中间 3 尺的重量为()A6 斤 B9 斤 C9.5 斤 D12 斤 B 依题意，金杖由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，记为an，则a14，a52，由等差数列的性质得a2a4a1a52a36，所以a33，所以中间 3 尺的重量为a2a3a43a39(斤)故选 B.评析 金杖由粗到细，每一尺的重量成等差数列，可用等差数列的性质求解【素养提升练习】2(2019石家庄模拟)我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活中都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将 1到 2 019 这 2 019 个整数中能被 5 除余 2 且被 7 除余 2 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，那么此数列的项数为()A58 B59 C60 D61 A 由数能被 5 除余 2 且被 7 除余 2 的数就是能被 35 整除余 2 的数，故an2(n1)3535n33，由an35n332 019，得n582235，nN*，故此数列的项数为 58.