高考数学中值域分析5225.pdf

高考数学中值域分析.1 基本原理.（1）“存在=存在”型 2211,DxDx，使得)()(21xgxf，等价于函数)(xf在1D上的值域A与函数)(xg在2D上的值域B的交集不为空集,即BA.其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.（2）“任意=存在”型 2211,DxDx，使得)()(21xgxf,等价于函数)(xf在1D上上的值域A是函数)(xg在2D上的值域B的子集,即BA.其等价转化的基本思想:函数)(xf的任意一个函数值都与函数)(xg的某一个函数值相等,即)(xf的函数值都在)(xg的值域之中.（3）.“任意(、)任意”型 2211,DxDx，使得)()(21xgxf恒成立等价于maxmin)()(xgxf.其等价转化的基本思想是函数)(xf的任何一个函数值均大于函数)(xg的任何一个函数值.同理，可得其他类型.2.应用 例 1 已知曲线()yln xm与x轴交于点P，曲线在点P处的切线方程为()yf x，且f（1）2（1）求()yf x的解析式；（2）求函数()()xf xg xe的极值；（3）设2(1)1()ln xa lnxh xx，若存在实数11x，e，12xe，1，使21222222()(1)h xx ln xax lnxx成立，求实数a的取值范围 解：（1）曲线()yln xm与x轴交于点(1,0)Pm，1yxm，曲线在点P处的切线斜率111kmm，可得切线方程为0(1)yxm，f（1）2，21(1)m，解得2m ()(12)yf xx，即()1f xx（2）函数()1()xxf xxg xee，()xxg xe，0 x时，()0g x，此时函数()g x单调递减；0 x 时，()0g x，此时函数()g x单调递增0 x是函数()g x的极大值点，(0)1g（3）设21xm，12xe，1，则1m，e，2222222(1)1(1)ln ma lnmx ln xax lnxxm 2(1)1()ln xa lnxh xx，2(1)1()ln ma lnmh mm 若存在实数11x，e，12xe，1，使21222222()(1)h xx ln xax lnxx成立，等价于：12()()h xh m成立，1m，e 即2()()minmaxh xh x，1x，e 令lnxt，1x，e，则0t，1 22(1)1(1)1()tln xa lnxta th xxe，0t，1，(0)1h，h（1）3ae 221(1)1(1)()()tttata tt tah tee，a的取值范围是(，32)(32ee，)例 2.已知函数 lnf xaxx aR.（1）若1a，求曲线 yf x在1x 处切线方程；（2）讨论 yf x的单调性；（3）12a 时，设 222g xxx，若对任意 11,2x，均存在20,3x，使得 12f xg x，求实数a的取值范围.解析：（2）f x定义域为0,，11axaxfxx，当0a 时，0fx 恒成立，所以 f x在0,上单调递增；当0a 时，10,xa时 0fx 恒成立，1,xa 时 0fx 恒成立，所以 f x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减；综上述，当0a 时，f x在0,上单调递增；当0a 时，f x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减.（3）由已知，转化为 f x在 1,2x的值域M和 g x在0,3x的值域N满足：MN，易求 1,5N.又 11axaxfxx且12a ，f x在 1,2x上单调递增，故值域,2ln2Maa.所以152ln2aa，解得5ln212a，即5ln21,2a.