高考数学第三章导数及其应用第4讲导数的综合应用第2课时利用导数探究函数零点问题教案文新人教A版2931.pdf

第 2 课时 利用导数探究函数零点问题 判断、证明或讨论函数零点个数(师生共研)(2019高考全国卷节选)已知函数f(x)2sin xxcos xx，f(x)为f(x)的导数证明：f(x)在区间(0，)存在唯一零点【证明】设g(x)f(x)，则g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x.当x0，2时，g(x)0；当x2，时，g(x)0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零点 所以f(x)在(0，)存在唯一零点 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g(x)易求，g(x)0 可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数 已知f(x)1xexe3，F(x)ln xexe3x2.(1)判断f(x)在(0，)上的单调性；(2)判断函数F(x)在(0，)上零点的个数 解：(1)f(x)1x2exex2exeex2，令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得 0 x1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)F(x)f(x)1xexe3，由(1)得x1，x2，满足 0 x11x2，使得f(x)在(0，x1)上大于 0，在(x1，x2)上小于 0，在(x2，)上大于 0，即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增，而F(1)0，当x0 时，F(x)，当x时，F(x)，画出函数F(x)的草图，如图所示 故F(x)在(0，)上的零点有 3 个 已知零点个数求参数范围(师生共研)函数f(x)13x3ax2bxc(a，b，cR)的导函数的图象如图所示：(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)有三个零点，求c的取值范围【解】(1)因为f(x)13x3ax2bxc，所以f(x)x22axb.因为f(x)0 的两个根为1，2，所以122a，12b，解得a12，b2，由导函数的图象可知(图略)，当1x2 时，f(x)0，函数f(x)单调递减，当x1 或x2 时，f(x)0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(2，)，单调递减区间为(1，2)(2)由(1)得f(x)13x312x22xc，函数f(x)在(，1)，(2，)上是增函数，在(1，2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(1)76c，极小值为f(2)c103.而函数f(x)恰有三个零点，故必有76c0，c1030，解得76c0，当a0 时，f(x)0，f(x)在 R 上是增函数，当x1 时，f(x)exa(x1)0；当x0 时，取x1a，则f1a1a1a1 a0.所以函数f(x)存在零点，不满足题意 当a0 时，令f(x)0，得xln(a)在(，ln(a)上，f(x)0，f(x)单调递增，所以当xln(a)时，f(x)取最小值 函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0，则函数F(x)xf(x)1x的零点个数是()A0 B1 C2 D3 解析：选 B.函数F(x)xf(x)1x的零点，就是方程xf(x)1x0 的根，即方程xf(x)1x的根令函数g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)因为当x0 时，g(x)f(x)xf(x)0，所以g(x)xf(x)单调递增，g(x)g(0)0；当x0 时，g(x)f(x)xf(x)g(0)0.所以函数yg(x)与y1x的图象只有一个交点，即F(x)xf(x)1x只有一个零点故选 B.2(2020武汉调研)已知f(x)exax2.命题p：a1，yf(x)有三个零点，命题q：aR，f(x)0 恒成立则下列命题为真命题的是()Apq B(p)(q)C(p)q Dp(q)解析：选 B.对于命题p：当a1 时，f(x)exx2，在同一坐标系中作出yex，yx2的图象(图略)，由图可知yex与yx2的图象有 1 个交点，所以f(x)exx2有 1 个零点，故命题p为假命题，因为f(0)1，所以命题q显然为假命题故(p)(q)为真命题 3已知函数f(x)的定义域为1，4，部分对应值如下表：x 1 0 2 3 4 f(x)1 2 0 2 0 f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示当 1a2 时，函数yf(x)a的零点有 个 解析：根据导函数图象，知 2 是函数的极小值点，函数yf(x)的大致图象如图所示 由于f(0)f(3)2，1a2，所以yf(x)a的零点个数为 4.答案：4 4若函数f(x)axaex1(a0)没有零点，则实数a的取值范围为 解析：f(x)aex（axa）exe2xa（x2）ex(a0)当x2 时，f(x)2 时，f(x)0，所以当x2 时，f(x)有极小值f(2)ae21.若使函数f(x)没有零点，当且仅当f(2)ae210，解得ae2，因此e2a0.答案：(e2，0)5已知函数f(x)axln x(aR)(1)求f(x)的单调区间；(2)试判断f(x)的零点个数 解：(1)函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)(x)ln xx1x x（ln x2）2x，令f(x)0，解得xe2，令f(x)0，解得 0 xe2，所以f(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增(2)由(1)得f(x)minf(e2)a2e，显然a2e时，f(x)0，无零点，a2e时，f(x)0，有 1 个零点，a2e时，f(x)0，得x2.所以函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(2，)(2)由(1)知f(x)极大值f(1)13122256，f(x)极小值f(2)83242163，由数形结合，可知要使函数g(x)f(x)2m3 有三个零点，则1632m356，解得76m1312.所以m的取值范围为76，1312.综合题组练 1(2019高考全国卷)已知函数f(x)(x1)ln xx1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数 证明：(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)x1xln x1ln x1x.因为yln x单调递增，y1x单调递减，所以f(x)单调递增又f(1)10，故存在唯一x0(1，2)，使得f(x0)0.又当xx0时，f(x)x0时，f(x)0，f(x)单调递增 因此，f(x)存在唯一的极值点(2)由(1)知f(x0)0，所以f(x)0 在(x0，)内存在唯一根x.由x01 得110.(1)若曲线yf(x)经过坐标原点，求该曲线在原点处的切线方程；(2)若f(x)g(x)m在0，)上有解，求实数m的取值范围 解：(1)因为f(0)a10，所以a1，此时f(x)exex1.所以f(x)exe，f(0)1e.所以曲线yf(x)在原点处的切线方程为y(1e)x.(2)因为f(x)aexaex1，所以f(x)aexaea(exe)当x1 时，f(x)0；当 0 x1 时，f(x)1 时，h(x)0；当 0 x0.所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减 所以当x0，)时，h(x)maxh(1)72m.要使f(x)g(x)m在0，)上有解，则72m1，即m92.所以实数m的取值范围为92，.规范答题示范(一)函数与导数 类型一 函数的单调性、极值及最值 (12 分)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间0，2上的最大值和最小值 建桥寻突破 看到求曲线的切线方程，想到利用导数的几何意义求切线的斜率，再确定切线方程 看到求函数f(x)在区间0，2上的最大值和最小值，想到利用导数研究函数在给定区间上的单调性，得出最值.规范解答(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，2 分得分点 又因为f(0)1，f(0)0，3 分 得分点 所以曲线yf(x)在 点(0，f(0)处的切线方程为y1.4 分得分点 (2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x6 分 得分点 当x0，2时，h(x)0，7 分 得分点 所以h(x)在区间0，2上单调递减.8 分得分点 所以对任意x0，2有h(x)h(0)0，即f(x)0，9 分 得分点 所以函数f(x)在区间0，2上单调递减，10 分 得分点 因此f(x)在区间0，2上的 最大值为f(0)1，11 分 得分点 评分标准 有正确的求导式子得 2 分；得出f(0)0 得 1 分；写出切线方程y1 得 1 分；对新函数h(x)ex(cos xsin x)1 求导正确得 2 分求导出错不得分；得出x0，2时，h(x)0 得 1 分；正确判断出函数h(x)的单调性得 1 分；得出f(x)0 得 1 分；判断出函数f(x)在区间0，2的单调性得 1 分；求出最大值得 1 分；求出最小值得 1 分.解题点津(1)牢记求导法则，正确求导：在函数与导数类解答题中，通常会涉及求导，正确的求导是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，如本题第(1)问就涉及对函数的求导(2)注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解.核心素养 最小值为f22.12 分 得分点 导数的几何意义、函数的单调性、极值与最值的综合问题以函数为载体，以导数为解题工具，主要考查函数的单调性、极值、最值问题的求法主要考查“数学运算”的核心素养.类型二 函数、导数与不等式 (12 分)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f（x）的单调性；(2)当a0 时，证明f（x）34a2.建桥寻突破 看到讨论f(x)的单调性，想到先确定函数的定义域，然后对函数f(x)进行求导 看到f(x)34a2 成立，想到利用导数求函数的最大值.规范解答(1)f(x)2ax2（2a1）x1x（2ax1）（x1）x(x0)，2 分 得分点 当a0 时，f(x)0，则f(x)在(0，)上单调递增，4 分 得分点 当a0 时，则f(x)在0，12a上单调递增，在12a，上单调递减.6 分 得分点 (2)由(1)知，当a0 时，f(x)maxf12a，7 分 得分点 评分标准 正确求导并写出函数的定义域得 2 分；讨论当a0 时，f(x)的单调性，正确得 2分；讨论当a0 时，f(x)的单调性，正确得 2分；写出f(x)maxf12a得 1 分；构造函数yln t1t，并正确求导解得t1 得 1 分；判断新函数yln t1t的单调性得 1分；得出结论得 1 分；结合恒成立得出待证式得 2 分.f12a34a2 ln 12a12a1，令yln t1tt12a0，令y1t10，解得t1，8 分 得分点 所以y在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，9 分 得分点 所以ymaxy(1)0，所以y0，10 分得分点 即f(x)max34a2，所以f(x)34a2.12 分 得分点 解题点津(1)讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏(2)构造函数：构造新函数是导数综合问题的常用方法，如本题第(2)问构造函数yln t1t.注意新函数的定义域.核心素养 利用导数判断函数的单调性及解决与不等式有关的函数问题是高考命题的热点问题本题主要考查“逻辑推理”及“数学运算”的核心素养.