2002年高考试题——数学理(北京卷)(含答案).docx

2002 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1 至 2 页，第卷 3 至 9 页。共 150 分。考试时间 120 分钟。第卷（选择题 共 60 分）注意事项：1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。不能答在试题卷上。3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并交回。参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式1S= 1 (c¢ + c)lsina cos b =sin(a + b) + sin(a - b)台侧22其中c¢、c 分别表示上、下底面周长，l表示cosa sin b =1 sin(a + b) - sin(a - b)斜高或母线长2cosa cos b =球体的体积公式1 cos(a + b) + cos(a - b)42V= p R3球3sina sin b = - 1 cos(a + b) - cos(a - b)2其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 满足条件M1=1，2，3的集合M 的个数是A1B2C3D4 2在平面直角坐标系中，已知两点A(cos 80°, sin 80°), B(cos 20°, sin 20°) 则|AB|的值是A. 12B. 22C. 32D1p3. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间（2,p ）上为减函数的是A y = cos 2 xB ya= 2 | sin x |C y = () cos x13D y= -ctgx464 个直径都为的球，记它们的体积之和为 V4记其体积为V ，表面积为S ，则乙乙，表面积之和为 S甲；一个直径为 a 的球，甲AV V 且 S S甲乙甲乙BV V 且 S S甲乙甲乙CV V 且 S SDV V 且 S S甲乙甲乙甲乙甲乙ìx = secj,î5. 已知某曲线的参数方程是í y = tgj(j 为参数）.若以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是A r = 1B r cos 2q = 1C r 2sin 2q = 1D r 2cos 2q = 15x 2y 2y 2x 26. 给定四条曲线： x 2+ y 2= ，+= 1 ， x 2 += 1 ，+y 2 = 1 .其中与294445直线 x + y -= 0 仅有一个交点的曲线是ABCD7. 已知 z , z12Î C 且|z |=1.若 z+ z112= 2i ，则| z- z12| 的最大值是A6B5C4D38若 ctgq - 1 = 1 ，则2ctgq + 1cos 2q 1 + sin 2q的值为A3B3C2D - 1 2912 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案共有A. C 4 C 4 C 4 种B. 3C 4 C 4 C 4 种C C 4 C 4 P3 种D C 4 C 4C 4 种1284128412831284P3310. 设命题甲：“直四棱柱 ABCDA B C D 中，平面ACB 与对角面BB D D 垂直”；命题1 1 1 111 1乙：“直四棱柱 ABCDA B C D 是正方体”.那么，甲是乙的1 1 1 1A. 充分必要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D既非充分又非必要条件11. 已知 f (x) 的定义在（3，3）上的奇函数，当 0x3 时， f (x) 的图象如图所示，那么不等式 f (x) cos x < 0 的解集是UUUUA (-3,- p )(0,1)(p ,3)B(- p ,- 1)(0,1)(p ,3)22222C (-3,-1) U (0,1) U (1,3)D (-3,- p ) U (0,1) U (1,3)12. 如图所示， f (x)(i = 1,2,3,4) 是定义在0，1上的四个函数，其中满足性质：“对0，i1中任意的x 和 x ，任意l Î0,1, f lx + (1 - l)x £ lf (x ) + (1 - l) f (x) 恒成立”的只有121212A. f1(x), f3(x)B. f2(x)C f2(x), f3(x) D f4(x)第卷（非选择题 共 90 分）注意事项：1. 第卷共 7 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。题 号二三171819202122总 分分 数2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。得分 评卷人二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共16 分.把答案填在题中横线上.13. arcsin(- 2), arccos(- 3), arctg(- 5 ) 从小到大的顺序是.54414. 等差数列a 中，a =2，公差不为零，且a ，a ，a 恰好是某等比数列的前三项，那么n11311该等比数列公比的值等于.15. 关于直角AOB 在定平面内的射影有如下判断：可能是0°的角；可能是锐角； 可能是直角；可能是钝角；可能是180°的角.其中正确判断的序号是 （注：把你认为是正确判断的序号都填上）.16. 已知P 是直线3x + 4 y + 8 = 0 上的动点，PA，PB 是圆 x 2+ y 2- 2x - 2 y + 1 = 0 的两条切线，A，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.得分 评卷人17（本小题满分 12 分）解不等式|得分 评卷人- x |< 2 .2x - 118（本小题满分 12 分）如图，在多面体 ABCDA1B1C1D1 中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d 与 a，b 且ac，bd，两底面间的距离为h.EFD1C1A1cBdD1CAaBb（）求侧面ABB A 与底面ABCD 所成二面角的大小；1 1（）证明：EF/面ABCD（）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V =S·h 来计算.已知它的体积公式是h估中截面V = （S6+4S上底面+S中截面），下底面试判断V与 V 的大小关系，并加以证明.估（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）得分 评卷人19（本小题满分 12 分）数列x 由下列条件确定： x= a > 0, x= 1 (xa+), n Î N.n1n+12nxna（）证明：对n2，总有 xn ³；（）证明：对n2，总有 x³ x；nn+1（）若数列x 的极限存在，且大于零，求lim x的值.nnn®¥得分 评卷人20（本小题满分 12 分）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n 个不同的数v , v12, vLnnå的和vii=1= v + v12+ v+ vL3n.计算开始前，n 个数存贮在n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内， 每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可 同时完成上述工作.机初第一单位时间第二单位时间第三单位时间为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这 n 个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n=2 时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：器号12始时v1v2被读机号结 果被读机号结 果被读机号结 果21v + v12v +v21机器号 1234初始时v1v2v3v4第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果（）当n=4 时，至少需要多少个单位时间可完成计算？ 把你设计的方法填入下表（）当 n=128 时，要使所有机器都得到ån vii=1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）得分 评卷人21（本小题满分 13 分）已知 O（0，0），B（1，0），C（b，c）是OBC 的三个顶点.（）写出OBC 的重心G，外心F，垂心H 的坐标，并证明G，F，H 三点共线；yC(b，c)OB(1，0)x（）当直线FH 与 OB 平行时，求顶点C 的轨迹.得分 评卷人22（本小题满分 13 分）已知 f (x) 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a，bR 都满足： f (a × b) = af (b) + bf (a) .（）求f（0），f（1）的值；（）判断 f (x) 的奇偶性，并证明你的结论；（）若 f (2) = 2, u= f (2- n ) (n Î N ) ，求数列u 的前 n 项的和S .nnnn数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 60 分.1.B 2.D 3.B 4.C 5.D 6.D 7.C 8.A 9.A 10.C 11.B 12.A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分，满分 16 分.213 arctg(- 5 ) < arcsin(- 2) < arccos(- 3)14415 16 2454三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分 12 分.解：原不等式Û ìï 2x -1 - x < 2因为íï 2x -1 - x > -2.î2x - 1 - x < 2 Ûì2x - 1 ³ 0,2x - 1í< x + 2 Û ïx + 2 ³ 0,îï2x - 1 < (x + 2)2ïìx ³ 1ì2x - 1 ³ 0,2x - 1íí1 又- x > -2 Û ïx - 2 ³ 0,或ì2x - 1 ³ 0,Û í2Û x ³2x - 2 < 0îïîx 2 + 2x + 5 > 0ï2x - 1 > (x - 2)2îÛ ìx ³ 2,或 1 £ x < 2 Ûìx ³ 2,或 1 £< 2 Û 2 £< 5或 1 £< 2ííxxxîx 2 - 6x + 5 < 02î1 < x < 522Û 1 £ x < 5 .所以，原不等式组的解集为x | 1£ x < 5 .2218. 本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分 12 分.（1）解：过B1C1 作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ,过B1 作 B1GPQ,垂足为G.平面ABCD平面 A1B1C1D1，A1B1C1=90°，ABPQ，ABB1P. B1PG 为所求二面角的平面角.过C1 作C1HPQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B PQC 为等腰梯形.11 PG =1 (b - d ), 又B G = h ， tgÐB PG =2h(b > d ), ÐB PG = arctg2h211b - d1b - d即所求二面角的大小为arctg2hb - d（）证明：AB，CD 是矩形ABCD 的一组对边，有AB/CD，又CD 是面ABCD 与面 CDEF 的交线， AB/面 CDEF. EF 是面ABFE 与面 CDEF 的交线，ABEF. AB 是平面ABCD 内的一条直线，EF 在平面ABCD 外，EF面 ABCD.（）VV.证明： ac，bd，V - V= h (cd + ab + 4 × a + c × b + d ) - a + c × b + d h估估 62222= h 2cd + 2ab + 2(a + c)(b + d ) - 3(a + c)(b + d ) = h (a - c)(b - d ) > 0 V V.1212估19. 本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分 12 分.（）证明：由 x1= a > 0, 及xn+1= 1 (x+2na ) ，可归纳证明xxnn> 0 (没有证明过程不扣分）.从而有xan+1= 1 (x2n+ ) ³ x x nn× a=a (n Î N ) ，所以，当n2 时， x³nxn成立.（）证法一：当n2 时，因为 x³n> 0, xn+1= 1 (x+a2na ) ，所以xx- x= 1 (x+ a ) - x= 1 ×a - x 2n £ 0n，故当n2 时， x³ x成立.n+1n2nxnn2xnnn+1证法二：当n2 时，因为 x³n> 0, xn+1= 1 (x+a2na ) ，所以x1 (x+ a )x2nxx 2 + ax 2+ x 2nx³ x n+1xn=nxn= n2x 2n£ nn2x 2n= 1，故当n2 时，nn+1成立.（）解：记lim xn®¥n= A,则lim xn®¥n+1= A,且A > 0.由xn+1= 1 (x+2na ), 得xlim x= 1 (lim x+naa),即A = 1 ( A + a ).由A > 0, 解得A =，n®¥n+12 n®¥nlim x2An®¥na故lim x=n®¥n20. 本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力.满分 12 分.机初第一单位时间第二单位时间第三单位时间（）解：当n=4 时，只用 2 个单位时间即可完成计算. 方法之一如下：器号始时被读机号结 果被读机号结果被读机号结果1v2v + v3v + v +v +v11212342v1v +v4v + v +v +v22121433v4v + v1v + v +v +v33434124v3v + v2v + v +v +v4434321（）解：当n=128=27 时，至少需要 7 个单位时间才能完成计算.21. 本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分 13 分.（）解：由OBC 三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c0），可求得b + 1 c1b 2 + c 2 - bb - b 21重心G(, )，外心F (,) ，垂心 H (b,) .当b = 时，3322c321G，F，H 三点的横坐标均为，故三点共线；当b ¹1时，设G,H 所在直线的斜22c - b - b 2率为kGH，F，G 所在直线的斜率为kFG.因为kGH= 3c= b + 1 - bc 2 + 3b 2 - 3b ，c(1 - 2b)c - b 2 + c 2 - bk= 32c=3c 2 + 3b 2 - 3b ，所以k= k，G，F，H 三点共线.FGb + 1 - 1c(1 - 2b) 32GHFG综上可得，G，F，H 三点共线.（）解：若FH/OB，由kFH= c 2 + 3b 2 - 3b c(1 - 2b)= 0 ，得3(b2 - b) + c 2 = 0(c ¹ 0, b ¹) ，1211，即配方得1(b -)232c2(x -)2 2y 2(x ¹ 1 , y ¹ 0).3(b -)2 + c22=,即41+= 11+= 12()223()22( )223()22311所以，顶点C 的轨迹是中心在（ ，0），长半轴长为，短半轴长为，且短22233轴在x 轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（ 1 ，），（ 1 ，）四点.222222. 本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分 13 分.（）解：f (0) = f (0 × 0) = 0 × f (0) + 0 × f (0) = 0.因为f (1) = f (1×1) = 1× f (1) + 1× f (1) ， 所以 f (1) = 0（） f (x) 是奇函数. 证明：因为 f (1) = f (-1)2 = - f (-1) - f (-1) = 0所以f (-1) = 0 ，f (-x) = f (-1× x) = - f (x) + xf (-1) = - f (x), 因此， f (x) 为奇函数.（）解法一：由 f (a 2 ) = af (a) + af (a) = 2af (a), f (a 3 ) = a 2 f (a) + af (a 2 ) = 3a 2 f (a)， 猜测 f (an ) = nan-1 f (a) . 下面用数学归纳法证明：1° 当 n=1 时， f (a1 ) = 1× a 0× f (a) ，公式成立；2°假设当n=k 时， f (ak ) = kak -1 f (a) 成立，那么当n=k+1 时，f (ak +1 ) = ak f (a) + af (ak ) = ak f (a) + kak f (a) = (k + 1)a k f (a) ，公式仍成立.由 上 两 步 可 知 ， 对 任 意 n Î N , f (an ) = nan-1 f (a)成 立 . 所 以=×.f (2- n )11u()n-1f ()nn222 f ()f ()因为 f (2) = 2, f (1) = f (2 × 1 ) =1+ 1 f (2) = 0, 所以1= - 1 f (2) = - 1 ，2222421111-1 - ()n 221u= (- ) × ( )n-1 (n Î N ),因此S= ( )n - 1(n Î N ) .n22n1 - 122解法二：当ab ¹ 0时, f (a × b) = f (b) + f (a) ,令g(x) = f (x) ,则g(a × b) = g(a) + g(b) ， abbax故 g (an ) = ng (a),所以f (an ) = an × g (an ) = nan g(a) = nan-1 f (a).f (2- n ) =(1 )n-1 × f (1 n22所以u=n). （以下同解法一）