2020年中考数学考点总动员第28讲 图形的相似与位似含答案.docx

第 28 讲 图形的相似与位似1. 比例线段a c(1) 比例线段：已知四条线段 a，b，c，d，若 或 abcd，那么 a，b，c，d 叫做成比例线段，a，db da b叫做比例外，b，c 叫做比例内项；若有 ，则b 叫做a，c 的比例中项b c(2) 比例的基本性质及定理a c adbc；b da c a±b c±d ；b dbda cmacm a (bdn0) . b dnbdn b4. 相似三角形的性质及判定(1)相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等 于相似比，面积比等于相似比的平方(2)相似三角形的判定平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似5. 射影定理如图，ABC 中，ACB90°，CD 是斜边AB 上的高，则有下列结论(1)AC2AD·AB； (2)BC2BD·AB； (3)CD2AD·BD； (4)AC2BC2ADBD； (5)AB·CDAC·BC.6. 相似三角形的实际应用(1) 运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤：将实际问题所求线段长放在三角形中；根据已知条件找出一对可能相似的三角形；证明所找两三角形相似；根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解(2) 运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题身高如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度同一时刻，物高与影长成正比，即影长建筑物的高度.建筑物的影长7. 相似多边形的性质(1) 相似多边形对应角相等，对应边成比例(2) 相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方 8图形的位似(1) 概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形这个点叫 做位似中心(2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比(3) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于 k或k.(4) 利用位似变换将一个图形放大或缩小，其步骤为：确定位似中心；确定原图形中各顶点关于位似中心 的对应点；依次连接各对应点描出新图形考点 1： 相似三角形的性质【例题 1】（2019 湖南常德 3 分）如图，在等腰三角形ABC 中，ABAC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为 1，ABC 的面积为 42，则四边形DBCE 的面积是（）A20【答案】DB22C24D26利用AFHADE 得到，所以S9x，S16x，则 16x9x7，解得x1，AFHADE从而得到S16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE 的面积ADE【解答】解：如图，根据题意得AFHADE，设 S9x，则S16x，AFHADE16x9x7，解得x1，S16，ADE四边形DBCE 的面积421626 故选：D归纳：1.在三角形问题中计算线段的长度时，若题中已知两角对应相等或给出的边之间存在比例关系，则考 虑证明三角形相似，通过相似三角形对应边成比例列关于所求边的比例式求解.2判定三角形相似的五种基 本思路：(1)若已知平行线，可采用相似三角形的基本定理；(2)若已知一对等角，可再找一对等角或再找该角的两边对应成比例； (3)若已知两边对应成比例，可找夹角相等； (4)若已知一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5)若已知等腰三角形， 可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例考点 2： 相似三角形的判定【例题 2】在正方形ABCD 中，AB4，点 P，Q 分别在直线 CB 与射线 DC 上(点 P 不与点 C，点 B 重合)，且保持APQ90°，CQ1，求线段BP 的长解：分三种情况：设BPx.当 P 在线段BC 上时，如图 1，四边形ABCD 是正方形，BC90°.BAPAPB90°.APQ90°，APBCPQ90°.BAPCPQ，ABPPCQ.AB PC4 4x ， ，BP CQx1x x 2.12BP2；当 P 在 CB 的延长线上时，如图 2，同理，得BP2 22；当 P 在 BC 的延长线上时，如图 3，同理，得BP22 2.归纳：基本图形(1)斜边高图形 有以下基本结论：BADC，BDAC；ADBCDACAB. (2)一线三等角有以下基本结论：BC，BDEDFC；BDECFD.特殊地：若点D 为 BC 中点，则有BDECFDDFE.考点 3：相似三角形的综合应用【例题 3】(2017·河北模拟)修建某高速公路，需要通过一座ft，指挥部决定从E，D 两点开挖一个涵洞工程师从地面选取三个点 A，B，C，且 A，B，D 三点在一条直线上，A，C，E 也在同一条直线上，若已知 AB 27 米，AD500 米，AC15 米，AE900 米，且测得BC22.5 米(1) 求DE 的长；(2) 现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况， 获得如下信息：信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用25 天；信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的1.5 倍；信息三：甲工程队每天需要收费 3 500 元，乙工程队每天需要收费 4 000 元 若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算【解析】：(1)连接 DE.AB27 米，AD500 米，AC15 米，AE900 米， AB AC3 . AE AD 100又AA，ABCAED. BC 22.53 ，即DE750 米DEDE100(2)设甲工程队每天开挖涵洞x 米，则乙工程队每天开挖涵洞 1.5x 米，依据题意，得75075025，解得x10. x1.5x经检验，x10 是原方程的解则 1.5x15.750甲工程队打通这个涵洞的时间为10 75(天)，甲工程队打通这个涵洞所需的费用为75×3 500262 500(元)；乙工程队打通这个涵洞的时间为75075050(天)，1.5x15乙工程队打通这个涵洞所需的费用为50×4 000200 000.200 000262 500，选用乙工程队较合算一、选择题：1. （2018玉林）两三角形的相似比是 2：3，则其面积之比是（）A ： B2：3 C4：9 D8：27【答案】C【解答】解：两三角形的相似比是2：3，其面积之比是 4：9， 故选：C2. （2018临沂）如图利用标杆BE 测量建筑物的高度已知标杆BE 高 1.2m，测得AB=1.6mBC=12.4m则建筑物CD 的高是（）A9.3mB10.5mC12.4mD14m【答案】B【解答】解：EBCD，ABEACD， = ，即 = ，CD=10.5（米） 故选：B3. （2019，四川巴中，4 分）如图 ABCD，F 为 BC 中点，延长AD 至 E，使DE：AD1：3，连结EF 交 DC 于点G，则SDEG：SCFG（）A2：3【答案】DB3：2C9：4D4：9【解答】解：设DEx，DE：AD1：3，AD3x，四边形ABCD 是平行四边形，ADBC，BCAD3x，点 F 是 BC 的中点，CF BC x，ADBC，DEGCFG，（）2（故选：D）2 ，4. （2019贵州毕节3 分）如图，在一块斜边长 30cm 的直角三角形木板（RtACB）上截取一个正方形 CDEF， 点 D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF：AC1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（）A100cm2B150cm2C170cm2D200cm2【答案】A【解答】解：设AFx，则AC3x，四边形CDEF 为正方形，EFCF2x，EFBC，AEFABC，EFAF1BCAC3 ，BC6x，在 RtABC 中，AB2AC2+BC2，即 302（3x）2+（6x）2，5解得，x2，55555AC6，BC12，5剩余部分的面积 ×12 故选：A×64×4100（cm2），5. （2018泸州）如图，正方形ABCD 中，E，F 分别在边AD，CD 上，AF，BE 相交于点G，若AE=3ED，DF=CF， 则 的值是（）A B C D 【答案】C【解答】解：如图作，FNAD，交AB 于N，交BE 于 M四边形ABCD 是正方形，ABCD，FNAD，四边形ANFD 是平行四边形，D=90°，四边形ANFD 是解析式，AE=3DE，设DE=a，则 AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，AN=BN，MNAE，BM=ME，MN= a，FM= a，AEFM，= ，故选：C二、填空题：6. 如图，OAB 与OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，OCD=90°，CO=CD，若 B（1，0），则点 C 的坐标为【答案】（1，-1）【解答 】：连接BC，OAB 与OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，且 B（1，0），即OB=1，OD=2，即B 为 OD 中点，OC=DC，CBOD，在 RtOCD 中，CB 为斜边上的中线，CB=OB=BD=1，则 C 坐标为（1，-1）， 故答案为：（1，-1）7. （2019ft东省滨州市 5 分）在平面直角坐标系中，ABO 三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（4，0），O（0，0）以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，得到CDO，则点A 的对应点C 的坐标是 （1，2）或（1，2） 【答案】（1，2）或（1，2）【解答】解：以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，点 A 的坐标为（2，4），点 C 的坐标为（2×，4×）或（2×，4×），即（1，2）或（1，2），故答案为：（1，2）或（1，2）8. （2018江西）如图，在ABC 中，AB=8，BC=4，CA=6，CDAB，BD 是ABC 的平分线，BD 交 AC 于点E， 则 AE 的长为【答案】4【解答】解：BD 为ABC 的平分线，ABD=CBD，ABCD，D=ABD，D=CBD，BC=CD，BC=4，CD=4，ABCD，ABECDE，AC=6=AE+CE，AE=4=， =，AE=2CE，9. （2018遵义）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABC=90°，AB=5，BC=10，连接 AC、BD，以 BD 为直径的圆交AC 于点E若DE=3，则 AD 的长为.【答案】2 ，【解答】解：如图，在RtABC 中，AB=5，BC=10，AC=5 过点 D 作 DFAC 于F，AFD=CBA，ADBC，DAF=ACB，ADFCAB，设 DF=x，则AD=x，在 RtABD 中，BD=，DEF=DBA，DFE=DAB=90°，DEFDBA，x=2，AD=x=2，三、解答题：10. (2018·江西)如图，在ABC 中，AB8，BC4，CA6，CDAB，BD 是ABC 的平分线，BD 交 AC 于点E，求AE 的长【解析】：BD 为ABC 的平分线，ABDCBD.ABCD，DABD.DCBD.BCCD.BC4，CD4.ABCD，ABECDE. AB AE. CD CE8 AE .AE2CE.4 CEACAECE6，AE4.11. (2019 湖北荆门)（10 分）如图，为了测量一栋楼的高度 OE，小明同学先在操场上 A 处放一面镜子，向后退到 B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到 C 处，然后后退到 D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 E（O，A，B，C，D 在同一条直线上），测得 AC2m，BD2.1m，如果小明眼睛距地面髙度 BF，DG为 1.6m，试确定楼的高度OE【分析】设 E 关于 O 的对称点为 M，由光的反射定律知，延长GC、FA 相交于点 M，连接 GF 并延长交 OE 于点H，根据GFAC 得到MACMFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可【解答】解：设E 关于O 的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA 相交于点M， 连接 GF 并延长交OE 于点H，GFAC，MACMFG，即： ， ，OE32，答：楼的高度OE 为 32 米12. (2018·福建)如图，在RtABC 中，C90°，AB10，AC8.线段AD 由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转 90°得到，EFG 由ABC 沿 CB 方向平移得到，且直线EF 过点D.(1) 求BDF 的大小； (2)求CG 的长【解析】：(1)线段 AD 是由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转 90°得到，DAB90°，ADAB10.ABD45°.EFG 是ABC 沿CB 方向平移得到，ABEF.BDFABD45°.(2) 由平移的性质，得AECG，ABEF，DEADFCABC，ADEDAB180°.DAB90°，ADE90°.ACB90°，ADEACB.ADEACB. AD AE . AC ABAC8，ABAD10，AE12.5，由平移的性质，得CGAE12.5.13. ABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，以D 为顶点作MDNB.(1)如图 1，当射线DN 经过点A 时，DM 交边AC 于点E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE 相似的三角形； (2)如图 2，将MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转，DM，DN 分别交线段 AC，AB 于点 E，F(点 E 与点 A 不重合)， 不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；1(3)在图 2 中，若ABAC10，BC12，当S SDEF4ABC时，求线段EF 的长【点拨】(1)由题意得ADBD，DEAC，可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；(2)依据三角形内 角和定理及平角定义，结合等式的性质，得BFDCDE，又由BC，可得BDFCED；由相似三角BD DFCD DF1形的性质得 ，进而有 ，从而CEDDEF；(3)首先利用DEF 的面积等于ABC 的面积的 ，求CE EDCE ED4出点 D 到 AB 的距离，进而利用S的值求出EF 即可DEF【解答】解：(1)图 1 中与ADE 相似的有ABD，ACD，DCE. (2)BDFCEDDEF.证明：BBDFBFD180°，EDFBDFCDE180°，又EDFB，BFDCDE.BD DF由 ABAC，得BC，BDFCED. .CE EDCD DFBDCD， .CE ED又CEDF，BDFCEDDEF.(3)连接AD，过点D 作 DGEF，DHBF，垂足分别为G，H.1ABAC，D 是BC 的中点，ADBC，BD BC6.2在 RtABD 中，AD2AB2BD2，AD8.11S BC·AD48.S S12.ABC2DEF4 ABC11又 AD·BD AB·DH，DH4.8.22BDFDEF，DFBEFD.DGEF，DHBF，DHDG4.8.1S EF·DG12，EF5.DEF214. (2019湖南常德10 分)在等腰三角形ABC 中，ABAC，作CMAB 交AB 于点M，BNAC 交AC 于点N(1) 在图 1 中，求证：BMCCNB；(2) 在图 2 中的线段 CB 上取一动点 P，过 P 作 PEAB 交 CM 于点 E，作 PFAC 交 BN 于点 F，求证：PE+PF BM；(3) 在图 3 中动点P 在线段CB 的延长线上，类似(2)过 P 作 PEAB 交 CM 的延长线于点E，作PFAC 交NB 的延长线于点F，求证：AMPF+OMBNAMPE【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到ABCACB，利用AAS 定理证明；(2) 根据全等三角形的性质得到 BMNC，证明CEPCMB、BFPBNC，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；(3) 根据BMCCNB，得到MCBN，证明AMCOMB，得到【解答】证明：(1)ABAC，ABCACB，CMAB，BNAC，BMCCNB90°， 在BMC 和CNB 中，BMCCNB(AAS)； (2)BMCCNB，BMNC，PEAB，CEPCMB，根据比例的性质证明即可，PFAC，BFPBNC，PE+PFBM；(3)同(2)的方法得到，PEPFBM，BMCCNB，MCBN，ANB90°，MAC+ABN90°，OMB90°，MOB+ABN90°，MACMOB，又AMCOMB90°，AMCOMB，AMMBOMMC，AM×(PEPF)OMBN，AMPF+OMBNAMPE