1.2.1排列与组合(排列)(新人教A版选修2-3)解析.ppt

1.2.1排列与排列与组合合(排列排列)(新人教新人教A版版选修修2-3)解析解析N=m1+m2+mn 做一件事情，完成它可以做一件事情，完成它可以做一件事情，完成它可以做一件事情，完成它可以有有有有n n类办法类办法类办法类办法,在第一类办法在第一类办法在第一类办法在第一类办法中有中有中有中有mm1 1种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有mm2 2种不同的种不同的种不同的种不同的方法，方法，方法，方法，在第，在第，在第，在第n n类办法中有类办法中有类办法中有类办法中有mmn n种不同的方法。那么种不同的方法。那么种不同的方法。那么种不同的方法。那么完成这件事共有完成这件事共有完成这件事共有完成这件事共有 .种不同的方法种不同的方法种不同的方法种不同的方法分类加法计数原理分类加法计数原理分类加法计数原理分类加法计数原理N=m1m2mn 做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n n个步骤个步骤个步骤个步骤，做第一步，做第一步，做第一步，做第一步有有有有mm1 1种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有mm2 2种不同的方法，种不同的方法，种不同的方法，种不同的方法，做第，做第，做第，做第n n步有步有步有步有mmn n种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有 _ _种不同的方法种不同的方法种不同的方法种不同的方法.分步乘法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理创设情境创设情境,引出排列问题引出排列问题探究探究 在在1.1节的例节的例9中我们看到中我们看到,用分步乘用分步乘法计数原理解决这个问题时法计数原理解决这个问题时,因做了因做了一些重复性工作而显得繁琐一些重复性工作而显得繁琐,能否对能否对这一类计数问题给出一种简捷的方这一类计数问题给出一种简捷的方法呢法呢?探究：探究：问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？午的活动，有多少种不同的选法？问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排成个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？上面两个问题有什么共同特征？可以用上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？怎样的数学模型来刻画？探究：探究：问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？午的活动，有多少种不同的选法？分析：分析：把题目转化为把题目转化为从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选名同学中选2名，名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？顺序排列，求一共有多少种不同的排法？上午上午下午下午相应的排法相应的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙第一步：确定参加上午活动的同学即从第一步：确定参加上午活动的同学即从3 3名中任名中任 选选1 1名，有名，有3 3种选法种选法.第二步：确定参加下午活动的同学，有第二步：确定参加下午活动的同学，有2 2种方法种方法根据分步计数原理：根据分步计数原理：32=6 32=6 即共即共6 6种方法。种方法。把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素,于是问于是问题就可以叙述为：题就可以叙述为：从从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中任取2个，然后按照一定个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab,ac,ba,bc,ca,cb问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排成个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？从从4个不同的元素个不同的元素a,b,c,d 中任取中任取3个，然后按照一定的顺个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.有此可写出所有的三位数：有此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432。同样，问题可以归结为：同样，问题可以归结为：同样，问题可以归结为：同样，问题可以归结为：从个不同的元素从个不同的元素从个不同的元素从个不同的元素a a，b b，c c，d d中任取个，然后按中任取个，然后按中任取个，然后按中任取个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.上面两个问题有什么共同特征？上面两个问题有什么共同特征？上面两个问题有什么共同特征？上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？可以用怎样的数学模型来刻画？可以用怎样的数学模型来刻画？可以用怎样的数学模型来刻画？(1)有顺序的有顺序的(2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等?基本概念基本概念1、排列：、排列：一般地，从一般地，从n个不同中取出个不同中取出m(m n)个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元个不同元素中取出素中取出m个元素的一个排列。个元素的一个排列。说明：说明：1 1、元素不能重复。、元素不能重复。n n个中不能重复，个中不能重复，m m个中也不能重复。个中也不能重复。2 2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。否是排列问题的关键。3 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。而且元素的排列顺序也完全相同。4 4、m mn n时的排列叫选排列，时的排列叫选排列，m mn n时的排列叫全排列。时的排列叫全排列。5 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图树形图”。例例1 1、下列问题中哪些是排列问题？、下列问题中哪些是排列问题？（1 1）1010名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会名学生开会（2 2）1010名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长名做正、副组长（3 3）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘中任取两个数相乘（4 4）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除中任取两个数相除（5 5）2020位同学互通一次电话位同学互通一次电话（6 6）2020位同学互通一封信位同学互通一封信（7 7）以圆上的）以圆上的1010个点为端点作弦个点为端点作弦（8 8）以圆上的）以圆上的1010个点中的某一点为起点，作过另一个点的个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线射线（9 9）有）有1010个车站，共需要多少种车票？个车站，共需要多少种车票？（1010）有）有1010个车站，共需要多少种不同的票价？个车站，共需要多少种不同的票价？排列中的注意点：排列中的注意点：排列中的注意点：排列中的注意点：1、元素不能重复。、元素不能重复。n个中不能重复，个中不能重复，m个中也不能重复。个中也不能重复。2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是就是与位置有关，这是判断一个问题是 否是排列问题的关键。否是排列问题的关键。3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相 同，而且元素的排列顺序也完全相同。同，而且元素的排列顺序也完全相同。4、mn时的排列叫全排列。时的排列叫全排列。5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好 采用采用“树形图树形图”。2、排列数：、排列数：从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素的所有排列的个数，叫做从的所有排列的个数，叫做从n n个不同的元素中个不同的元素中取出取出m m个元素的排列数。用符号个元素的排列数。用符号 表示。表示。“排列排列”和和“排列数排列数”有什么区别和联有什么区别和联系？系？排列数，而不表示具体的排列。所有排列的个数，是一个数；“排列数”是指从 个不同元素中，任取个元素的所以符号只表示“一个排列”是指：从个不同元素中，任取按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素问题中是求从个不同元素中取出个元素的问题中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为排列数，记为 ,已经算得已经算得问题问题2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的个元素的排列数，记为，已经算出排列数，记为，已经算出探究：探究：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列个元素的排列数数 是多少？是多少？呢呢？呢呢？第第1位位第第2位位第第3位位第第m位位n种种(n-1)种种(n-2)种种(n-m+1)种种(1)(1)排列数公式（排列数公式（1 1）：）：当当m mn n时，时，正整数正整数1 1到到n n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n n的阶乘，用的阶乘，用 表示。表示。n n个不同元素的全排列公式：个不同元素的全排列公式：(2)(2)排列数公式（排列数公式（2 2）：）：说明：说明：1 1、排列数、排列数公式公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。的第一个常用来计算，第二个常用来证明。为了使当为了使当m mn n时上面的公式也成立，规定：时上面的公式也成立，规定：2 2、对于、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。件。排列数公式排列数公式排列数公式排列数公式观察观察观察观察排列数公式有何特征：排列数公式有何特征：排列数公式有何特征：排列数公式有何特征：（1 1）第一个因数是第一个因数是第一个因数是第一个因数是n n，后面每一个因数比它前面一，后面每一个因数比它前面一，后面每一个因数比它前面一，后面每一个因数比它前面一个因数少个因数少个因数少个因数少1 1（2 2）最后一个因数是最后一个因数是最后一个因数是最后一个因数是n nmm1 1（3 3）共有共有共有共有mm个因数个因数个因数个因数 n n个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素全部取出的一个排列，叫做n n个元素个元素个元素个元素的一个全排列，这时公式中的的一个全排列，这时公式中的的一个全排列，这时公式中的的一个全排列，这时公式中的n=mn=m，即有，即有，即有，即有:就是说，就是说，就是说，就是说，n n个不同元素全部取出的排列数，等于正个不同元素全部取出的排列数，等于正个不同元素全部取出的排列数，等于正个不同元素全部取出的排列数，等于正整数整数整数整数1 1到到到到n n的连乘积，的连乘积，的连乘积，的连乘积，正整数正整数1到到n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n的阶乘的阶乘，用，用n!表示，表示，所以所以n个不同元素的全排列数公式可以写成个不同元素的全排列数公式可以写成另外，我们规定另外，我们规定0!1例例1 计算：计算：我们发现：我们发现：我们发现：我们发现：这个结果有一般性吗？这个结果有一般性吗？这个结果有一般性吗？这个结果有一般性吗？例例例例2 (1)2 (1)若若若若,则则则则n=n=，m=m=解：（解：（解：（解：（1 1）n=17n=17，m=14 m=14 (2)(2)若若若若则则则则用排列数符号表示为用排列数符号表示为用排列数符号表示为用排列数符号表示为 1计算：（1）（2）课堂练习课堂练习2从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有种不同的种植方法？4信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有（）3从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有种不同的方法？排列问题，是取出排列问题，是取出m m个元素后，还要按一个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的定的顺序排成一列，取出同样的m m个元素，只个元素，只要要排列顺序不同排列顺序不同，就视为完成这件事的两种，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）不同的方法（两个不同的排列）小结小结 由排列的定义可知，由排列的定义可知，排列与元素的顺序有排列与元素的顺序有关关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题当元素较少时，可以根据排列的意义列问题当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列写出所有的排列 例例例例3 3 某年全国足球甲级（某年全国足球甲级（某年全国足球甲级（某年全国足球甲级（A A组）联赛共有组）联赛共有组）联赛共有组）联赛共有1414个队参个队参个队参个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总共要进行多少场比赛共要进行多少场比赛共要进行多少场比赛共要进行多少场比赛.解：任意两队间进行解：任意两队间进行解：任意两队间进行解：任意两队间进行1 1次主场比赛与次主场比赛与次主场比赛与次主场比赛与 1 1 次客场比赛，次客场比赛，次客场比赛，次客场比赛，对应于从对应于从对应于从对应于从1414个元素中任取个元素中任取个元素中任取个元素中任取2 2个元素的一个排列因此，比个元素的一个排列因此，比个元素的一个排列因此，比个元素的一个排列因此，比赛的总场次是赛的总场次是赛的总场次是赛的总场次是=1413=182.=1413=182.例例例例4 4（1 1）从）从）从）从5 5本本本本不同的书中选不同的书中选不同的书中选不同的书中选3 3本送给本送给本送给本送给3 3名同学，每人名同学，每人名同学，每人名同学，每人各各各各1 1本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？（2 2）从）从）从）从5 5种种种种不同的书中买不同的书中买不同的书中买不同的书中买3 3本送给本送给本送给本送给3 3名同学，每人各名同学，每人各名同学，每人各名同学，每人各1 1本，本，本，本，共有多少种不同的送法？共有多少种不同的送法？共有多少种不同的送法？共有多少种不同的送法？(种种)(种种)百位百位百位百位十位十位十位十位个位个位个位个位解法一：直接法解法一：直接法解法一：直接法解法一：直接法0 0 0 0是是是是“特殊元素特殊元素特殊元素特殊元素”，特殊元素要特殊（优先）处理。，特殊元素要特殊（优先）处理。，特殊元素要特殊（优先）处理。，特殊元素要特殊（优先）处理。有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题1 1 特殊元素、特殊位置问题特殊元素、特殊位置问题特殊元素、特殊位置问题特殊元素、特殊位置问题 例例例例5 5 用用用用 0 0 到到到到 9 9 这十个数字，可以组成多少个没有重这十个数字，可以组成多少个没有重这十个数字，可以组成多少个没有重这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？复数字的三位数？复数字的三位数？复数字的三位数？对排列方法对排列方法对排列方法对排列方法分步思考分步思考分步思考分步思考。解法三：解法三：解法三：解法三：间接法间接法间接法间接法.所求的三位数的个数是所求的三位数的个数是所求的三位数的个数是所求的三位数的个数是:求以求以求以求以0 0 0 0为排头的排列数为为排头的排列数为为排头的排列数为为排头的排列数为:从总数中去掉不合条件的排列的种数从总数中去掉不合条件的排列的种数从总数中去掉不合条件的排列的种数从总数中去掉不合条件的排列的种数求总数：从求总数：从求总数：从求总数：从0 0到到到到9 9这十个数字中任取三个数字的排列数为这十个数字中任取三个数字的排列数为这十个数字中任取三个数字的排列数为这十个数字中任取三个数字的排列数为:解法二：直接法解法二：直接法解法二：直接法解法二：直接法 第一类：每一位数字都不是第一类：每一位数字都不是第一类：每一位数字都不是第一类：每一位数字都不是0 0的三位数有的三位数有的三位数有的三位数有第二类：个位数字是第二类：个位数字是第二类：个位数字是第二类：个位数字是0 0的三位数有的三位数有的三位数有的三位数有第三类：十位数字是第三类：十位数字是第三类：十位数字是第三类：十位数字是0 0的三位数有的三位数有的三位数有的三位数有 符合条件的三符合条件的三符合条件的三符合条件的三位数的个数是位数的个数是位数的个数是位数的个数是:小小小小 结一：结一：结一：结一：对于对于对于对于“在在在在”与与与与“不在不在不在不在”等有特殊元素或特殊等有特殊元素或特殊等有特殊元素或特殊等有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是位置的排列问题，通常是位置的排列问题，通常是位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置先排特殊元素或特殊位置先排特殊元素或特殊位置先排特殊元素或特殊位置，称，称，称，称为为为为优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法（优限法优限法优限法优限法）。）。）。）。练习练习练习练习 用用用用0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的可组成多少个无重复数字的可组成多少个无重复数字的可组成多少个无重复数字的1)1)五位数；五位数；五位数；五位数；2)2)六位偶数；六位偶数；六位偶数；六位偶数；3)3)大于大于大于大于213045213045的自然数的自然数的自然数的自然数.1)1)解解解解1 1 位置分析法：首位是特殊位置，位置分析法：首位是特殊位置，位置分析法：首位是特殊位置，位置分析法：首位是特殊位置，0 0不能排，不能排，不能排，不能排，有有有有5 5种排法种排法种排法种排法,其余其余其余其余4 4个位置有个位置有个位置有个位置有A A4 45 5种排法，种排法，种排法，种排法，由乘法原理知共有由乘法原理知共有由乘法原理知共有由乘法原理知共有 5 A 5 A4 45 5=55432=600=55432=600 1)1)解解解解2.2.（间接法）（间接法）（间接法）（间接法）6 6个数中取个数中取个数中取个数中取5 5个数的排列中有不满个数的排列中有不满个数的排列中有不满个数的排列中有不满足要求的数如足要求的数如足要求的数如足要求的数如0213402134等，等，等，等，OO这样的数共有这样的数共有这样的数共有这样的数共有:A A5 56 6-A-A4 45 5=600=600 第二类个位不是第二类个位不是第二类个位不是第二类个位不是0,0,个位有两种排法，首位有个位有两种排法，首位有个位有两种排法，首位有个位有两种排法，首位有4 4种排种排种排种排法，中间四位有法，中间四位有法，中间四位有法，中间四位有A A4 44 4种排法，第二类共有种排法，第二类共有种排法，第二类共有种排法，第二类共有24A24A4 44 4=192,=192,2)2)可分为两类，可分为两类，可分为两类，可分为两类，第一类是个位为第一类是个位为第一类是个位为第一类是个位为0 0的有的有的有的有A A5 55 5个个个个;由加法原理共有由加法原理共有由加法原理共有由加法原理共有 A A5 55 5+192=312+192=312 练习练习练习练习 用用用用0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的大于可组成多少个无重复数字的大于可组成多少个无重复数字的大于可组成多少个无重复数字的大于213045213045的自然数的自然数的自然数的自然数.A A1 13 3AA5 55 5A A1 13 3AA4 44 4A A1 12 2AA3 33 3A A1 12 2AA2 22 2第五类：形如第五类：形如第五类：形如第五类：形如2105421054有有有有一个一个一个一个因此满足要求的数共有因此满足要求的数共有因此满足要求的数共有因此满足要求的数共有449449个个个个 第一类：形如第一类：形如第一类：形如第一类：形如3 3,4,4,5,5,这样这样这样这样的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有：第二类：形如第二类：形如第二类：形如第二类：形如 23 23，2424，2525这样这样这样这样的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有：第三类：形如第三类：形如第三类：形如第三类：形如214214,215,215这样的数都是满足条这样的数都是满足条这样的数都是满足条这样的数都是满足条件的数共有：件的数共有：件的数共有：件的数共有：第四类：形如第四类：形如第四类：形如第四类：形如21342134,2135,2135的数有的数有的数有的数有A A6 66 6=720.=720.共有共有共有共有A A6 61 1 A A6 66 6=4320.=4320.,共有共有共有共有A A6 61 1 A A6 66 6=4320.=4320.所以共有所以共有所以共有所以共有 A A7 77 7-A-A6 66 6=7 A=7 A6 66 6-A-A6 66 6=4320.=4320.例例例例6 6 7 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？位同学站成一排，共有多少种不同的排法？位同学站成一排，共有多少种不同的排法？位同学站成一排，共有多少种不同的排法？A A7 77 75040.5040.7 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的解：问题可以看作：余下的解：问题可以看作：余下的解：问题可以看作：余下的6 6个元素的全排列个元素的全排列个元素的全排列个元素的全排列解：问题可以看作：解：问题可以看作：解：问题可以看作：解：问题可以看作：7 7个元素的全排列个元素的全排列个元素的全排列个元素的全排列 7 7位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多少种不同的排法？少种不同的排法？少种不同的排法？少种不同的排法？解一：甲站其余六个位置之一有解一：甲站其余六个位置之一有解一：甲站其余六个位置之一有解一：甲站其余六个位置之一有A A6 61 1种，种，种，种，其余其余其余其余6 6人全排列有人全排列有人全排列有人全排列有A A6 66 6 种，种，种，种，解二：从其他解二：从其他解二：从其他解二：从其他6 6人中先选出一人站首位，有人中先选出一人站首位，有人中先选出一人站首位，有人中先选出一人站首位，有 A A6 61 1剩下剩下剩下剩下6 6人人人人(含甲含甲含甲含甲)全排列全排列全排列全排列,有有有有A A6 66 6解三：解三：解三：解三：7 7人全排列有人全排列有人全排列有人全排列有 A A7 77 7,甲在首位的有甲在首位的有甲在首位的有甲在首位的有A A6 66 6解：根据分步计数原理：第一步解：根据分步计数原理：第一步解：根据分步计数原理：第一步解：根据分步计数原理：第一步 甲甲甲甲,乙站在两端有乙站在两端有乙站在两端有乙站在两端有则共有则共有则共有则共有A A2 22 2 A A5 55 5=240=240种排列方法种排列方法种排列方法种排列方法甲甲甲甲乙乙乙乙乙乙乙乙甲甲甲甲 a ab bc cd de e e eb bd dc ca aA A5 55 5A A5 55 5A A2 22 2A A2 22 2 例例例例6 (4)76 (4)7位同学站成一排甲、乙只能站在两端的位同学站成一排甲、乙只能站在两端的位同学站成一排甲、乙只能站在两端的位同学站成一排甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？排法共有多少种？排法共有多少种？排法共有多少种？A A2 22 2种种种种.第二步第二步第二步第二步 余下的余下的余下的余下的5 5名同学进行全排列有名同学进行全排列有名同学进行全排列有名同学进行全排列有 A A5 55 5种种种种所以一共有所以一共有所以一共有所以一共有A A5 52 2 A A5 55 5 24002400种排列方法种排列方法种排列方法种排列方法 例例例例6 (5)76 (5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？排尾的排法共有多少种？排尾的排法共有多少种？排尾的排法共有多少种？解：第一步解：第一步解：第一步解：第一步 从（除去甲、乙）其余的从（除去甲、乙）其余的从（除去甲、乙）其余的从（除去甲、乙）其余的5 5位同学中选位同学中选位同学中选位同学中选2 2位同学站在排头和排尾有位同学站在排头和排尾有位同学站在排头和排尾有位同学站在排头和排尾有A A5 52 2种方法种方法种方法种方法第二步第二步第二步第二步 从余下的从余下的从余下的从余下的5 5位同学中选位同学中选位同学中选位同学中选5 5位进行排列（全排列）有位进行排列（全排列）有位进行排列（全排列）有位进行排列（全排列）有A A5 55 5种方法种方法种方法种方法例例6 (6)若甲不在排头若甲不在排头,乙不在排尾乙不在排尾,有多少种不同的排法有多少种不同的排法?解法一（直接法）：解法一（直接法）：解法一（直接法）：解法一（直接法）：以甲作为分类标准以甲作为分类标准以甲作为分类标准以甲作为分类标准,分为两类：分为两类：分为两类：分为两类：第一类：先安排甲在中间第一类：先安排甲在中间第一类：先安排甲在中间第一类：先安排甲在中间,再安排乙再安排乙再安排乙再安排乙,有有有有第二类：先安排甲在排尾第二类：先安排甲在排尾第二类：先安排甲在排尾第二类：先安排甲在排尾,再安排其他人再安排其他人再安排其他人再安排其他人,有有有有共有：共有：共有：共有：37203720种方法种方法种方法种方法例例6 (6)若甲不在排头若甲不在排头,乙不在排尾乙不在排尾,有多少种不同的排法有多少种不同的排法?解法二（间接法）：解法二（间接法）：所有排法中除去不符合的所有排法中除去不符合的.所有排法：所有排法：甲在排头：甲在排头：乙在排尾：乙在排尾：甲在排头、乙在排尾：甲在排头、乙在排尾：共有：共有：3720种方法种方法(7)7(7)7位同学站成两排位同学站成两排位同学站成两排位同学站成两排(前前前前3 3后后后后4),4),共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？解解解解:根据分步计数原理根据分步计数原理根据分步计数原理根据分步计数原理:7654321:76543217 7！=5040.=5040.有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题2 2 相邻问题相邻问题相邻问题相邻问题(9)(9)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？例例例例6 (8)6 (8)甲、乙两同学相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学相邻的排法共有多少种？解解:甲、乙合在一起有甲、乙合在一起有A22种排法种排法,与另五个同学全排列有与另五个同学全排列有A66种排法，种排法，共有共有N=A22 A66=720捆捆 绑绑 法法3 3 不相邻问题不相邻问题不相邻问题不相邻问题(9)(9)解法一：间接法解法一：间接法解法一：间接法解法一：间接法(11)(11)甲、乙、丙按指定顺序排列。甲、乙、丙按指定顺序排列。甲、乙、丙按指定顺序排列。甲、乙、丙按指定顺序排列。(10)(10)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解法二：先将其余五个同学排好有解法二：先将其余五个同学排好有解法二：先将其余五个同学排好有解法二：先将其余五个同学排好有:再将甲、乙同学分别插入这六个再将甲、乙同学分别插入这六个再将甲、乙同学分别插入这六个再将甲、乙同学分别插入这六个“空位空位空位空位”有有有有:所以一共有所以一共有所以一共有所以一共有种方法种方法种方法种方法种方法，种方法，种方法，种方法，此时他们留下六个此时他们留下六个此时他们留下六个此时他们留下六个“空位空位空位空位”，种方法种方法种方法种方法,插空法插空法A44A53=1440其余四人在其余四人在7个位置中选个位置中选4个，有个，有:A74方法，方法，甲、乙和丙三个同学在其余甲、乙和丙三个同学在其余甲、乙和丙三个同学在其余甲、乙和丙三个同学在其余3 3个位置中，只有一种方法个位置中，只有一种方法个位置中，只有一种方法个位置中，只有一种方法共有共有N=A741=840种站法种站法.练习练习练习练习1 1 若有四个男孩和三个女孩站成一排照相：若有四个男孩和三个女孩站成一排照相：若有四个男孩和三个女孩站成一排照相：若有四个男孩和三个女孩站成一排照相：若其中的若其中的若其中的若其中的A A小孩必须站在小孩必须站在小孩必须站在小孩必须站在B B小孩的左边，有多少小孩的左边，有多少小孩的左边，有多少小孩的左边，有多少种不同的排法？种不同的排法？种不同的排法？种不同的排法？所以在全排列中，所以在全排列中，所以在全排列中，所以在全排列中，A A在在在在B B左边与左边与左边与左边与A A在在在在B B右边的排法数相等右边的排法数相等右边的排法数相等右边的排法数相等解解解解:A:A在在在在B B左边的一种排法必对应着左边的一种排法必对应着左边的一种排法必对应着左边的一种排法必对应着A A在在在在B B右边的一种排法右边的一种排法右边的一种排法右边的一种排法种排法。种排法。种排法。种排法。因此有：因此有：因此有：因此有：插空法插空法 若三个女孩要站在一起，四个男孩也若三个女孩要站在一起，四个男孩也若三个女孩要站在一起，四个男孩也若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在一要站在一要站在一要站在一起，有多少种不同的排法？起，有多少种不同的排法？起，有多少种不同的排法？起，有多少种不同的排法？不同的排法有：不同的排法有：不同的排法有：不同的排法有：（种）捆捆绑绑法法若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有解：先把四个男孩排成一排有解：先把四个男孩排成一排有解：先把四个男孩排成一排有A A4 44 4种排法，种排法，种排法，种排法，五个空档五个空档五个空档五个空档(包括两端包括两端包括两端包括两端)再把三个女孩插入空档中有再把三个女孩插入空档中有再把三个女孩插入空档中有再把三个女孩插入空档中有A A5 53 3种方法种方法种方法种方法共有：共有：共有：共有：种排法。种排法。种排法。种排法。插空法插空法若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？练习练习练习练习2 2 某人射击某人射击某人射击某人射击8 8枪，命中枪，命中枪，命中枪，命中4 4枪，枪，枪，枪，4 4枪命种恰好枪命种恰好枪命种恰好枪命种恰好3 3枪枪枪枪连在一起的不同种数有多少？连在一起的不同种数有多少？连在一起的不同种数有多少？连在一起的不同种数有多少？解：连续命中的解：连续命中的解：连续命中的解：连续命中的3 3枪和命中的另一枪被未命中的枪和命中的另一枪被未命中的枪和命中的另一枪被未命中的枪和命中的另一枪被未命中的4 4枪所隔开枪所隔开枪所隔开枪所隔开 ，如图，如图，如图，如图表示没有命中，表示没有命中，表示没有命中，表示没有命中，_ _ _ _ _ _ 命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个元素插到五个空档中有元素插到五个空档中有元素插到五个空档中有元素插到五个空档中有A A5 52 2=54=20=54=20种排法种排法种排法种排法 练习练习练习练习3 3 一排一排一排一排8 8个座位，个座位，个座位，个座位，3 3人去坐，每人两边至少有人去坐，每人两边至少有人去坐，每人两边至少有人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种一个空座的坐法有多少种一个空座的坐法有多少种一个空座的坐法有多少种？练习练习练习练习4 4 一排长椅上共有一排长椅上共有一排长椅上共有一排长椅上共有1010个座位，现有个座位，现有个座位，现有个座位，现有4 4人就座，人就座，人就座，人就座，恰有五个连续空位的坐法种数为恰有五个连续空位的坐法种数为恰有五个连续空位的坐法种数为恰有五个连续空位的坐法种数为 。（用数字作。（用数字作。（用数字作。（用数字作答）答）答）答）480A63 练习练习练习练习5 5 同室同室同室同室4 4名学生各写一张贺卡，放在一起，然名学生各写一张贺卡，放在一起，然名学生各写一张贺卡，放在一起，然名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？有多少种拿法？有多少种拿法？有多少种拿法？第一个同学从中拿一张贺第一个同学从中拿一张贺第一个同学从中拿一张贺第一个同学从中拿一张贺卡，满足要求的拿法有卡，满足要求的拿法有卡，满足要求的拿法有卡，满足要求的拿法有3 3种种种种解：第一步解：第一步解：第一步解：第一步 考虑被第一个同学拿走贺考虑被第一个同学拿走贺考虑被第一个同学拿走贺考虑被第一个同学拿走贺卡的那个同学也有卡的那个同学也有卡的那个同学也有卡的那个同学也有3 3种拿法