231__离散型随机变量的均值.ppt

2.3.1 离散型随机离散型随机变量的均值变量的均值数学期望数学期望一、复习回顾一、复习回顾1 1、离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的分布列 X2 2、离散型随机变量分布列的性质：、离散型随机变量分布列的性质：(1)pi0，i1，2，；(2)p1p2pi1复习复习什么叫做什么叫做n次独立重复实验？次独立重复实验？设设X表示表示n次实验中次实验中A事件发生的次数，它事件发生的次数，它满足什么分布？分布列如何表示？满足什么分布？分布列如何表示？如果如果X满足二项分布，则满足二项分布，则 记为：记为：XB(n，p)复习引入复习引入 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望我们还常常希望直接通过数字直接通过数字来反映随机变量的某来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有个方面的特征，最常用的有期望与方差期望与方差.如果你期中考试各门成绩为：如果你期中考试各门成绩为：90、80、77、68、85、91那你的平均成绩是多少？那你的平均成绩是多少？算术平均数算术平均数加权平均数加权平均数你的期中数学考试成绩为你的期中数学考试成绩为70，平时表，平时表现成绩为现成绩为60，学校规定：在你学分记，学校规定：在你学分记录表中，该学期的数学成绩录表中，该学期的数学成绩中，中，中中考试成绩占考试成绩占70%、平时成绩占、平时成绩占30%，你最终的数学成绩为多少？你最终的数学成绩为多少？加权平均数加权平均数权权：称棰，权衡轻重的数值；：称棰，权衡轻重的数值；加权平均加权平均：计算若干数量的平均数：计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的有的重要性不同，分别给予不同的权数。权数。181/2+241/3+361/6 x 18 24 36 p 1/2 1/3 1/6=18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36)=23如果你买了如果你买了如果你买了如果你买了1kg1kg这种混合这种混合这种混合这种混合糖果，你要付多少钱？糖果，你要付多少钱？糖果，你要付多少钱？糖果，你要付多少钱？而你买的糖果的而你买的糖果的而你买的糖果的而你买的糖果的实际价值实际价值实际价值实际价值刚好是刚好是刚好是刚好是2323元吗？元吗？元吗？元吗？随机变量均值随机变量均值（概（概率意义下的均值）率意义下的均值）样本平均值样本平均值你能解释在该问题中权数代表的实际你能解释在该问题中权数代表的实际含义吗？含义吗？将按将按3：2：1混合的糖果看作总体；混合的糖果看作总体；任取的任取的1kg糖果看作一个样本；糖果看作一个样本；样本中的每个糖果看成一个个体；样本中的每个糖果看成一个个体；设样本中含有设样本中含有n个个体，则其中各种价钱的糖果个个体，则其中各种价钱的糖果大约各占：大约各占：在样本中任取一颗糖果，权数代表该糖果是哪个在样本中任取一颗糖果，权数代表该糖果是哪个价位的概率。价位的概率。数学期望数学期望若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn则称：E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。例例1在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中的概率为的概率为0.7，那么他罚球一次得分设，那么他罚球一次得分设为为X，X的均值是多少？的均值是多少？解：该随机变量X服从两点分布:P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3所以：E(X)=1P(X=1)+0P(X=0)=0.7X01p0.30.7如果随机变量如果随机变量X服从两点分布，服从两点分布，那么那么 E(X)=p 10pp1-p例例2、4 5 6 7 8 9 100.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22某射手射击所得环数某射手射击所得环数 的分布列如下：的分布列如下：求求n次射击的平均环数。次射击的平均环数。如果这次射击中射击所得奖金与环数如果这次射击中射击所得奖金与环数的关系为的关系为=2+1，试求随机变量，试求随机变量的期望。的期望。9 11 13 15 17 19 210.020.040.060.090.280.290.22期望的线性性质期望的线性性质若若X是一个随机变量，则是一个随机变量，则 Y=aX+b仍然是一个随机变量，其中仍然是一个随机变量，其中a、b是常是常数。数。EY=E(aX+b)=aE(X)+b探究探究如果我们只关心他是否打中如果我们只关心他是否打中10环，环，则在他则在他5次射击中，打中次射击中，打中10环的次数环的次数设为设为X，则求，则求X的均值。的均值。如果如果X服从二项分布，则服从二项分布，则E(X)=？若若XB(n，p)，则，则 EX=n p 求证：若XB(n，p)，则E(X)=npE(X)=0Cn0p0qn+1Cn1p1qn-1+2Cn2p2qn-2+kCnkpkqn-k+nCnnpnq0P(X=k)=Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+Cn-1n-1pn-1q0)X 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0(k Cnk=n Cn-1k-1)=np(p+q)n-1=np一次英语单元测验由一次英语单元测验由2020个选择题构成，每个选个选择题构成，每个选择题有择题有4 4个选项，其中有且仅有一个选项是正确个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得答案，每题选择正确答案得5 5分，不作出选择或分，不作出选择或选错不得分，满分选错不得分，满分100100分。学生甲选对任一题的分。学生甲选对任一题的概率为概率为0.90.9，学生乙则在测验中对每题都从，学生乙则在测验中对每题都从4 4个选个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。次英语单元测验中的成绩的均值。例题2解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是X和Y，则 XB(20，0.9)，YB(20，0.25)，E(X)200.918，E(Y)200.255由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5X和5Y。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是E(5X)5EX51890，E(5Y)5EY5525 不一定不一定,其含义是在多次类似的测试中其含义是在多次类似的测试中,他的平均成他的平均成绩大约是绩大约是9090分分思考思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是学生甲在这次测试中的成绩一定会是9090分吗分吗?他的他的均值为均值为9090分的含义是什么分的含义是什么?随机变量的均值随机变量的均值 样本的平均值？样本的平均值？例如取糖果问题，将每次取出的糖果价格例如取糖果问题，将每次取出的糖果价格定为样本，每次取糖果时样本会有变化，定为样本，每次取糖果时样本会有变化，样本的平均值也会跟着变化；而随机变量样本的平均值也会跟着变化；而随机变量的均值是常数。的均值是常数。思考思考甲同学一定会得甲同学一定会得90分吗？分吗？90表示随机变量表示随机变量X的均值；的均值；具体考试甲所得成绩是样本实际平均值；具体考试甲所得成绩是样本实际平均值；数学期望小结数学期望小结EX表示表示X所表示的随机变量的均值；所表示的随机变量的均值；E(aX+b)=aEX+b两点分布：两点分布：EX=p二项分布：二项分布：EX=n p求数学期望时：求数学期望时：1.已知是两点分布或二项分布，直接代用公式；已知是两点分布或二项分布，直接代用公式；2.其它分布的随机变量，先画出分布列，在对应求值。其它分布的随机变量，先画出分布列，在对应求值。作业作业课本课本64页练习页练习2、3、4、5；69页页B组第组第1题。题。