向量综合练习4943.pdf
向量综合复习 一、单选题 1已知点(0,1)A，(,1)B x x，(1,3)C，且/ABBC，则(x )A5 B1 C2 D3 2已知向量a，b，ab，|1a，若|2|5ab，则|(b )A6 B2 C3 D2 2 3平面向量a、b满足(1,1)b 且2a b，则2ab在b上的投影向量为()A3b B3b C3 2b D3 2b 4如图，圆O的直径4BC，5AO，则(AC AB )A25 B10 C21 D9 5 平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，点E满足2AEEO，若BEBABD，R，则()A0 B13 C23 D12 6如图，ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD延长线上一点，且2ADDE，若10AB AC，2EB EC，|(BC )A2 B4 C6 D2 6 7已知O为ABC的外心，3450OAOBOC，则cosBOC的值为()A45 B35 C15 D0 8奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为AS，BS，CS，则0ABCSOASOBSOC“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”设O为三角形ABC内一点，且满足2332OAOBOCABBCCA，则(AOBABCSS )A25 B12 C16 D13 二、多选题 9下列说法中正确的是()A两个非零向量,a b，若|abab，则ab B若/ab，则有且只有一个实数，使得ba C若,a b为单位向量，则ab D0ABBA 10已知向量(,2)am，(1,5)b，若()aba，则()A2m 或3m B2m 或3m C|3 2ab或|13ab D|10ab或|5ab 11已知a，b是平面上夹角为3的两个单位向量，c在该平面上，且()()0acbc，则下列结论中正确的有()A|1ab B|1ab Cab与c不可能垂直 D|3c 12已知点O为ABC所在平面内一点，且0(aOAbOBcOCa，b，0)c，则下列选项正确的是()A若1a，2b，3c，则1132AOABAC B若3a，2b，4c，且|1OAOBOC，则316OC AB C若直线AO过BC的中点，则abc D:AOBAOCSSb c 三、填空题 13已知向量a，b满足|2|ab，且2ab与2ab垂直，则a与b的夹角为 14在ABC中，点M、N满足2,3AMMC BNNC，若MNxAByAC，则yx 15向量(2,3)a 与向量(1,)bx 的夹角为钝角，则x的取值集合为 16已知点O是锐角ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，3A，且coscos2sinsinBCABACOACB，则的值为 四、解答题 17如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上（1）若点F是CD上靠近C的三等分点；设EFABAD，求的值：（2）若2AB，当1AE BF时，求cosEAF的值 18已知三个互不相同的平面向量|1abc，a与c夹角为60，b与c夹角为60，（1）求证：()abc；（2）|6kabc，求k的范围 期末复习专项训练 13向量（综合练习 1）答案 1解：点(0,1)A，(,1)B x x，(1,3)C，(,2)ABx x，(1,4)BCxx，/ABBC，142xxxx，解得2x 故选：C 2解：向量a，b，ab，0a b，|1a，|2|5ab，224425aa bb，即2104|25b，|6b，故选：A 3解：向量2a b，则22(2)24abba bbb ，2ab在b上的投影向量为：222(2)23|abba bbbbbbb 故选：B 4解：建立如图所示的坐标系，则(5,0)A，设(2cos,2sin)B，则(2cos,2sin)C，所以(2cos5AC AB，2sin)(2cos5，2sin)22254cos4sin25421 故选：C 5解：如图所示：，由图可知112111()()333333BEBAAEBAACBAADABBABDBABABD，13，13，23 故选：C 6解：A、D、E三点共线，且D为BC的中点，2EBECEDECEBBC，两式平方作差可得，2244|EC EBEDBC 又2EB EC，224|8EDBC 24ABACADDEACABBC，两式平方作差可得，22416|AB ACDEBC，又10AB AC，2216|40DEBC 联立解得：|2 6BC 故选：D 7解：O为ABC的外心，3450OAOBOC，345OAOBOC，两边平方得：22291625245OAOBOCOB OC，设|OBOAOCr，2229162540rrrOB OC，245OB OCr，22445cos5|rOB OCBOCrOBOC 故选：A 8解：O为三角形ABC内一点，且满足2332OAOBOCABBCCA，233()2()()320OAOBOCOBOAOCOBOAOCOAOBOC，0ABCSOASOBSOC 13AOBAOBCABCAOBBOCAOCABCSSSSSSSSSS，故选：D 9解：2222:|22Aababaa bbaa bb0a bab，A正确，B：当0a，0b 时，/ab成立，但ba不成立，B错误，C：若a，b为单位向量，则|ab，但ab不一定相等，C错误，:DAB，BA为相反向量，0ABBA，D正确 故选：AD 10解：向量(,2)am，(1,5)b，若()aba，则22()(4)(10)0abaaa bmm，求得3m ，或2m，故A错误，B正确 故(1abm，3)(2，3)，或(1abm，3)(3，3)，|4913ab，或|993 2ab，故C正确，D错误，故选：BC 11解：a，b是平面上夹角为3的两个单位向量，设ABa，ACb，建立坐标系如图，cAP，acPB，bcPC，由()()0acbc，可得0PB PC，c的中点P在以BC为直径的圆上，|3ab，故A不正确；|1abBC，故B正确；由图可知，ab，c的夹角是锐角，ab与c不可能垂直，故C正确；|AP的最大值为：13322，故D正确 故选：BCD 12解：对于A，若1a，2b，3c，则230OAOBOC，因为OBOAAB，OCOAAC，所以2()3()0OAOAABOAAC，整理可得1132AOABAC，故选项A正确；对于B，1(32)4OCOAOB，222211(32)(9124)416OCOAOBOAOA OBOB，11(9124)16OA OB，解得14OA OB，2211113()(32)()(23)(23)444416OC ABOCOBOAOAOBOBOAOBOAOA OB ，故选项B正确；对于C，设BC中点为D，则1()2ADABAC，若直线AO过BC的中点，则()AOADR，1(),()()02AOABAC aOAb OAABc OAAC，()0abc OAbABcAC，1()()02abc ABACbABcAC，()()022abcb ABabcc AC，022abcbabcc，bc，但a与b，c不一定相等，故选项C错误；对于D，由奔驰定理可知0BOCAOCAOBSOASOBSOC，又0(aOAbOBcOCa，b，0)c，:AOBAOCSSc b，故选项D错误 故选：AB 13 解：|2|ab，且2ab与2ab垂直，22222(2)(2)223823630abababa bbba bba b，22a bb，222cos,1|2a bba ba bb，且,0,a b，a与b的夹角为 14解：因为2,3AMMC BNNC，所以111111134344124MNMCCNACCBACCAABACAB 若MNxAByAC，根据平面向量基本定理得14x，112y，13yx 故答案为：13 15解：向量(2,3)a 与向量(1,)bx 的夹角为钝角，23032a bxx ，解得x的取值集合为(，33)(22，2)3 故答案为：(，33)(22，2)3 16解：分别取AB，AC的中点D，E，连接OD，OE，可得21122AB OAABABc ，21122AC OAACACb ，设ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理可得2sinsinsinabcRABC，由coscos2sinsinBCABACOACB，两边点乘OA，可得2coscos()()2sinsinBCAB OAAC OAOACB，即211coscos22 sin2 sincbcBbCRCB，所以212(coscos)22R cBbCR，所以222222()222acbabccbRacab，所以2aR，所以3sin22aAR 故答案为：32 17解：（1）点E是BC边上中点，点F是CD上靠近C的三等分点，1133CFDCAB ，1122ECBCAD，1132EFECCFABAD，13EFABAD，12，故16（2）设CFCD，则BFBCCFADAB，又12AEABBEABAD，0AB AD，2211()()42122AE BFABADADABABAD ，故14，3(1)22DF 2925444AF，2415AE ，254EF，由余弦定理得2222 5cos25AFAEEFFAEAFAE 18（1）证明：因为()1 1 cos601 1 cos600abca cb c ，所以()abc；（2）解：因为a与b夹角为06060120，且|6kabc，所以2()6kabc，即22222226k abcka bka cb c，所以21 121 1 cos12021 1 cos602 1 1 cos606kkk ，化简得23k，解得3k 或3k，所以k的取值范围是(，3)(3，)
