宜宾市2020级理科一诊数学试题及答案5251.pdf

第 1 页（共 9 页）OyxOyxOyxOyxf x()=x 1f x()=log2x输出f(x)结束是x?否开始输入x宜宾市 2020 级高三第一次诊断性试题 数 学（理工类）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合2230AxxxZ，|1Bx x，则集合AB的元素个数为 A1 B2 C3 D4 2若复数 z 满足(1)i1iz ，则z的虚部是 A1 B1 Ci Di 3“lglgab”是“22ab”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知函数()cosf xxx，则()yf x的大致图象是 A B C D 5如图所示的程序框图中，若输出的函数值()f x在区间 2,2内，则输入的实数 x 的取值范围是 A 2,2 B 2,4 C 1,4 D 1,2 6在ABC中，若54ABAC，则()ABACBC A20 B9 C9 D16 第 2 页（共 9 页）7已知角的终边上一点P的坐标为1,2，角的终边与角的终边关于x轴对称，则tan()4 A13 B13 C3 D3 8“四书”“五经”是我国9部经典名著大学 论语 中庸 孟子 周易 尚书 诗经礼记 春秋的合称为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求大学 论语相邻，但都不与周易相邻，则排法种数为 A622622A A A B6262A A C622672A A A D622662A A A 9已知3918xy，当21xy取最大值时，则xy的值为 A2 B2 C3 D4 10南宋数学家杨辉给出了著名的三角垛公式：1(12)(123)(123)n 1(1)(2)6n nn，则数列2nn的前n项和为 A1(1)(1)3nn n B1(1)(21)3nnn C1(1)(2)6n nn D1(21)(1)6nn n 11已知定义在R上的奇函数()f x满足(1)2f，(4)(2)fxfx，则(2022)(2023)ff A4 B0 C2 D4 12已知252.5a，5775b，133c，则a，b，c的大小关系为 Aabc Bbac Ccba Dbca 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.13若xy，满足约束条件20,25,0,xyxyy则xy的最大值为_.14在261(2)()xxx的展开式中，常数项为_（用数字作答）15已知函数()2sin()3f xx，方程()20f x 在区间0,2 有且仅有四个根，则正数的取值范围是 16关于x的不等式20axxbe的解集为R，则ba的最大值是 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共 60 分.第 3 页（共 9 页）17（12 分）2022年四川持续出现高温天气，导致电力供应紧张某市电力局在保证居民生活用电的前提下，尽量合理利用资源，保障企业生产为了解电力资源分配情况，在 8 月初，分别对该市A区和B区各 10 个企业 7 月的供电量与需求量的比值进行统计，结果用茎叶图表示如图(1)求A区企业 7 月的供电量与需求量的比值的中位数；(2)当供电量与需求量的比值小于0.84时，生产要受到影响，统计茎叶图中的数据，填写右面 22 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为生产受到影响与企业所在区有关？附：22n adbcKabcdacbd 18.（12 分）已知正项数列 na满足11a，12nnna aS.(1)计算2a，3a，猜想 na的通项公式并加以证明；(2)若2nnnba，求数列 nb的前n项和nT.19.（12 分）ABC的内角A，B，C所对边分别为a,b,c,已知sinsinsinsincCbBcaAA，2b.(1)若2ac，求ABC的周长;(2)若AC边的中点为D，求中线BD的最大值.20（12 分）不受影响 受影响 合计 A 区 B 区 合计 kKP2 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 B区A区6 901261 14461 4 5 7 830 1 20.70.80.9 第 4 页（共 9 页）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误(1)设乙接到球的次数为X，通过三次传球，求X的分布列与期望；(2)设第n次传球后，甲接到球的概率为na，(i)试证明数列13na 为等比数列；(ii)解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数 21（12 分）已知函数()axf xxe（12a）.(1)(0,1)x，求证：1sinln1xxx;(2)证明：111sinsinsin()23f nn.（二）选做题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标xOy中，曲线C的参数方程为222 32,113txtyt（t为参数，tR），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线C的普通方程和极坐标方程；(2)在平面直角坐标xOy中，若过点P(3,0)且倾斜角为6的直线l与曲线C交于,A B两点，求证：|PAABPB，成等差数列 23.（10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数()20,0,0f xxaxbcabc，(1)当1abc时，解不等式()6f x；(2)当函数()f x的最小值为7时，求12abc 的最大值 宜宾市 2020 级高三第一次诊断性试题（参考答案）数 学（理工类）第 5 页（共 9 页）注意：一、本解答给出了一种解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13.5；14.30；15.19 25,)12 12；16.4e 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.解：（1）供电量与需求量的比值由小到大排列，第 5 个数，第 6 个数分别为0.85,0.86.2 分 0.850.870.862所求中位数.4 分（2）22 列联表 .6 分 2220 7643201.8183.84111 9 10 1011K .10 分 没有 95%的把握认为生产有影响与企业所在区有关.12 分 18.解：（1）当1n 时，12212,1,222a aaSa；当2n 时，233232,3,322a aaSa；.2 分 不受影响 受影响 合计 A区 7 3 10 B区 4 6 10 合计 11 9 20 第 6 页（共 9 页）猜想nan.4 分 证明如下：当1n 时，11a 成立；假设nk时，kak成立；那么1nk时，11(1)222(12)2,12kkkkkkkka aSkSakakk也成立.则对任意的*nN，都有nan成立.6 分（2）2nnbn，.8 分 2121(1)2(12)(12)(222)2221222nnnnn nnnTn.12 分 19.解：（1）sinsinsinsincCbBcaAA，22cbcaaa，222cacba，所以222acbac,1cos2B,.2 分 222244ccc，.4 分 224234,33ccc，423ac，42222 333abc周长.6 分（2）2BCBABD，22()4BCBABD，22224BCBABC BABD，2222cos4acacBBD，222222242acbacacBDac，2222224acbBD，.8 分 2222222,4,4cacbacacaacac，222acac,当且仅当2ac时，等号成立.222242acac 22224,82acac，222222242222428412,3,3BDacbacBDBD 3BD的最大值为.12 分 20.（1）0,1,2X的取值为 812121210XP；85212121212121211XP；4121121)2(XP；.4 分 第 7 页（共 9 页）所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 81 85 41 .5 分 所以 89412851810XE；.6 分 (2)（i）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则10a，,2nnN时，第n次传给甲的事件是第1n次传球后，球不在甲手上并且第n次必传给甲的事件，于是有1121nnaa，即3121311nnaa，数列13na 是首项为31311a，公比为21的等比数列.9 分（ii）1213131nna，所以1213131nna，.11 分 当n时，31na，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数31.12 分 21.解：（1）先证sin xx，令()sing xxx，()1cos0g xx，所以()g x在(0,1)上单调递增，所以()(0)0g xg，即sin0,sinxxxx.2 分 再证1ln1xx，令1()lnln(1)1h xxxxx，11 1()(1)111xxh xxxx ，01,()0 xh x，()h x在(0,1)单调递增，()(0)0h xh，即11ln0,ln11xxxx.4 分（2）1sinln1xx，111111sinsinsinlnlnln1112311123nn3ln2lnlnln21nnn，.6 分 要证111sinsinsin()23f nn，只需证ln()nf n，第 8 页（共 9 页）ln,ln0anannenenn即证即证，11221,lnln2nnananaeeennenn，.7 分 要证ln0anenn，即证1*2ln0(,2)nennnNn 令12()()lnxF xexx，1211()()12xF xex，()F x在2,)上单调递增，(2)0F，(3)0F，所以()F x在区间(2,3)上存在零点0 x 且()F x在02,)x上单调递减，0,)x 上单调递增，.10 分 而(2)2ln20Fe，3233(3)ln022Fe 所以3,),()(3)0 xF xF 所以，1*2ln0(,2)nennnNn得证.12 分 22.解：（1）由222 32,113txtyt得(3),xyty0,2 代入212 3yt，得C的普通方程为222 30,(0,2 3)xyyy，.3 分 C的极坐标方程为22 3 sin0,0 化简得：2 3sin0,0.5 分（2）l 的参数方程为33,212xtyt （t 为参数，tR），代入222 30 xyy，得到24 390tt，.7 分 483612,4 3ABtt，9A Bt t，|4 3,|2 32|ABABPAPBttPPABAB 第 9 页（共 9 页）|PAABPB，成等差数列.10 分 23.解：（1）()211f xxx 由()6f x，得21611xxx ，或211 16xxx，或21 126xxx ，.3 分 即21x 或1x 或23x()6f x的解集为(2,3)，.5 分（2）()(2)()2f xxaxbcabc，当2xa时取等号，min()27f xabc.7 分 由柯西不等式得2122122abcabc 11 1 2(1)(2)52abc 当21222abc，即1,3,2abc时取等号 12abc 的最大值为5.10 分