贵州省凯里市第一中学2020届高三数学上学期开学考试试题理(含解析)2767.pdf

贵州省凯里市第一中学 2020 届高三数学上学期开学考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共 12 小题）1.已知集合，则 A.B.C.D.2.设复数z满足，则 A.1 B.C.D.2 3.某地区高考改革，实行“”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“2”指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，则一名学生的不同选科组合有多少种？A.8 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种 4.已知m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，有以下结论：，其中正确结论的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知等差数列的公差为 2，若，成等比数列，则的值为 A.B.C.D.6.若二项式的展开式的第 5 项是常数，则自然数n的值为 A.6 B.10 C.12 D.15 7.已如非零向量，满足，则与的夹角为 A.B.C.D.8.函数的图象可能是 A.B.C.D.9.已知奇函数在R上是增函数，若，则a，b，c的大小关系为 A.B.C.D.10.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则 A.为奇函数，在上单调递减 B.周期为，图象关于点对称 C.为偶函数，在上单调递增 D.最大值为 1，图象关于直线对称 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为 A.B.C.D.12.定义在R上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本大题共 4 小题）13.曲线在点处的切线方程为_ 14.已知，则_ 15.若抛物线上一点P到其焦点F的距离为 2，O为坐标原点，则的面积为_ 16.已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于_ 三、解答题（本大题共 7 小题）17.商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品A按以下单价进行试售，得到部分的数据如下：单价元 15 16 17 18 19 销量件 60 58 55 53 49 求销量y关于x的线性回归方程；预计今后的销售中，销量与单价服从中的线性回归方程，已知每件商品A的成本是 10 元，为了获得最大利润，商品A的单价应定为多少元？结果保留整数 参考数据：，参考公式：，18.在中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 求角C的大小；若，求周长的取值范围 19.如图所示，四棱锥中，底面ABCD；，求证：平面SAD；求直线SD与平面SBC所成角的正弦值 20.设椭圆，离心率，短轴，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为，求椭圆和抛物线的方程；设坐标原点为O，A为抛物线上第一象限内的点，B为椭圆一点，且有，当线段AB的中点在y轴上时，求直线AB的方程 21.已知函数 求函数的单调区间；若恒成立，求a的值 22.在直角坐标系xOy中，曲线为参数，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 求曲线的极坐标方程；已知点，直线l的极坐标方程为，它与曲线的交点为O，P，与曲线的交点为Q，求的面积 23.已知 当时，求不等式的解集；若时不等式成立，求a的取值范围 答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：，；故选：B 可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可 考查描述法表示集合的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算 2.【答案】A 【解析】解：，故，故选：A 根据复数的基本运算法则进行化简即可 本题主要考查复数模长的计算，比较基础 3.【答案】B 【解析】解：根据题意，分 3 步进行分析：，语文、数学、外语三门必考科目，有 1 种选法；，在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，有种选法；，在物理、历史两门科目中必选一门，有种选法；则这名学生的不同选科组合有种；故选：B 根据题意，分 3 步进行分析该学生在“语文、数学、外语三门”、“化学、生物、政治、地理四门”、“物理、历史两门”中的选法数目，由分步计数原理计算可得答案 本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 4.【答案】B 【解析】解：对于，时，根据两个平面互相垂直的判定定理，不能得出，错误；对于，根据两个平面互相平行的判定定理，不能得出，错误；对于，根据两个平面互相垂直的判定定理，得出，正确；对于，根据直线与平面平行的判定定理，不能得出，错误 综上，正确的命题是，只有 1 个 故选：B 根据空间中的直线与平面，平面与平面之间的平行与垂直关系，判定正误即可 本题考查了几何符号语言以及空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题 5.【答案】C 【解析】解：由，成等比数列，得到，又公差，得到，即，解得：，则 故选：C 由，成等比数列，根据等比数列的性质及通项公式，由列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，由求出的首项和公差，根据等差数列的通项公式求出和的值，即可求出结果 此题考查学生掌握等比数列及等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题 6.【答案】C 【解析】解：的展开式的通项为 展开式的第 5 项是常数 故答案为C 利用二项展开式的通项公式求得第项，求出第五项，令x的指数为 0 求得n 二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具 7.【答案】C 【解析】解：非零向量，满足，所以；又，所以，即；所以，又，所以，即与的夹角为 故选：C 由平面向量的数量积与夹角公式，结合特殊角的余弦函数，即可求出与的夹角 本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题 8.【答案】D 【解析】【分析】本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于中档题 直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果【解答】解：根据函数的解析式，得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和B 当时，函数的值为 0，故排除C 故选D 9.【答案】D 【解析】解：由题意可得，即为偶函数，当时，由是增函数可知单调递增，根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，距对称轴越远，函数值越大，则 故选：D 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论 本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键 10.【答案】D 【解析】解：将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，故为偶函数，函数单调递减，故A不正确；再根据的周期为，最大值为 1，当时，故B错误；，函数没有单调性，故C错误；当时，函数，为最小值，故的图象关于直线对称，故D正确，故选：D 由题意利用函数的图象变换规律，再根据余弦函数的单调性以及图象的对称性，得出结论 本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的单调性以及图象的对称性，属于基础题 11.【答案】A 【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题 设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，进而得到所求渐近线方程【解答】解：设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，由，且ON为的中位线，可得，即有，在直角三角形中，可得，即有，由双曲线的定义可得，可得，则双曲线的渐近线方程为 故选A 12.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，是中档题目 由不等式在上恒成立，得到函数在时是增函数，再由函数是定义在R上的奇函数得到为偶函数，结合，作出两个函数与的大致图象，即可得出答案【解答】解：定义在R的奇函数满足：，且，又时，即，0/，函数在时是增函数，又，是偶函数；时，是减函数，结合函数的定义域为R，且，可得函数与的大致图象如图所示，由图象知，函数的零点的个数为 3 个 故选：C 13.【答案】【解析】解：依题解：依题意得，因此曲线在处的切线的斜率等于 1，所以函数在点处的切线方程为 故答案为：利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题 14.【答案】【解析】解：，故答案为：利用二倍角公式即可算出结果 本题主要考查了二倍角公式，是基础题 15.【答案】【解析】解：由抛物线定义，所以，所以，的面积 故答案为：利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积 本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力 16.【答案】【解析】解：设球心为O，如图 由，可求得 在矩形ABCD中，可求得对角线，故BE 由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，设，在直角三角形BOE中，过O作线段OH垂直平面PAD于H点，H是垂足，由于O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等，故 在直角三角形POH中，解得，球的半径 则此球的表面积等于 故答案为：设球心为O，如图由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，设，分别在直角三角形BOE中，和在直角三角形POH中，列出球的半径的式子，通过解方程求得此球的半径，从而得出表面积 本题是基础题，考查球的体积和表面积，解题的根据是点P、A、B、C、D都在同一球面上，考查计算能力，空间想象能力 17.【答案】解：，销量y关于x的线性回归方程为；设商品A的单价应定为x元，则利润，当时，获得的利润最大 【解析】由已知求得与的值，则线性回归方程可求；设商品A的单价应定为x元，则利润，再由二次函数求最值 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题 18.【答案】解：，又，则的周长，周长的取值范围是 【解析】由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出；利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出 熟练掌握三角函数的平方关系、正、余弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等是解题的关键 19.【答案】证明：在中，则，在中，由，得，又，平面SAD，平面SAD，平面SAD；解：由底面ABCD，可以A为坐标原点，分别以AB，AD，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，得 0，1，0，2，设平面SBC的一个法向量为，由，取，得，设直线SD与平面SBC所成角为，则 【解析】由已知求解三角形证明，再由，可得，由线面平行的判定可得平面SAD；以A为坐标原点，分别以AB，AD，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面SBC的一个法向量，利用空间向量求解直线SD与平面SBC所成角的正弦值 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题 20.【答案】解：由得，又有，代入，解得，所以椭圆方程为，由抛物线的焦点为得抛物线的方程为：由题意点A位于第一象限，可知直线OA的斜率一定存在且大于 0，设直线OA方程为：，得：，可知点A的横坐标，即，因为，可设直线OB方程为：联立可得得：，从而得，若线段AB的中点在y轴上，可知，即，且有，且，解得，从而得，直线AB的方程：【解析】通过离心率以及短轴长，求出b，a得到椭圆方程，通过抛物线的焦点坐标求解抛物线方程即可 可知直线OA的斜率一定存在且大于 0，设直线OA方程为：，联立得，求出点A的坐标x，然后求解B的坐标，即可求解直线AB的方程 本题考查椭圆以及抛物线的简单性质的应用，方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力 21.【答案】解：的定义域是，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；恒成立，即恒成立，时，即在恒成立，令，令，则，故在递增，故，故，故在递增，由，故，时，显然成立，时，即在恒成立，令，故在递增，由，故，综上，【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；通过讨论x的范围，得到在恒成立或在恒成立，根据函数的单调性求出a的值即可 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题 22.【答案】解：，其普通方程为，化为极坐标方程为：联立与l的极坐标方程：，解得P点极坐标为 联立与l的极坐标方程：，解得Q点极坐标为，所以，又点M到直线l的距离，故的面积 【解析】先利用平方关系式消去参数t可得普通方程，再利用互化公式可得曲线的极坐标方程；将直线l的极坐标方程分别代入曲线和的极坐标方程，得到P、Q的极坐标，利用极坐标的几何意义可得PQ，再求出M到l的距离，代入面积公式可得 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题 23.【答案】解：当时，由，或，解得，故不等式的解集为，当时不等式成立，即，即，故a的取值范围为 【解析】去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，当时不等式成立，转化为即，即，转化为，且，即可求出a的范围 本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题