第5讲不等式与线性规划(教师).doc

专题 1函数与导数、不等式第讲 不等式及线性规划 一.瞄准高考1.不等式的基本性质(1)对称性：a>bb<a. (2)传递性：a>b,b>ca>c.(3)加法法则：a>bac>bc. (4)乘法法则：a>b,c>0ac>bc.a>b,c<0ac<bc.(5)同向不等式可加性：a>b,c>dac>bd.(6)同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0ac>bd.(7)幂运算法则：a>b>0an>bn(nQ).2.一元二次不等式(1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解结合二次函数的图象得来,不要死记硬背,二次函数的图象是联系“二次型”的纽带.(2)与一元二次不等式有关的恒成立问题,通常转化为根的分布问题,求解时一定要借助二次函数的图象,一般考虑四个方面：开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端点函数值的符号.3.基本不等式(1)a,bR,a2b22ab,当且仅当ab时等号成立.(2)若a,b均是正数,则,当且仅当ab时等号成立.4.线性规划问题解决线性规划问题的关键之一是弄清楚目标函数中z的含义,一般地经过变换目标函数式直线的斜截式方程后,这条直线在y轴上的截距就可以用z来表示,根据这个截距就可以确定目标函数在什么位置取得最大值和最小值.二.解析高考题型一 解不等式例1.已知关于的不等式,其中.(1)当变化时,试求不等式的解集；(2)对于不等式的解集,若满足(其中为整数集).试探究集合能否为有限集？若能,求出使得集合中元素个数最少的的所有取值,并用列举法表示集合；若不能,请说明理由.【解答】：(1)当时,；当且时,；当时,；(不单独分析时的情况不扣分)当时,.（2） 由(1)知：当时,集合中的元素的个数无限；当时,集合中的元素的个数有限,此时集合为有限集. 因为,当且仅当时取等号,所以当时,集合的元素个数最少.此时,故集合.【变式】(2009·天津卷)设0<b<1a,若关于x的不等式(xb)2>(ax)2的解集中的整数恰有3个,则a的取值范围是 .【解析】(xb)2>(ax)2,(a21)x22bxb2<0,要使x的解集中恰有3个整数,必须有a21>0.又a1>0,a>1.不等式变形为(a1)xb(a1)xb<0.a>1,b>0,>0,0<<1,<x<,2<3,即2a2<b3a3.1<a<3.题型二利用基本不等式求最值例2求函数y的最小值.【思维启迪】利用基本不等式求最值,设tx21,化简原不等式为基本不等式的结构形式,这是解本题的关键.【解答】设tx21,则t1,且x2t1,yt1.t1,t2 2,当且仅当t,即t1时,等号成立.当x0时,函数取得最小值3.【探究提高】 (1)利用基本不等式求最值,关键是把握基本不等式成立的三个条件(正、定、等),在利用基本不等式求某些函数最值时,需注意函数的解析式或变形式能够符合基本不等式使用的前提条件和实际问题的要求.(2)本例中,若y,则tx222,),yt1的最小值不能用基本不等式求得,只能借助函数的单调性求解.【变式】(2010·山东卷)若对任意x>0,a恒成立,则a的取值范围是 .【解析】a对任意x>0恒成立,设ux3,只需a恒成立即可.x>0,u5(当且仅当x1时取等号).由u5知0<,a.本题以不等式恒成立为背景考查了基本不等式、二次不等式恒成立等问题.若将问题转化为求的最大值,可作如下变形：；若将问题转化为：ax2(3a1)xa0对任意x>0恒成立,则利用二次不等式恒成立解决.体现了转化与化归的数学思想方法.题型三含参不等式恒成立问题例3 设函数f(x)=ex-.(1) 证明:f(x)的导数f¢(x) 2;(2) 若对所有的x³0,都有f(x)³ax,求a的取值范围.解：（）的导数由于，故（当且仅当时，等号成立）（）令，则，（）若，当时，故在上为增函数，所以，时，即（）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数所以，时，即，与题设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是【探究提高】已知不等式恒成立求参数范围的问题,涉及函数、方程、不等式,综合性强,常利用以下结论解决:若f(x)>m对任意xD恒成立,则f(x)min>m；若f(x)<m对任意xD恒成立,则f(x)max<m.【变式】若不等式2x1>m(x21)对满足|m|2的所有实数都成立,求x的取值范围.【解析】不等式变为m(x21)(2x1)<0,即f(m)m(x21)(2x1)<0在m|2m2上恒成立,故解得<x<,即x的取值范围是.题型四线性规划问题例4 (2010·山东卷)设变量x,y满足约束条件则目标函数z3x4y的最大值和最小值分别为 .【解析】作出可行域如图阴影部分所示,由图可知z3x4y经过点A时z有最小值,经过点B时z有最大值.易求A(3,5),B(5,3).z最大3×54×33,z最小3×34×511.【探究提高】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围.(2)解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,利用数形结合找到目标函数的最优解.(3)对于应用问题,要准确地设出变量,确定可行域和目标函数.【变式】已知实数x,y满足如果目标函数zxy最小值的取值范围是2,1,则目标函数最大值的取值范围是 .【解析】 首先根据最小值的取值范围确定m的取值范围,再用m表示目标函数的最大值.(x,y)满足的区域如图,变换目标函数为yxz,当z最小时就是直线yxz在y轴上的截距最大时.当z的最小时为1时,直线yx2,此时点A的坐标是(3,5),此时m358.故m的取值范围是5,8.目标函数的最大值在点B(m1,1)取得,即zmaxm11m2,故目标函数最大值的取值范围是3,6.正确选项B.三.感悟高考1.解不等式的依据是不等式的性质,进行同解变形,解含参数不等式时,要对参数分类讨论,注意:(1)参数的范围,做到不重不漏,(2)分类的标准明确,(3)写清每一种情况的分段式结论和最终的结论.2.基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题.解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.如通过“代换”,“拆项”,“凑项”等技巧,改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件.利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件,三个条件缺一不可.3.注重函数与方程、等价转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用,比如线性规划问题的实质就是数形结合问题.四.备战高考1. (2010×襄樊市调研)已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值是 .42. 设函数f(x),则不等式f(x)>f(1)的解集是 .解析原不等式化为或,所以原不等式的解集为(3,1)(3,),3. 设集合Mx|<0,若2M,则实数a的取值范围为_.解析Mx|<0,2M,0或a×210.由0,得0,3a<或a4,由a×210知,a.综上,实数a的取值范围为3a或a4.4. 已知b>0,直线b2xy10与ax(b24)y2=0互相垂直,则ab的最小值为_.5. 若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则实数s的取值范围是 .【解析】 先作出表示的区域如图所示,再据条件yxs及原不等式组表示的平面区域为三角形,可知直线yxs应介于两虚线的两侧,故有0<s2或s4.6. (2010·福建卷)设不等式组所表示的平面区域是1,平面区域2与1关于直线3x4y90对称,对于1中的任意一点A与2中的任意一点B,|AB|的最小值等于 .【解析】由题意知,所求的|AB|的最小值,即为区域1中的点到直线3x4y90的距离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的平面区域,可看出点(1,1)到直线3x4y90的距离最小,故|AB|的最小值为2×4.7. (2010·台州市期末质评)已知实数满足则的取值范围是 .8. (2010·扬州中学期中)已知关于的一元二次不等式的解集为,则(其中)的最小值为 .解析:准确理解一元二次不等式解集所提供的信息,可知其对应二次方程的判别式=4-4ab=0,即ab=1.这样³6.故填6.9. (2010·杭绍金温衢七校联考)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本(万元)与年产量(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为,已知此生产线年产量最大为210吨。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)生产每吨产品的平均成本为：,由于,5分当且仅当时,即时等号成立。6分答：年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元；7分(2)设年利润为,则10分,12分由于在上为增函数,故当时,的最大值为1660。年产量为210吨时,可获得最大利润1660万元。14分10. 已知函数f(x)ax3x2cxd(a,c,dR)满足f(0)0,f(1)0,且f(x)0在R上恒成立.(1)求a,c,d的值；(2)若h(x)x2bx,解不等式f(x)h(x)<0；(3)是否存在实数m,使函数g(x)f(x)mx在区间m,m2上有最小值5？若存在,求出实数m的值；若不存在,请说明理由.解(1)f(0)0,d0,f(x)ax2xc.又f(1)0,ac.f(x)0在R上恒成立,即ax2xc0恒成立,ax2xa0恒成立,显然当a0时,上式不恒成立.a0,即即解得：a,c.(2)ac.f(x)x2x.f(x)h(x)<0,即x2xx2bx<0,即x2(b)x<0,即(xb)(x)<0,当b>时,解集为(,b),当b<时,解集为(b,),当b时,解集为.(3)ac,f(x)x2x,g(x)f(x)mxx2(m)x.该函数图象开口向上,且对称轴为x2m1.假设存在实数m使函数g(x)f(x)mxx2(m)x在区间m,m2上有最小值5.当m<1时,2m1<m,函数g(x)在区间m,m2上是递增的.g(m)5,即m2(m)m5.解得m3或m.>1,m舍去,故m3.当1m<1时,m2m1<m2,函数g(x)在区间m,2m1上是递减的,而在区间2m1,m2上是递增的,g(2m1)5.即(2m1)2(m)(2m1)5,解得m或m,均应舍去.当m1时,2m1m2,函数g(x)在区间m,m2上递减,g(m2)5,即(m2)2(m)(m2)5.解得m12或m12.其中m12应舍去,故m12.综上可得,当m=3或m=12时,函数g(x)f(x)mx在区间m,m2上有最小值5.