2022秋九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.3二次函数与一元二次方程1二次函数与一元二次方程间的关系授课课件新版沪科版.ppt

21.3 21.3 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程第第1 1课时课时 二次函数与一元二次二次函数与一元二次 方程间的关系方程间的关系1课堂讲解课堂讲解二次函数与一元二次方程之二次函数与一元二次方程之间间的关系的关系抛物抛物线线与与x轴轴的交点个数之的交点个数之间间的关系的关系2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系本节认识了一次函数与一元一次方程的联系本节我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系先来看下面二次函数与一元二次方程的联系先来看下面的问题的问题1.1.当抛物线当抛物线yax2 2bxc(a0)0)的的y值为值为0 0时，就得到一元时，就得到一元 二次方程二次方程ax2 2bxc0 0，抛物线与抛物线与x轴是否有公共点取轴是否有公共点取 决于一元二次方程决于一元二次方程ax2 2bxc0 0的根的情况的根的情况 (1)(1)当当b2 24 4ac0 0时，方程有两个不相等的实数根，抛物时，方程有两个不相等的实数根，抛物 线线与与x轴有轴有2 2个公共点；个公共点；(2)(2)当当b2 24 4ac0 0时，方程有两个相等的实数根，抛物线时，方程有两个相等的实数根，抛物线 与与x轴有轴有1 1个公共点；个公共点；1知识点二次函数与一元二次方程之间的关系二次函数与一元二次方程之间的关系知知1 1讲讲 (3)(3)当当b2 24 4ac0 0时，方程没有实数根，抛物线与时，方程没有实数根，抛物线与x轴没有轴没有 公共点反之亦成立公共点反之亦成立2 2.拓展：拓展：如果二次函数如果二次函数yax2 2bxc的图象与的图象与x轴有两个公轴有两个公 共点共点A(m，0)0)，B(n，0)0)，令，令 其中其中b2 24 4ac.此时此时A，B两点间的距离两点间的距离 我们把我们把 叫做抛物线叫做抛物线y ax2 2bxc在在x轴上的截距轴上的截距知知1 1讲讲 例例1 1 求抛物线求抛物线y3 3x2 28 8x4 4与与x轴的两个公共点的坐标轴的两个公共点的坐标导引：导引：要求抛物线要求抛物线y3 3x2 28 8x4 4与与x轴的公共点的坐标，需轴的公共点的坐标，需 求求y0 0时对应的时对应的x的值可令的值可令y0 0，根据，根据3 3x2 28 8x 4 40 0的根来确定抛物线与的根来确定抛物线与x轴的公共点的横坐标轴的公共点的横坐标 解解：令令y0 0，则，则3 3x2 28 8x4 40 0，解方程得，解方程得x1 1 ,x2 22.2.抛物线抛物线y3 3x2 28 8x4 4与与x轴的两个公共点的坐标为轴的两个公共点的坐标为 ，(2(2，0)0)知知1 1讲讲2 一元二次方程一元二次方程ax2bxc0的根就是二次函数的根就是二次函数y ax2bxc的的图图象与直象与直线线_交点的交点的_坐坐标标知知1 1练练1已知一个二次函数的已知一个二次函数的图图象象经过经过(0，0)，(1，11)，(1，9)三点，求三点，求这这个二次函数的表达式个二次函数的表达式知知1 1练练3 抛物抛物线线y3(x2)(x5)与与x轴轴的交点坐的交点坐标为标为 _一元二次方程一元二次方程3(x2)(x5)0的的 解解为为_4小小兰兰画了一个函数画了一个函数yx2axb的的图图象如象如图图，则则 关于关于x的方程的方程x2axb0的解是的解是()A无解无解 Bx1 Cx4 Dx1或或x4知知1 1练练2知识点知知2 2导导二次函数二次函数y=x2 2+x-2,-2,y=x2 2-6-6x+9,+9,y=x2 2x+1+1的图象如图所示的图象如图所示.(1)(1)每个图象与每个图象与x轴有几个交点？轴有几个交点？(2)(2)一元二次方程一元二次方程 x2 2+x-2=0,-2=0,x2 2-6-6x+9=0+9=0有几个根有几个根?验证一下一元二次方程验证一下一元二次方程x2 2x+1=0+1=0有根吗有根吗?(3)(3)二次函数二次函数y=ax2 2+bx+c的图象和的图象和x轴交点的坐标与一元轴交点的坐标与一元 二次方程二次方程ax2 2+bx+c=0=0的根有什么关系的根有什么关系?抛物线与抛物线与x轴的交点个数之间的关系轴的交点个数之间的关系知知2 2导导（1）2个，个，1个，个，0个个.（2）2个根，个根，2个相等的根，无个相等的根，无实实数根数根.（3）二次函数二次函数y=x2+x-2y=x2-6x+9y=x2-x+1与与x轴轴交点坐交点坐标标(-2,0),(1,0)(3,0)无交点无交点相相应应方程的根方程的根x1=-2,x2=1x1=x2=3无无实实根根解：解：知知2 2讲讲(1)根据二次函数的根据二次函数的图图象与象与x轴轴的公共点情况，可以判断一的公共点情况，可以判断一 元元二次方程的根的情况；反之，根据一元二次方程的二次方程的根的情况；反之，根据一元二次方程的 根的根的情况，可以判断二次函数的情况，可以判断二次函数的图图象与象与x轴轴的公共点的的公共点的 情况情况(2)拓展：拓展：一元二次方程的根的情况由根的判一元二次方程的根的情况由根的判别别式决定，而式决定，而 当二次函数的当二次函数的图图象与象与x轴轴有两个公共点有两个公共点时时，两公共点，两公共点间间 的距离的距离为为 ，并且两公共点关于直，并且两公共点关于直线线 对对称称例例2 2 若抛物线若抛物线yx2 2bxc与与x轴只轴只有一有一个公共点，且过点个公共点，且过点A(m，n)，B(m6 6，n)，则，则 n_ 导引：导引：抛物线抛物线yx2 2bxc与与x轴只有一个公共点，轴只有一个公共点，当当 时，时，y0 0，且，且b2 24 4c0 0，即，即b2 24 4c.又又抛物线过点抛物线过点A(m，n)，B(m6 6，n)，点，点A，B关于直关于直 线线 对称对称,将将A 点的坐标代入抛物线对应的函数表达式，得点的坐标代入抛物线对应的函数表达式，得 b2 24 4c，知知2 2讲讲9 9知知2 2练练1 下列抛物下列抛物线线中，与中，与x轴轴有两个交点的是有两个交点的是()Ay3x25x3 By4x212x9 Cyx22x3 Dy2x23x4知知2 2练练2 抛物抛物线线y3x2x4与坐与坐标轴标轴的交点的个数的交点的个数 是是()A3 B2 C1 D03 如如图图，已知，已知顶顶点点为为(3，6)的抛物的抛物 线线yax2bxc经过经过点点(1，4)，则则下列下列结论结论中中错误错误的是的是()Ab24ac Bax2bxc6 C若点若点(2，m)，(5，n)在抛物在抛物线线上，上，则则mn D关于关于x的一元二次方程的一元二次方程ax2bxc4的两根的两根为为 5和和1知知2 2练练例例3 已知二次函数已知二次函数y2x2(m1)xm1.(1)求求证证：不：不论论m为为何何值值，函数的，函数的图图象与象与x轴总轴总有公有公 共点，并指出当共点，并指出当m为为何何值时值时，只有一个公共点，只有一个公共点 (2)当当m为为何何值时值时，函数的，函数的图图象象经过经过原点？原点？(3)在在(2)的的图图象中，求出象中，求出y0时时x的取的取值值范范围围及及y 0时时x的取的取值值范范围围 导导引：引：要要说说明二次函数的明二次函数的图图象与象与x轴总轴总有公共点，只要有公共点，只要 说说明明b24ac0即可即可知知2 2讲讲(1)证证明：明：b24ac(m1)242(m1)m2 2m18m8m26m9(m3)2.显显然不然不论论m为为何何值值，总总有有b24ac(m3)20，且当且当m 3时时，b24ac0.故不故不论论m为为何何值值，抛物，抛物线线与与x轴总轴总有公共点，有公共点，且当且当m3时时，只有一个公共点只有一个公共点(2)解：解：函数的函数的图图象象经过经过原点原点(0，0)，0202(m1)0m1，m1.即当即当m1时时，函数的，函数的图图象象经过经过原点原点 (本本问问也可直接由也可直接由m10得出得出)知知2 2讲讲(3)解：解：由由(2)得得y2x22x，其，其图图象如象如图图所示所示 抛物抛物线线与与x轴轴的两个公共点的坐的两个公共点的坐标标分分别为别为 (0，0)，(1，0)，当当y0时时，0 x1；当当y0时时，x0或或x1.知知2 2讲讲总 结知知2 2讲讲 根据图象可直观地回答使得函数根据图象可直观地回答使得函数y的值大于、等于或小于零的值大于、等于或小于零时时x的取值的取值(范围范围)，具体如下表所述：，具体如下表所述：图象图象函数值函数值自变量的取值自变量的取值(范围范围)y0 0 xx1 1或或xx2 2 y0 0 xx1 1或或xx2 2y0 0 x1 1xx2 2 y0 0 x1 1xx2 2y0 0 xx1 1或或xx2 2y0 0 xx1 1或或xx2 2已知关于已知关于x的函数的函数y(k1)x22kxk2的的图图象与象与x轴轴有公共点有公共点(1)求求k的取的取值值范范围围(2)若若x1，x2是函数是函数图图象与象与x轴轴两个公共点的横坐两个公共点的横坐标标，且，且 满满足足(k1)x122kx2k24x1x2.求求k的的值值；当当kxk2时时，请结请结合函数合函数图图象确定象确定y的最大的最大值值 和最小和最小值值知知2 2练练1=b2-4ac0=00)的的图图象象ax2+bx+c=0(a0)的的实实根根方程无方程无实实数根数根零点零点无零无零点点