142勾股定理的综合应用.ppt

勾股定理的应用勾股定理的应用内江十四中内江十四中 阴辉阴辉1、请叙述出勾股定理的具体内容。、请叙述出勾股定理的具体内容。2、使用勾股定理的条件有哪些？、使用勾股定理的条件有哪些？如果直角三角形两直角边分别如果直角三角形两直角边分别为为a、b,斜边为斜边为c，那么，那么abc直角三角形两直角边的平方和等于斜直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。边的平方。直角三角形直角三角形 已知两边或两边的关系已知两边或两边的关系练习练习：1.1.在在ABC ABC 中，中，B B=90=90ABABc c，BCBCa a，ACACb b。若若a a=9=9，b b=15=15，则则c c=；若若a a=6=6，c c=8=8，则则b b=；已知已知a a:c c=3:4,=3:4,b b=25,=25,求求c c=。作图：作图：CBAabc12104三、勾股定理的应用三、勾股定理的应用（一）（一）直接运用勾股定理求边直接运用勾股定理求边3 3、若直角三角形的三边长分别为、若直角三角形的三边长分别为2 2、4 4、x x，则，则x=_x=_ 2.已知直角三角形已知直角三角形ABC中中,(1)若若AC=8,AB=10,则则 =_.(2)若若 =30,且且BC=5,则则AB=_(3)若若 =24,且且BC=6,则则AB边上的高边上的高为为_BAC24134.8 某楼房三楼失火，消防队员赶来救某楼房三楼失火，消防队员赶来救 火，了解到每层楼高火，了解到每层楼高3 3米，消防米，消防 队员取来队员取来6.56.5米长的云梯，为了安全起见梯子米长的云梯，为了安全起见梯子 的底部与墙基的距离是的底部与墙基的距离是2.52.5米。请问消防队员米。请问消防队员 能否进入三楼灭火？能否进入三楼灭火？思考思考思考思考墙与地面的位置关系是什么？墙与地面的位置关系是什么？地面到三层楼面的高为多少？地面到三层楼面的高为多少？BC、AC、AB之间存在什么关系？之间存在什么关系？分析分析分析分析解：依解：依题题意，如意，如图图，ACAC为为建筑物，建筑物，则则AC=2AC=23=6m3=6m，BC=2.5mBC=2.5m，ABAB是云梯是云梯的的长长，因，因为为2.52.52 2+6+62 2=42.25=6.5=42.25=6.52 2 。根据勾股定理，在根据勾股定理，在RtABCRtABC中，中，BCBC2 2+AC+AC2 2=AB=AB2 2，因此消防队员能进入三，因此消防队员能进入三楼灭火。楼灭火。ABCOBA古代一个笑话，说有一个人拿一根杆子进城，横着拿，古代一个笑话，说有一个人拿一根杆子进城，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题，相信同学们不会这样做。了问题，相信同学们不会这样做。ABCD1 m2 m一个门框的尺寸如右图所示，一块一个门框的尺寸如右图所示，一块长长3m3m，宽，宽2.2m2.2m的薄木板能否从门框的薄木板能否从门框内通过内通过?为什么为什么?解解:连结连结ACAC 在在RtRtABC中中 AC2mAC2m 将薄木板的将薄木板的宽宽斜着放就可以通斜着放就可以通过过此此门门框框练习练习：如：如图图，从，从电电杆离地面杆离地面5 5米米处处向地面拉一条向地面拉一条7 7米米长长 的的钢缆钢缆,求地面求地面钢缆钢缆固定点固定点A A到到电电杆底部杆底部B B的距离的距离 (结结果保留果保留1 1位小数位小数)c5米米7米米解解:在在RtABCABC中中答答:所求的距离所求的距离AB约为约为4.9米米【小结【小结】掌握和灵活运用勾股定理掌握和灵活运用勾股定理2 2、如图有两颗树，一棵高、如图有两颗树，一棵高8m8m，另一棵高，另一棵高2m2m，两，两树相距树相距8m8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？另一棵树的树梢，至少飞了多少米？8m2m8mA AB BC CD DE E如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量每格楼梯的高为每格楼梯的高为11.25cm11.25cm，宽，宽20cm20cm，你能求出通道的，你能求出通道的长度吗？长度吗？ACB在在RtABCRtABC中，中，ACB=90ACB=90 ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2(勾股定理勾股定理）解：解：AC=11.25AC=11.254=45cm,BC=204=45cm,BC=203=60cm3=60cm通道的长度为通道的长度为75cm.75cm.4560 今有池，方一丈，葭生其今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几适与岸齐，问水深、葭长各几何？何？（葭（葭（jiji），是芦苇的），是芦苇的意思。意思。）探究二探究二1010尺尺1尺 今有池，方一丈，葭生其今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几适与岸齐，问水深、葭长各几何？何？（葭（葭（jiji），是芦苇的），是芦苇的意思。意思。）探究二探究二1010尺尺1尺BADC解：由题意有：解：由题意有：BCBC5 5尺，尺，AB=AC+1AB=AC+1。即即 解得：解得：x x1212，得，得x+1x+11313。5 5尺尺设设ACACx x尺，则尺，则ABAB（x+1x+1）尺，）尺，由勾股定理有：由勾股定理有：在在RtABCRtABC中，中，ACB=90ACB=90，答：水深答：水深1212尺，芦苇长尺，芦苇长1313尺。尺。一个一个3m长的梯子长的梯子AB,斜斜靠在一竖直的墙靠在一竖直的墙AO上上,这时这时AO的距离为的距离为2.5m,如果梯子的顶端如果梯子的顶端A沿墙沿墙下滑下滑0.5m,那么梯子底那么梯子底端端B也外移也外移0.5m吗吗?A AC COOB BD D一个一个3m长的梯子长的梯子AB,斜斜靠在一竖直的墙靠在一竖直的墙AO上上,这时这时AO的距离为的距离为2.5m,如果如果梯子的顶端梯子的顶端A沿墙沿墙下滑下滑0.5m,那么梯子底那么梯子底端端B也外移也外移0.5m吗吗?A AC COOB BD D一个一个3m长的梯子长的梯子AB,斜斜靠在一竖直的墙靠在一竖直的墙AO上上,这时这时AO的距离为的距离为2.5m,如果如果梯子的顶端梯子的顶端A沿墙沿墙下滑下滑0.5m,那么那么梯子底梯子底端端B也外移也外移0.5m吗吗?A AC COOB BD D 从题目和图形中，从题目和图形中，你能得到哪些信息？你能得到哪些信息？A AC COOB BD D分析分析:DB=OD-OB,求求BD,可以可以 先求先求OB,OD.在在RtAOB中中,梯子的顶端沿墙下滑梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移梯子底端外移_.在在在在RtRtAOBAOB中，中，中，中，在在在在RtRtCODCOD中，中，中，中，ODODOB=2.236 OB=2.236 1.658 0.581.658 0.580.58 mzxy想一想想一想:图图1中的中的x等于多少等于多少?图图1中的中的y、z等于多少等于多少?1111图1ABCDEabcABCbac图图1 1中的中的a，b，c有怎样的关系有怎样的关系?a2+b2=c2在在ABC中，中，C=90 C=90在在ABC中，中，a2+b2=c2在在ABC中，中，B=90a2+c2=b2在在ABC中，中，a2+c2=b2 B=90想一想想一想:利用图利用图2你能画出长分别是你能画出长分别是 的线的线段吗段吗?1111ABCDEFG下图由下图由4 4个等腰直角三角组成，其中第个等腰直角三角组成，其中第1 1个个直角三角形腰长为直角三角形腰长为1cm1cm，求第，求第4 4个直角三角个直角三角形斜边长度。形斜边长度。例例2.如图，一圆柱体的底面周长为如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高，高 为为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点，是上底面的直径一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行，试求出爬行 的最短路程（精确到的最短路程（精确到0.01cm）解解:如右如右图图，在，在RtRt中，中，底面周底面周长长的一半的一半 cmcm，答：答：最短路程最短路程约为约为10.77cm10.77cmoAABD 最短路程问题最短路程问题C一只蚂蚁从点一只蚂蚁从点A A出发，沿着圆柱的侧面爬行到出发，沿着圆柱的侧面爬行到CDCD的的中点中点O O，试求出爬行的最短路程。（精确到，试求出爬行的最短路程。（精确到0.10.1）4 43 3O分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形把圆柱展开成平面图形.即即ABAB长为最短路线长为最短路线.(.(如图如图)练习练习:小良家有一底面周小良家有一底面周长为长为24m24m，高，高为为6m6m的的圆圆柱形罐，一天他柱形罐，一天他发现发现一只一只聪聪明的明的蟑蟑螂螂从距底面从距底面1m1m的的A A处处爬行到爬行到对对角角B B处处，你知道，你知道小良小良为为什么什么说说那是只那是只聪聪明的明的蟑蟑螂螂吗吗?(从爬行路从爬行路线线考考虑虑)AB 解：如图为圆柱的侧面展开图解：如图为圆柱的侧面展开图,AC=61=5，BC=24 =12，由勾股定理得由勾股定理得 AB=AC+BC=169,AB=13(m).BAC即最短路线即最短路线AB为为13m 如图，边长为如图，边长为1的正方体中，一只蚂的正方体中，一只蚂蚁从顶点蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到出发沿着正方体的外表面爬到顶点顶点B的最短距离是的最短距离是_ABABAB 如图所示，现在已测得长方体木块的如图所示，现在已测得长方体木块的长长2，宽，宽1，高，高3.一只蜘蛛潜伏在木块的一一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点蜘蛛相对的顶点B处。处。AB 蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面向蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从点上爬，它要从点A爬到点爬到点B处，有无数条路线，处，有无数条路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的路程会最短。你能帮蜘蛛找到最短上去，所走的路程会最短。你能帮蜘蛛找到最短路径吗？路径吗？ABGFCHABFCGDACDBGFHMABHFGM例例4 4如图，已知如图，已知CDCD6cm6cm，ADAD8cm8cm，ADC ADC9090o o，BCBC24cm24cm，ABAB26cm26cm。求阴影部分面积。求阴影部分面积。已知直角三角形的周长已知直角三角形的周长为为12，斜边长为，斜边长为5，求，求这个三角形的面积。这个三角形的面积。如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，中，ABABBCBC2 2，CDCD3 3，DADA1 1，且，且BB9090o o，求求DABDAB的度数。的度数。解：画ABC的高AD，ABC是等边三角形，在RtABC中，如图，等边三角形如图，等边三角形ABC的边长是的边长是6求求ABC的面积的面积例2：在等腰ABC中，ABAC13cm，BC=10cm,求ABC的面积及AC边上的高。ABCD131310H做一做：做一做：如图如图，在在ABC中，中，AB=13，AD=12，AC=15,CD=9求求ABC的面积的面积 已知直角三角形一条直已知直角三角形一条直角边长为角边长为8，另两边长，另两边长为连续奇数，求这个三为连续奇数，求这个三角形的周长。角形的周长。五、勾股定理的综合运用五、勾股定理的综合运用勾股定理与其逆定理综合的问题勾股定理与其逆定理综合的问题1.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，B=AB=BC=4,CD=6,AD=2，求四边，求四边形形ABCD的面积的面积。ABDC90例例3:一辆装满货物的卡车，其外形高一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，米，宽宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【分析分析】由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于位于厂门正中间时其高度是否小于CHCH如图所示点如图所示点D D在离厂门在离厂门中线中线0.80.8米处，且米处，且CDCD，与地面交于与地面交于H H在在RtOCDRtOCD中，由勾股定理得中，由勾股定理得C C0.60.62.32.3 2.92.9（米）（米）2.52.5（米）（米）因此高度上有因此高度上有0.4米的余量，所以卡米的余量，所以卡车车能通能通过过厂厂 解解:如图所示点如图所示点D在离厂门中线在离厂门中线0.8米处，米处，且且CD,则则OC=1米米,OD=0.8米米下图是学校的旗杆下图是学校的旗杆下图是学校的旗杆下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面旗杆上的绳子垂到了地面旗杆上的绳子垂到了地面旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段并多出了一段并多出了一段并多出了一段,旗杆有多高呢？旗杆有多高呢？旗杆有多高呢？旗杆有多高呢？你能想个办法吗你能想个办法吗你能想个办法吗你能想个办法吗?请你与同伴交流设计方案请你与同伴交流设计方案请你与同伴交流设计方案请你与同伴交流设计方案?小明发现旗杆上的绳子垂到小明发现旗杆上的绳子垂到小明发现旗杆上的绳子垂到小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多地面还多地面还多地面还多1 1 1 1米，当他们把绳子的下米，当他们把绳子的下米，当他们把绳子的下米，当他们把绳子的下端拉开端拉开端拉开端拉开5 5 5 5米后，发现下端刚好接触米后，发现下端刚好接触米后，发现下端刚好接触米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗杆的高度地面，你能帮他们把旗杆的高度地面，你能帮他们把旗杆的高度地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？和绳子的长度计算出来吗？和绳子的长度计算出来吗？和绳子的长度计算出来吗？ABCxx+1x+13.在一棵树的在一棵树的20米的米的B处有两只猴子处有两只猴子,其中一其中一只猴子爬下树走到离树只猴子爬下树走到离树40米的米的A处处,另一只爬另一只爬到树顶到树顶D后直接跳向后直接跳向A处处,且测得且测得AD为为50米米,求求BD的长的长.折叠问题折叠问题1 1、矩形纸片、矩形纸片D D中，中，D D4cm4cm，AB=10cmAB=10cm，按，按如图方式折叠，折痕是如图方式折叠，折痕是EFEF，求，求DEDE的长度？的长度？A AB BC CD DE EF F（B B）（C C）折叠图问题折叠图问题2 2、如图，在矩形、如图，在矩形D D中，沿直线中，沿直线AEAE把把ADEADE折折叠，使点叠，使点D D恰好落在边上一点恰好落在边上一点F F处，处，8cm8cm，CE=3cmCE=3cm，求，求BFBF的长度的长度校园里有一块三角形空地，现准备在这校园里有一块三角形空地，现准备在这校园里有一块三角形空地，现准备在这校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出它的三边长分别是它的三边长分别是它的三边长分别是它的三边长分别是13131313、14141414、15151515米，若这种草米，若这种草米，若这种草米，若这种草皮每平方米售价皮每平方米售价皮每平方米售价皮每平方米售价120120120120元，则购买这种草皮至元，则购买这种草皮至元，则购买这种草皮至元，则购买这种草皮至少需要支出多少？少需要支出多少？少需要支出多少？少需要支出多少？151314ABCDx14-x 如图，盒内长，宽，高分别是如图，盒内长，宽，高分别是3030米，米，2424米和米和1818米，米，盒内可放的棍子最长是多少盒内可放的棍子最长是多少米米？183024及时练及时练 如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，D点在点在CB延长线上，求证：延长线上，求证：AD2-AB2=BDCDABCD证明：证明：过过A作作AEBC于于EEAB=AC，BE=CE在在Rt ADE中，中，AD2=AE2+DE2在在Rt ABE中，中，AB2=AE2+BE2 AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)=DE2-BE2=(DE+BE)(DE-BE)=(DE+CE)(DE-BE)=BDCD及时练及时练