江苏省南通中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)2844.pdf

江苏省南通中学 2019-2020 学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共 12 小题）1.设xR，则“0 x5”是“|x-1|1”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知等差数列an中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是（）A.64 B.31 C.30 D.15 3.己知关于x的不等式x2-ax+2a0 在R上恒成立，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.4.椭圆=1 的离心率为，则k的值为（）A.B.21 C.或 21 D.或 21 5.已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为 4，则a等于（）A.B.5 C.7 D.6.不等式ax2+bx+20 的解集是（-，），则a+b的值是（）A.10 B.C.14 D.7.已知数列an，如果a1，a2-a1，a3-a2，an-an-1，是首项为 1，公比为的等比数列，则an=（）A.B.C.D.8.已知等差数列an的公差d0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值为（）A.B.C.D.9.已知正项等比数列的公比为 3,若,则的最小值等于()A.1 B.C.D.10.己知数列an的通项公式是设数列an的前n项和为Sn，则使Sn-4 成立的最小自然数n的值是（）A.13 B.14 C.15 D.16 11.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，abc0）如图，设点 F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若F0F1F2是边长为 1 的等边三角形，则a，b的值分别为（）A.B.C.5,3 D.5,4 12.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，则C的方程为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共 4 小题）13.记Sn为等比数列an的前n项和.若，则S4=_ 14.己知命题p：m-1，1，a2-5a-3m+2，且p是假命题，则实数a的取值范围是_ 15.规定记号“”表示一种运算，定义ab=+a+b（a，b为非负数），若 1k23，则实数k的取值范围是_ 16.设F1，F2为椭圆C：的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_ 三、解答题（本大题共 6 小题）17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，焦距是 4，且经过点M（3，2）；（2）c：a=5：13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为 26 18.（1）设函数f（x）=mx2-mx+m-6，若对于m-2，2，f（x）0 恒成立，求实数x的取值范围；（2）关于x的方程 8x2-2（m-1）x+m-6=0 的两个根，一个在区间（0，1）内，另一个在区间（1，2），求实数m的取值范围 19.设an是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列（）求an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值 20.某单位有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（nN*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为 10（a-）万元（a0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%（1）若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？21.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P（1，）为椭圆上一点（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过点C（0，1）且斜率大于 1 的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1=2k2，求直线l斜率的值 22.各项为正的数列an满足，（1）当=an+1时，求证：数列an是等比数列，并求其公比；（2）当=2 时，令，记数列bn的前n项和为Sn，数列bn的前n项之积为Tn，求证：对任意正整数n，2n+1Tn+Sn为定值 答案和解析 1.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题 解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案【解答】解：|x-1|1，0 x2，0 x5 推不出 0 x2，0 x20 x5，0 x5 是 0 x2 的必要不充分条件，即 0 x5 是|x-1|1 的必要不充分条件.故选B 2.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质，属于基础题【解答】解：因为an是等差数列，所以a7+a9=a4+a12，所以 故选D 3.【答案】A 【解析】解：不等式x2-ax+2a0 在R上恒成立，=a2-8a=a（a-8）0，即a（0，8），故选：A 利用判别式法判断即可 考查二次函数恒成立问题，基础题 4.【答案】C 【解析】解：若a2=9，b2=4+k，则c=，由=，即=得k=-；若a2=4+k，b2=9，则c=，由=，即=，解得k=21 故选：C 依题意，需对椭圆的焦点在x轴与在y轴分类讨论，从而可求得k的值 本题考查椭圆的简单性质，对椭圆的焦点在x轴，y轴分类讨论是关键，考查推理运算能力，属于中档题 5.【答案】D 【解析】解：根据题意，双曲线+=1，焦点在y轴上，则有，解可得a2，又由其焦距为 4，即c=2，则有c2=（2-a）+（3-a）=4，解可得a=；故选：D 根据题意，由双曲线焦点的位置可得，解可得a的范围，又由其焦距为 4，即c=2，由双曲线的几何性质可得c2=（2-a）+（3-a）=4，解可得a的值 本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点在y轴上，先求出a的范围 6.【答案】B 【解析】分析：利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出 熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键 解：不等式ax2+bx+20 的解集是（-，），-，是方程ax2+bx+2=0 的两个实数根，且a0，-=-+，=-，解得a=-12，b=-2，a+b=-14 故选：B 7.【答案】A 【解析】解：由题意an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1）=故选：A 因为数列a1，（a2-a1），（a3-a2），（an-an-1），此数列是首项为 1，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式可得数列an的通项 考查学生对等比数列性质的掌握能力，属于基础题 8.【答案】C 【解析】解：等差数列an中，a1=a1，a3=a1+2d，a9=a1+8d，因为a1、a3、a9恰好是某等比数列，所以有a32=a1a9，即（a1+2d）2=a1（a1+8d），解得d=a1，所以该等差数列的通项为an=nd 则的值为=故选：C 因为an是等差数列，故a1、a3、a9都可用d表达，又因为a1、a3、a9恰好是等比数列，所以有a32=a1a9，即可求出d，从而可求出该等比数列的公比，最后即可求比值 本题考查等差数列的通项公式、等比数列的定义和公比，属基础知识、基本运算的考查 9.【答案】C 【解析】【分析】本题考查等比数列的应用，函数的最值的求法，考查计算能力,属于较易题.利用等比数列的性质推出m、n的关系，然后利用基本不等式求最小值即可【解答】解：正项等比数列an的公比为 3，若=a32，可得m+n=6,m,n=,当且仅当m=2n,即m=4,n=2 时，的最小值等于 故选：C 10.【答案】D 【解析】解：an=log2=log2n-log2（n+1），可得前n项和为Sn=a1+a2+an=log21-log22+log22-log23+log2n-log2（n+1）=log21-log2（n+1）=-log2（n+1）-4，则n+116，即n15，使Sn-4 成立的最小自然数n的值是 16 故选：D 求得an=log2=log2n-log2（n+1），再由数列的裂项相消求和，可得前n项和Sn，再由对数不等式的解法可得n的最小值 本题考查数列的裂项相消求和，对数不等式的解法，考查运算能力，属于基础题 11.【答案】A 【解析】解：，b=1，得，即，b=1 故选：A 由题意可知求得c，再由求得b，最后由a2=b2+c2求得a 本题主要考查椭圆的性质属基础题 12.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了椭圆的性质，属中档题根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=，b=，可得椭圆的方程 【解答】解：|AF2|=2|BF2|，|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，|BF1|=3|BF2|，又|BF1|+|BF2|=2a，|BF2|=，|AF2|=a，|BF1|=a，则|AF2|=|=a，所以A为椭圆短轴端点，在RtAF2O中，cosAF2O=，在BF1F2中，由余弦定理可得 cosBF2F1=，根据 cosAF2O+cosBF2F1=0，可得+=0，解得a2=3，a=，b2=a2-c2=3-1=2 所以椭圆C的方程为：+=1 故选B 13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题，利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解.【解答】解：数列an为等比数列，a1=1，S3=，q1，=，整理可得，解得q=-，故S4=故答案为.14.【答案】（-，-16，+）【解析】解：命题p：m-1，1，a2-5a-3m+2，且p是假命题，则 m-1，1，a2-5a-3m+2 恒成立，a2-5a-33，a-1 或a6，故答案为：（-，-16，+）命题p是假命题，利用分离m求解 本题考查复合命题真假的关系，参数取值范围，考查转化、逻辑推理、计算能力 15.【答案】（-1，1）【解析】解：由ab=+a+b，1k23，化简可得，|k|+1+|k2|2，（|k|-1）（|k|+2）0，|k|1，-1k1，原不等式的解集为（-1，1）故答案为：（-1，1）由已知新定义可转化不等式得，化简后解二次不等式及绝对值不等式即可求解 本题以新定义为载体，主要考查了二次不等式与绝对值不等式的求解，属于基础试题 16.【答案】（3，）【解析】【分析】本题主要考查椭圆的方程和性质，考查分类讨论思想方法，考查方程思想和运算能力，属于中档题设M（m，n），m，n0，求得椭圆的a，b，c，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|MF2|，MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|=2c或|MF2|=2c分类讨论即可得出M的坐标.【解答】解：设M（m，n），(m，n0)，椭圆C：+=1 的a=6，b=2，c=4，,由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|MF2|，MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|=2c或|MF2|=2c，所以 解得 所以M（3，）故答案为（3，）17.【答案】解：（1）由题意可设椭圆的方程为，焦距是 4，且经过点M（3，2）；可得，解得a=4，c=2，b2=12 椭圆的标准方程是：（2）由题意可得，解得 故所求的椭圆方程为：或 【解析】（1）由题意可设椭圆的方程，利用已知条件列出方程，求出a，b，即可解出椭圆方程（2）由题意可得a，b的方程组，求解即可 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键，是中档题 18.【答案】解：（1）对于m-2，2，f（x）0 恒成立，即mx2-mx+m-60，可得m（x2-x+1）-60，由于x2-x+10 恒成立 令y=m（x2-x+1）-6，看成关于m与y的一次函数，且在m-2，2上单调递增，m=2 时取得最大值为 2（x2-x+1）-6，2（x2-x+1）-60，解得-1x2，故得x的取值范围（-1，2）；（2）记f（x）=8x2-2（m-1）x+m-6，方程的一根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，有f（0）0，f（1）0，f（2）0，即；解得：4m6；实数m的取值范围是（4，6）【解析】（1）主元换位，即可求解；（2）构造函数，根据方程的一根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，有f（0）0，f（1）0，f（2）0，从而求实数m的取值范围 本题考查了变元的思想，通过变元，转化为m的函数，利用函数的单调性求函数最大值；在把恒成立问题转化为求函数的最值问题的过程中，体现了转化的思想方程；还考查了对根的讨论，函数与方程思想，以及学生的计算能力，正确建立不等式是关键；本题属于中档题 19.【答案】解：（）an是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列 （a3+8）2=（a2+10）（a4+6），（-2+2d）2=d（-4+3d），解得d=2，an=a1+（n-1）d=-10+2n-2=2n-12（）由a1=-10，d=2，得：Sn=-10n+=n2-11n=（n-）2-，n=5 或n=6 时，Sn取最小值-30 【解析】本题考查数列的通项公式、前n项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题（）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出d=2，由此能求出an的通项公式；（）由a1=-10，d=2，得Sn=-10n+=n2-11n=（n-）2-，由此能求出Sn的最小值 20.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）101000，即x2-500 x0，又x0，所以 0 x500 即最多调整 500 名员工从事第三产业（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则（1+0.2x%）所以，所以ax，即a恒成立，因为，当且仅当，即x=500 时等号成立 所以a5，又a0，所以 0a5，即a的取值范围为（0，5 【解析】（1）根据题意可列出 10（1000-x）（1+0.2x%）101000，进而解不等式求得x的范围，确定问题的答案（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a的范围 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力 21.【答案】解：（1）根据题意，椭圆的离心率为，即e=，则a=2c 又a2=b2+c2，椭圆的标准方程为：又点P（1，）为椭圆上一点，解得：c=1 椭圆的标准方程为：（2）由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y=kx+1 设M（x1，y1），N（x2，y2）联列方程组：，消去y可得：（3+4k2）x2+8kx-8=0 由韦达定理可知：，且k1=2k2，即 又M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上，将代入可得：，即 3x1x2+10（x1+x2）+12=0，即 12k2-20k+3=0 解得：或 又由k1，则 【解析】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程，属于综合题（1）根据题意，由椭圆离心率可得a=2c，进而可得，则椭圆的标准方程为，将P的坐标代入计算可得c的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线l的方程为y=kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），将直线的方程与椭圆联立，可得（3+4k2）x2+8kx-8=0，由根与系数的关系分析，：，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得，即 12k2-20k+3=0，解可得k的值，即可得答案 22.【答案】证明：（1）当=an+1时，an+1=+an，an0，=+1，令=q0，则q=+1，化为q2-q-1=0，解得q=数列an是等比数列，其公比q=（2）当=2 时，an+1=+an，2an+1=an（an+2），=Tn=b1b2b3bn=又bn=-，Sn=b1+b2+b3+bn=-+-=-，2n+1Tn+Sn=+-=2 对任意正整数n，2n+1Tn+Sn为定值 2 【解析】（1）递推式两边同除an，得出关于的方程，求出=，得出结论；（2）化简整理可得bn=，求出Sn，Tn即可得出结论 本题考查了数列递推关系、等比数列的判断，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题