2021年江苏省连云港市中考数学真题解析版14001.pdf

2021 年江苏省连云港市中考数学试卷 一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）13 的相反数是（）A3 B C3 D 2下列运算正确的是（）A3a+2b5ab B5a22b23 C7a+a7a2 D（x1）2x2+12x 3 2021年 5 月 18日上午，江苏省人民政府召开新闻发布会，公布了全省最新人口数据（）A0.46107 B4.6107 C4.6106 D46105 4正五边形的内角和是（）A360 B540 C720 D900 5如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在点 D1、C1的位置，ED1的延长线交 BC 于点 G，若EFG64，则EGB 等于（）A128 B130 C132 D136 6关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征 甲：函数图象经过点（1，1）；乙：函数图象经过第四象限；丙：当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 则这个函数表达式可能是（）Ayx By Cyx2 Dy 7如图，ABC 中，BDAB，ADAC，ABC150，则DBC 的面积是（）A B C D 8如图，正方形 ABCD 内接于O，线段 MN 在对角线 BD 上运动，MN1，则AMN 周长的最小值是（）A3 B4 C5 D6 二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9一组数据 2，1，3，1，2，4 的中位数是 10计算：11分解因式：9x2+6x+1 12若关于 x 的方程 x23x+k0 有两个相等的实数根，则 k 13如图，OA、OB 是O 的半径，点 C 在O 上，OBC40，则OAC 14如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，OEAD，AC8，BD6 15某快餐店销售 A、B 两种快餐，每份利润分别为 12 元、8 元，每天卖出份数分别为 40份、80 份该店为了增加利润，同时提高每份 B 种快餐的利润售卖时发现，在一定范围内，每份 B 种快餐利润每提高 1 元就少卖 2 份如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元 16如图，BE 是ABC 的中线，点 F 在 BE 上，则 三、解答题（本大题共 11 小题，共 102 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（6 分）计算：+|6|22 18（6 分）解不等式组：19（6 分）解方程：1 20（8 分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗 某食品厂为了解市民对去年销量较好的 A、B、C、D 四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成两幅尚不完整的统计图 根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）扇形统计图中，D 种粽子所在扇形的圆心角是 ；（3）这个小区有 2500 人，请你估计爱吃 B 种粽子的人数为 21（10 分）为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙 2 名女生和丙、丁 2名男生中任选 2 人代表学校参加比赛（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取 1 人，则女生乙被选中的概率是 ；（2）求所选代表恰好为 1 名女生和 1 名男生的概率 22（10 分）如图，点 C 是 BE 的中点，四边形 ABCD 是平行四边形（1）求证：四边形 ACED 是平行四边形；（2）如果 ABAE，求证：四边形 ACED 是矩形 23（10 分）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液已知 2 瓶 A 型消毒液和 3 瓶 B型消毒液共需 41 元，5 瓶 A 型消毒液和 2 瓶 B 型消毒液共需 53 元（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共 90 瓶，且 B 型消毒液的数量不少于 A 型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案 24（10 分）如图，RtABC 中，ABC90，CB 为半径作C，D 为C 上一点，ABAD，AC 平分BAD（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长 AD、BC 相交于点 E，若 SEDC2SABC，求 tanBAC 的值 25（10 分）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿 AB 摆成如图 1 所示已知 AB4.8m，鱼竿尾端 A 离岸边 0.4m，即 DH1.2m（1）如图 1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线 BC 与海面 HC 的夹角BCH37，鱼竿 AB 与地面 AD 的夹角BAD22求点 O 到岸边 DH 的距离；（2）如图 2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角BAD53，鱼线 BO5.46m，点 O恰好位于海面求点 O 到岸边 DH 的距离（参考数据：sin37cos53，cos37sin53，tan37，sin22，cos22，tan22）26（12 分）如图，抛物线 ymx2+（m2+3）x（6m+9）与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C（3，0）（1）求 m 的值和直线 BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若 SPBCSABC，请直接写出点 P 的坐标；（3）Q 为抛物线上一点，若ACQ45，求点 Q 的坐标 27（14 分）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动（1）ABC 是边长为 3 的等边三角形，E 是边 AC 上的一点，且 AE1，如图 1求 CF的长；（2）ABC 是边长为 3 的等边三角形，E 是边 AC 上的一个动点，小亮以 BE 为边作等边三角形 BEF，求点 F 所经过的路径长；（3）ABC 是边长为 3 的等边三角形，M 是高 CD 上的一个动点，小亮以 BM 为边作等边三角形BMN，求点N所经过的路径长；（4）正方形 ABCD 的边长为 3，E 是边 CB 上的一个动点，在点 E 从点 C 到点 B 的运动过程中，其中点 F、G 都在直线 AE 上，如图 4 当点 E 到达点 B 时 ，点 G 所经过的路径长为 2021 年江苏省连云港市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）13 的相反数是（）A3 B C3 D【分析】根据相反数的概念解答即可【解答】解：互为相反数相加等于 0，3 的相反数是 2 故选：A 2下列运算正确的是（）A3a+2b5ab B5a22b23 C7a+a7a2 D（x1）2x2+12x【分析】由合并同类项法则及完全平方公式依次判断每个选项即可【解答】解：A.3a 和 2b 不是同类项，不能合并，故选项 A 不符合题意；B.8a2和 2b6不是同类项，不能合并，故选项 B 不符合题意；C.7a+a8a，C 错误；D（x2）2x25x+1，D 正确 故选：D 3 2021 年 5 月 18日上午，江苏省人民政府召开新闻发布会，公布了全省最新人口数据（）A0.46107 B4.6107 C4.6106 D46105【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数当原数绝对值10 时，n 是正数【解答】解：46000004.6104 故选：C 4正五边形的内角和是（）A360 B540 C720 D900【分析】根据多边形内角和为（n2）180，然后将 n5 代入计算即可【解答】解：正五边形的内角和是：（52）1806180540，故选：B 5如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在点 D1、C1的位置，ED1的延长线交 BC 于点 G，若EFG64，则EGB 等于（）A128 B130 C132 D136【分析】在矩形 ABCD 中，ADBC，则DEFEFG64，EGBDEG，又由折叠可知，GEFDEF，可求出DEG 的度数，进而得到EGB 的度数【解答】解：如图，在矩形 ABCD 中，ADBC，DEFEFG64，EGBDEG，由折叠可知GEFDEF64，DEG128，EGBDEG128，故选：A 6关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征 甲：函数图象经过点（1，1）；乙：函数图象经过第四象限；丙：当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 则这个函数表达式可能是（）Ayx By Cyx2 Dy【分析】结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可【解答】解：把点（1，1）分别代入四个选项中的函数表达式，选项 B 不符合题意；又函数过第四象限，而 yx7只经过第一、二象限；对于函数 yx，当 x0 时，与丙给出的特征不符合 故选：D 7如图，ABC 中，BDAB，ADAC，ABC150，则DBC 的面积是（）A B C D【分析】过点 C 作 BD 的垂线，交 BD 的延长线于点 E，可得ABDCED，可得，由 ADAC，AB2，可求出 CE 的长，又ABC150，ABD90，则CBD60，解直角BCE，可分别求出 BE 和 BD 的长，进而可求出BCD 的面积 【解答】解：如图，过点 C 作 BD 的垂线，则E90，BDAB，CEBD，ABCE，ABD90，ABDCED，ADAC，则 CE，ABC150，ABD90，CBE60，BECE，BDBE，SBCDBDCE 故选：A 8如图，正方形 ABCD 内接于O，线段 MN 在对角线 BD 上运动，MN1，则AMN 周长的最小值是（）A3 B4 C5 D6【分析】由正方形的性质，知点 C 是点 A 关于 BD 的对称点，过点 C 作 CABD，且使 CA1，连接 AA交 BD 于点 N，取 NM1，连接 AM、CM，则点 M、N 为所求点，进而求解【解答】解：O 的面积为 2，则圆的半径为AC，由正方形的性质，知点 C 是点 A 关于 BD 的对称点，过点 C 作 CABD，且使 CA1，连接 AA交 BD 于点 N，取 NM1、CM、N 为所求点，理由：ACMN，且 ACMN，则 ANCMAM，故AMN 的周长AM+AN+MNAA+6 为最小，则 AA2，则AMN 的周长的最小值为 3+18，故选：B 二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9一组数据 2，1，3，1，2，4 的中位数是 2 【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列：1，1，8，2，3，7，处于中间位置的两个数是 2，2，这组数据的中位数是（7+2）28 故答案为：2 10计算：5 【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可【解答】解：原式5 故答案为：5 11分解因式：9x2+6x+1（3x+1）2 【分析】原式利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式（3x+1）8，故答案为：（3x+1）6 12若关于 x 的方程 x23x+k0 有两个相等的实数根，则 k 【分析】根据根的判别式0，即可得出关于 k 的一元一次方程，解之即可得出 k 值【解答】解：关于 x 的方程 x23x+k8 有两个相等的实数根，（3）221k0，解得：k 故答案为：13如图，OA、OB 是O 的半径，点 C 在O 上，OBC40，则OAC 25 【分析】连接 OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到BOC80，求出AOC，根据等腰三角形的性质计算【解答】解：连接 OC，OCOB，OCBOBC40，BOC180402100，AOCBOC+AOB100+30130，OCOA，OACOCA（180AOB），故答案为：25 14如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，OEAD，AC8，BD6 【分析】根据菱形的性质和勾股定理，可以求得 AD 的长，然后根据等面积法即可求得OE 的长【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，ACBD，AOCO，AC8，BD6，AO4，DO3，AD5，又OEAD，解得 OE，故答案为：15某快餐店销售 A、B 两种快餐，每份利润分别为 12 元、8 元，每天卖出份数分别为 40份、80 份该店为了增加利润，同时提高每份 B 种快餐的利润售卖时发现，在一定范围内，每份 B 种快餐利润每提高 1 元就少卖 2 份如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 1264 元【分析】设每份 A 种快餐降价 a 元，则每天卖出（40+2a）份，每份 B 种快餐提高 b 元，则每天卖出（802b）份，由于这两种快餐每天销售总份数不变，可得出等式，求得 ab，用 a 表达出 W，结合二次函数的性质得到结论【解答】解：设每份 A 种快餐降价 a 元，则每天卖出（40+2a）份，则每天卖出（802b）份，由题意可得，40+5a+802b40+80，解 ab，总利润 W（12a）（40+2a）+（7+a）（802a）4a2+48a+1120 4（a6）6+1264，40，当 a2 时，W 取得最大值 1264，即两种快餐一天的总利润最多为 1264 元 故答案为：1264 16如图，BE 是ABC 的中线，点 F 在 BE 上，则 【分析】过点 E 作 EGDC 交 AD 于 G，可得AGEADC，所以，得到DC2GE；再根据GFEDFB，得，所以，即【解答】解：如图，BE 是ABC 的中线，点 E 是 AC 的中点，过点 E 作 EGDC 交 AD 于 G，AGEADC，AECC，AGEADC，DC2GE，BF7FE，GEBD，GEFFBD，EGFBDF，GFEDFB，故答案为：三、解答题（本大题共 11 小题，共 102 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（6 分）计算：+|6|22【分析】根据立方根的定义，绝对值的代数意义，有理数的乘方计算即可【解答】解：原式2+65 4 18（6 分）解不等式组：【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式 3x1x+8，得：x1，解不等式 x+46x2，得：x2，不等式组的解集为 x5 19（6 分）解方程：1【分析】观察可得方程最简公分母为：（x+1）（x1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x1），得（x+5）24（x+8）（x1），整理得 2x20，解得 x1 检验：当 x8 时，（x+1）（x1）8，所以 x1 是增根，应舍去 原方程无解 20（8 分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗 某食品厂为了解市民对去年销量较好的 A、B、C、D 四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成两幅尚不完整的统计图 根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）扇形统计图中，D 种粽子所在扇形的圆心角是 108；（3）这个小区有 2500 人，请你估计爱吃 B 种粽子的人数为 500 【分析】（1）先计算出抽样调查的总人数，用总人数减去喜欢 A，C，D 种粽子的人数积的可到喜欢 B 种粽子的人数；（2）先求出 D 种粽子所占的百分比，然后 360百分比即可求出 D 种粽子所在扇形的圆心角；（3）根据样本估计总体即可【解答】解：（1）抽样调查的总人数：24040%600（人），喜欢 B 种粽子的人数为：60024060180120（人），补全条形统计图，如图所示；（2）100%30%，36030%108，故答案为：108；（3）140%10%30%20%，250020%500（人），故答案为：500 21（10 分）为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙 2 名女生和丙、丁 2名男生中任选 2 人代表学校参加比赛（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取 1 人，则女生乙被选中的概率是 ；（2）求所选代表恰好为 1 名女生和 1 名男生的概率【分析】（1）由一共有 3 种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有 1 种，即可求得答案；（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率【解答】解：（1）已确定甲参加比赛，再从其余 3 名同学中随机选取 1 名有 8 种结果，恰好选中乙的概率为：故答案为：（2）画树状图如下图：共有 12 种等可能的结果数，其中恰好有 1 名女生和 6 名男生的结果数为 8，P（1 女 5 男）所选代表恰好为 1 名女生和 1 名男生的概率是 22（10 分）如图，点 C 是 BE 的中点，四边形 ABCD 是平行四边形（1）求证：四边形 ACED 是平行四边形；（2）如果 ABAE，求证：四边形 ACED 是矩形 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ADBC，且 ADBC，根据点 C 是 BE 的中点，得到 BCCE，等量代换得 ADCE，又因为 ADCE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明【解答】解：（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，且 ADBC 点 C 是 BE 的中点，BCCE，ADCE，ADCE，四边形 ACED 是平行四边形；（2）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC，ABAE，DCAE，四边形 ACED 是平行四边形，四边形 ACED 是矩形 23（10 分）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液已知 2 瓶 A 型消毒液和 3 瓶 B型消毒液共需 41 元，5 瓶 A 型消毒液和 2 瓶 B 型消毒液共需 53 元（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共 90 瓶，且 B 型消毒液的数量不少于 A 型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案【分析】（1）根据 2 瓶 A 型消毒液和 3 瓶 B 型消毒液共需 41 元，5 瓶 A 型消毒液和 2 瓶B 型消毒液共需 53 元，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可求出这两种消毒液的单价各是多少元；（2）根据题意，可以写出费用和购买 A 型消毒液数量的函数关系，然后根据 B 型消毒液的数量不少于 A 型消毒液数量的，可以得到 A 型消毒液数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得最省钱的购买方案，计算出最少费用【解答】解：（1）设 A 型消毒液的单价是 x 元，B 型消毒液的单价是 y 元，解得，答：A 型消毒液的单价是 7 元，B 型消毒液的单价是 9 元；（2）设购进 A 型消毒液 a 瓶，则购进 B 型消毒液（90a）瓶，依题意可得：w4a+9（90a）2a+810，w 随 a 的增大而减小，B 型消毒液的数量不少于 A 型消毒液数量的，90aa，解得 a67，当 x67 时，w 取得最小值，90a23，答：最省钱的购买方案是购进 A 型消毒液 67 瓶，购进 B 型消毒液 23 瓶 24（10 分）如图，RtABC 中，ABC90，CB 为半径作C，D 为C 上一点，ABAD，AC 平分BAD（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长 AD、BC 相交于点 E，若 SEDC2SABC，求 tanBAC 的值 【分析】（1）根据 SAS 证明BACDAC，所以ADCABC90，进而 CDAD，所以 AD 是C 的切线；（2）易证EDCEBA，因为 SEDC2SABC，且BACDAC，所以 SEDC：SEBA1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得：DC：BA1：，根据正切的定义即可求出 tanBAC 的值【解答】解：（1）证明：AC 平分BAD，BACDAC 又ABAD，ACAC，BACDAC（SAS），ADCABC90，CDAD，即 AD 是C 的切线；（2）由（1）可知，EDCABC90，又EE，EDCEBA SEDC2SABC，且BACDAC，SEDC：SEBA1：3，DC：BA1：DCCB，CB：BA3：.tanBAC 25（10 分）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿 AB 摆成如图 1 所示已知 AB4.8m，鱼竿尾端 A 离岸边 0.4m，即 DH1.2m（1）如图 1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线 BC 与海面 HC 的夹角BCH37，鱼竿 AB 与地面 AD 的夹角BAD22求点 O 到岸边 DH 的距离；（2）如图 2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角BAD53，鱼线 BO5.46m，点 O恰好位于海面求点 O 到岸边 DH 的距离（参考数据：sin37cos53，cos37sin53，tan37，sin22，cos22，tan22）【分析】（1）过点 B 作 BFCH，垂足为 F，延长 AD 交 BF 于 E，先根据三角函数的定义求出 AE，继而得出 DE，再根据三角函数的定义求出 BE，继而得出 BF，根据三角函数的定义得出 CF，从而得出 CH 的长度；（2）过点 B 作 BNOH，垂足为 N，延长 AD 交 BN 于点 M，垂足为 M，先根据三角函数的定义求出 AM，继而得出 DM，再根据三角函数的定义求出 BM，继而得出 BN，利用勾股定理求出 ON，从而得出 OH 的长【解答】解：（1）过点 B 作 BFCH，垂足为 F，则 AEBF，由 cosBAE，cos22，即 AE4.2m，DEAEAD4.58.44.8（m），由 sinBAE，即 BE1.8m，BFBE+EF5.8+1.83（m），又，即 CF3m，CHCF+HFCF+DE4+4.38.1（m），即 C 到岸边的距离为 8.1m；（2）过点 B 作 BNOH，垂足为 N，垂足为 M，由 cosBAM，即 AM2.88m，DMAMAD6.880.47.48（m），由 sinBAM，即 BM3.84m，BNBM+MN3.84+2.25.04（m），（m），OHON+HNON+DM4.58，即点 O 到岸边的距离为 4.58m 26（12 分）如图，抛物线 ymx2+（m2+3）x（6m+9）与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C（3，0）（1）求 m 的值和直线 BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若 SPBCSABC，请直接写出点 P 的坐标；（3）Q 为抛物线上一点，若ACQ45，求点 Q 的坐标 【分析】（1）把点 B 坐标直接代入抛物线的表达式，可求 m 的值，进而求出抛物线的表达式，可求出点 C 的坐标，设直线 BC 的表达式，把点 B 和点 C 的坐标代入函数表达式即可；（2）过点 A 作直线 BC 的平行线 AP1，联立直线 AP1与抛物线表达式可求出 P1的坐标；设出直线 AP1与 y 轴的交点为 G，将直线 BC 向下平移，平移的距离为 GC 的长度，可得到直线 P3P4，联立直线表达式与抛物线表达式，可求出点 P 的坐标；（3）取点 Q 使ACQ45，作直线 CQ，过点 A 作 ADCQ 于点 D，过点 D 作 DFx 轴于点 F，过点 C 作 CEDF 于点 E，可得CDEDAF，求出点 D 的坐标，联立求出点 Q 的坐标【解答】解：（1）将 B（3，0）代入 ymx6+（m2+3）x（6m+9），化简得，m2+m7，则 m0（舍）或 m1，m3，yx2+4x8 C（0，3），设直线 BC 的函数表达式为 ykx+b，将代入 B（6，0），3），解得，直线 BC 的函数表达式为 yx3（2）如图，过点 A 作 AP3BC，设直线 AP1交 y 轴于点 G，将直线 BC 向下平移 GC 个单位3P3 由（1）得直线 BC 的表达式为 yx3，A（1 直线 AG 的表达式为 yx6，联立，解得，或，P8（2，1），由直线 AG 的表达式可得 G（3，0），GC2，CH2，直线 P3P4的表达式为：yx5，联立，解得，或，P2（，），P6（，），；综上可得，符合题意的点 P 的坐标为：（2，（，），（，）；（3）如图，取点 Q 使ACQ45，过点 A 作 ADCQ 于点 D，过点 C 作 CEDF 于点 E，则ACD 是等腰直角三角形，ADCD，CDEDAF（AAS），AFDE，CEDF 设 DEAFa，则 CEDFa+1，由 OC2，则 DF3a，a+13a，解得 a1 D（2，7），3），直线 CD 对应的表达式为 yx3，设 Q（n，n3）2+3x3，n3n2+2n3，整理得 n2n0 又 n4，则 n Q（，）27（14 分）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动（1）ABC 是边长为 3 的等边三角形，E 是边 AC 上的一点，且 AE1，如图 1求 CF的长；（2）ABC 是边长为 3 的等边三角形，E 是边 AC 上的一个动点，小亮以 BE 为边作等边三角形 BEF，求点 F 所经过的路径长；（3）ABC 是边长为 3 的等边三角形，M 是高 CD 上的一个动点，小亮以 BM 为边作等边三角形BMN，求点N所经过的路径长；（4）正方形 ABCD 的边长为 3，E 是边 CB 上的一个动点，在点 E 从点 C 到点 B 的运动过程中，其中点 F、G 都在直线 AE 上，如图 4当点 E 到达点 B 时 ，点 G 所经过的路径长为 【分析】（1）由题意可得ABECBF，则 CFAE1；（2）点 E 在点 C 处时，CFAC，点 E 在 A 处时，点 F 与点 C 重合则点 F 运动的路径长AC3；（3）类比（2）的思路可知，点 M 在 C 处时，HNCD，点 M 在 D 处时，点 N与点 H 重合则点 N 所经过的路径的长CD；（4）类比（2）（3）可得，连接 AC，BD，相交于点 O，取 AB 的中点 M，BC 的中点 N，连接 MF，NH，当点 E 在 B 处时，点 F，B，H 重合，点 G 和点 B 重合；当点 E 在点 C处时，点 F 和点 O 重合，点 G 与点 C 重合【解答】解：（1）如图，ABC 和BEF 是等边三角形，BABC，BEBF，ABE+CBECBF+CBE，ABECBF，ABECBF（SAS），CFAE1；（2）如图 2，连接 CF，由（1）ABECBF，CFAE，BCFBAE60，ABC60，BCFABC，CFAB，又点 E 在点 C 处时，CFAC，点 E 在 A 处时，点 F 与点 C 重合 点 F 运动的路径长AC2（3）如图 3，取 BC 的中点 H，BHBC，BHAB，CDAB，BDAB，BHBD，ABC 和BMN 是等边三角形，BMBN，ABCMBN60，DBM+MBHHBN+MBH，DBMHBN，DBMHBN（SAS），HNDM，BHNBDM90，NHBC，又点 M 在 C 处时，HNCD，点 M 在 D 处时，点 N 与点 H 重合 点 N 所经过的路径的长CD；（4）如图，连接 AC，相交于点 O，BC 的中点 N，NH，MFBMBNAB，点 F 的运动轨迹为以点 M 为圆心，BM 长为半径的圆上；ABCFBH90，ABCFBCFBHFBC，即ABFCBH，MBFNBH（SAS），NHMFBMBN，点 H 在以点 N 为圆心，BN 长为半径的圆上；当点 E 在 B 处时，点 F，B，点 G 和点 B 重合；当点 E 在点 C 处时，点 F 和点 O 重合；点 G 在以点 O 为圆心，OB 长为半径的圆上；点 H 所经过的路径长；点 G 所经过的路径长 故答案为：，