《高等数学》PPT课件-第一章连续.pptx

三、连续1.函数的增量函数的增量2.连续的定义连续的定义例例1 1证证由定义由定义2知知3.单侧连续单侧连续定理定理例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,（二）函数的间断点1.跳跃间断点跳跃间断点例例3 3解解2.可去间断点可去间断点例例4 4解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.3.第二类间断点第二类间断点例例5 5解解例例6 6解解(三）四则运算的连续性定理定理1 1例如例如,反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.定理定理3 3意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例1 1解解定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.例例3 3例例4 4解解解解（四）连续函数的运算（四）连续函数的运算1 1、四则运算的连续性、四则运算的连续性2 2、反函数与复合函数的连续性、反函数与复合函数的连续性3 3、初等函数的连续性、初等函数的连续性1、连续函数的四则运算的连续性【定理定理1】例如例如由函数由函数“点连续点连续”的定义和极限四则运算法则，立的定义和极限四则运算法则，立得得:【推广推广】有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。【结论结论】三角函数在其定义域内连续三角函数在其定义域内连续.若若f(x),g(x)在点在点x0处连续，则处连续，则f(x)g(x)，f(x)g(x),f(x)/g(x)g(x0)0在点在点x0处也连续处也连续.【定理定理3】（2）复合函数的连续性）复合函数的连续性【意义意义】可知可知极限符号极限符号 可以与函数符号可以与函数符号 f 交换次序交换次序;条件是：条件是：内层函数极限存在、外层函数在对内层函数极限存在、外层函数在对 应点应点连续连续；则可交换次序；则可交换次序.【例例1】【解解】同理同理利用利用lnu的的连续性连续性【定理定理4】（复合函数的连续性）（复合函数的连续性）【注意注意】定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况,内层内层函数由函数由 极限存在极限存在加强为加强为连续连续.简言之：简言之：内、外层函数在对应点都连续，内、外层函数在对应点都连续，则复合函数连续。则复合函数连续。（五）闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.定义：定义：定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.【定义定义】【定理定理3】(零点定理零点定理):):【作用作用】常用于判断方程有根常用于判断方程有根 根的根的存在性存在性.即方程即方程 f(x)=0 在在(a,b)内至少存在一个实根内至少存在一个实根.定定理理4(4(介介值值定定理理)如如果果 在在 上上连连续续，且且其其最最大大值值和和最最小小值值分分别别为为M M和和m.m.对对于于在在M M和和m m之之间间的的任任意意实实数数c c，必必定定存存在在 ，使使 .小结四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;