2013届高考数学（理）一轮复习课件：23函数的奇偶性与周期性（人教A版）.ppt

第三节 函数的奇偶性与周期性 三年三年1111考考 高考指数高考指数:1.1.结结合具体函数，了解函数奇偶性的含合具体函数，了解函数奇偶性的含义义；2.2.会运用函数的会运用函数的图图象理解和研究函数的奇偶性；象理解和研究函数的奇偶性；3.3.了解函数周期性、最小正周期的含了解函数周期性、最小正周期的含义义，会判断、，会判断、应应用用简单简单函函数的周期性数的周期性1.1.函数的奇偶性、周期性的函数的奇偶性、周期性的应应用是高考的重要考点；用是高考的重要考点；2.2.常与函数的常与函数的图图象、象、单调单调性、性、对对称性、零点等称性、零点等综综合命合命题题;3.3.多以多以选择选择、填空、填空题题的形式出的形式出现现，属中低档，属中低档题题目目.1.1.奇函数、偶函数的定奇函数、偶函数的定义义对对于函数于函数f(xf(x)的定的定义义域内的任意一个域内的任意一个x.x.(1)f(x)(1)f(x)为为偶函数偶函数_；(2)f(x)(2)f(x)为为奇函数奇函数_.f(-xf(-x)=)=f(xf(x)f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x)【即时应用即时应用】(1)(1)判断下列六个函数是否是奇函数判断下列六个函数是否是奇函数.(.(请请在括号中填在括号中填“是是”或或“否否”)y=xy=x2 2-|x|()-|x|()y=sin3x()y=sin3x()y=x+()y=x+()y=3y=3x x-3-3-x-x()()y=|x|cosx()y=|x|cosx()y=xy=x2 2,x(-1,1,x(-1,1()()(2)(2)已知已知f(xf(x)=ax)=ax2 2+bx+bx是定是定义义在在a-1,2aa-1,2a上的偶函数，那么上的偶函数，那么a+ba+b的的值值是是_._.(3)(3)已知已知f(xf(x)为为R R上的奇函数，且当上的奇函数，且当x0 x0时时，f(xf(x)=x)=x2 2,则则f(xf(x)=_.)=_.【解析解析】(1)(1)由奇函数、偶函数定义知，函数由奇函数、偶函数定义知，函数,为偶函数，为偶函数，,为奇函数为奇函数,是非奇非偶函数是非奇非偶函数.(2)(2)由已知得由已知得 解得解得f(x)=,f(x)=,又又f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),即即又又 ,b=0,b=0,故故a+b=a+b=(3)(3)由题意知由题意知f(0)=0,f(0)=0,当当x0 x0,-x0,f(-xf(-x)=(-x)=(-x)2 2=x=x2 2,又又f(-xf(-x)=-)=-f(x),f(xf(x),f(x)=-x)=-x2 2,综上，综上，答案：答案：(1)(1)否否 是是 是是 是是 否否 否否 (2)(2)(3)(3)2.2.奇、偶函数奇、偶函数图图象的性象的性质质(1)(1)奇函数奇函数图图象的特征：关于象的特征：关于_对对称称.(2)(2)偶函数偶函数图图象的特征：关于象的特征：关于_对对称称.原点原点y y轴轴【即时应用即时应用】(1)(1)思考：函数思考：函数f(xf(x)=)=x+sinx,g(xx+sinx,g(x)=)=x xsinxsinx各自各自图图象有何象有何对对称性称性？提示：提示：f(xf(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称；为奇函数，所以其图象关于原点对称；g(xg(x)为偶函为偶函数，所以其图象关于数，所以其图象关于y y轴对称轴对称.(2)(2)已知已知y=y=f(xf(x)是偶函数，且其是偶函数，且其图图象与象与x x轴轴有有5 5个交点，个交点，则则方程方程f(xf(x)=0)=0的所有的所有实实根之和是根之和是_._.【解析解析】由于偶函数的图象关于由于偶函数的图象关于y y轴对称，故其与轴对称，故其与x x轴的轴的5 5个交个交点亦关于点亦关于y y轴对称，或在轴对称，或在y y轴上，故其和为轴上，故其和为0.0.答案：答案：0 03.3.周期性周期性(1)(1)周期函数：周期函数：T T为为函数函数f(xf(x)的一个周期，的一个周期，则则需需满满足的条件：足的条件：T0;T0;_对对定定义义域内的任意域内的任意x x都成立都成立.(2)(2)最小正周期：如果在周期函数最小正周期：如果在周期函数f(xf(x)的所有周期中存在一个的所有周期中存在一个_，那么，那么这这个个_就叫做它的最小正周期就叫做它的最小正周期f(x+Tf(x+T)=)=f(xf(x)最小的正数最小的正数最小的正数最小的正数【即时应用即时应用】(1)(1)已知函数已知函数f(xf(x),),对对 ，都有，都有f(x+4)=f(x+4)=f(xf(x),),且且x(0,2)x(0,2)时时，f(xf(x)=2 012x)=2 012x2 2,则则f(2 013)=_.f(2 013)=_.(2)(2)函数函数f(xf(x)对对于任意于任意实实数数x x满满足条件足条件f(x+1)=-f(x+1)=-f(xf(x),),则则f(xf(x)的最的最小正周期小正周期为为_._.【解析解析】(1)f(x+4)=(1)f(x+4)=f(x),f(xf(x),f(x)的最小正周期为的最小正周期为4 4，f(2 013)=f(503f(2 013)=f(5034+1)=f(1)=2 0124+1)=f(1)=2 0121 12 2=2 012.=2 012.(2)f(x+1)=-(2)f(x+1)=-f(xf(x),),f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(xf(x)=f(xf(x).).最小正周最小正周期为期为2.2.答案：答案：(1)2 012 (2)2(1)2 012 (2)2 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性【方法点睛方法点睛】判断函数奇偶性的常用方法及思路判断函数奇偶性的常用方法及思路(1)(1)定定义义法：法：(2)(2)图图象法：象法：(3)(3)性性质质法：用奇、偶函数的性法：用奇、偶函数的性质质来判断其和差来判断其和差积积商函数的奇偶商函数的奇偶性性 奇函数与奇函数奇函数与奇函数奇函数与偶函数奇函数与偶函数偶函数与偶函数偶函数与偶函数和和差差积积商商奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数【提醒提醒】“性质法性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的成立的.【例例1 1】判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x(1)f(x)=x3 3-x;-x;(2)f(x)=;(2)f(x)=;(3)f(x)=(3)f(x)=【解题指南解题指南】由奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原由奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，再计算点对称，再计算f(-xf(-x)，并判断其与，并判断其与f(xf(x)的关系，从而得出函的关系，从而得出函数的奇偶性数的奇偶性.【规范解答规范解答】(1)(1)显然函数显然函数f(xf(x)的定义域为的定义域为R R，关于原点对称，关于原点对称，又又f(-xf(-x)=(-x)=(-x)3 3-(-x)=-(x-(-x)=-(x3 3-x)=-x)=-f(xf(x),),f(xf(x)为奇函数为奇函数.(2)(2)使使f(xf(x)=)=有意义，则有有意义，则有 0 0且且1+x0,1+x0,解得函数的定义域为解得函数的定义域为(-1,1(-1,1,不关于原点对称，因此函数不关于原点对称，因此函数f(xf(x)既不是奇函数，也不是偶函数既不是奇函数，也不是偶函数.(3)(3)显然函数显然函数f(xf(x)的定义域为：的定义域为：(-(-，0)(0,+)0)(0,+)，关于原点对称，关于原点对称，当当x0 x0-x0，则，则f(-xf(-x)=-(-x)=-(-x)2 2-x=-x-x=-x2 2-x=-x=-f(xf(x)；当当x0 x0时时,-x0,-x0，则，则f(-xf(-x)=(-x)=(-x)2 2-x=x-x=x2 2-x=-x=-f(xf(x)；综上可知：对于定义域内的任意综上可知：对于定义域内的任意x x，总有，总有f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x)成立，成立，函数函数f(xf(x)为奇函数为奇函数.【反思反思感悟感悟】利用定义法判断函数奇偶性时，先求定义域，利用定义法判断函数奇偶性时，先求定义域，当解析式较复杂时，要在定义域内先化简，再计算当解析式较复杂时，要在定义域内先化简，再计算f(-xf(-x),),否则否则可能得到错误结论可能得到错误结论.应应用函数奇偶性用函数奇偶性【方法点睛方法点睛】应应用函数奇偶性可解决的用函数奇偶性可解决的问题问题及方法及方法(1)(1)已知函数的奇偶性，求函数已知函数的奇偶性，求函数值值将待求将待求值值利用奇偶性利用奇偶性转转化化为为已知区已知区间间上的函数上的函数值值求解求解.(2)(2)已知函数的奇偶性求解析式已知函数的奇偶性求解析式将待求区将待求区间间上的自上的自变变量，量，转转化到已知区化到已知区间间上，再利用奇偶性求上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于出，或充分利用奇偶性构造关于f(xf(x)的方程的方程(组组)，从而得到，从而得到f(xf(x)的解析式的解析式.(3)(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值值常常利用待定系数法：利用常常利用待定系数法：利用f(x)f(x)f(-xf(-x)=0)=0得到关于待求参数的得到关于待求参数的恒等式，由系数的恒等式，由系数的对对等性得参数的等性得参数的值值或方程求解或方程求解.(4)(4)应用奇偶性画图象和判断单调性应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性调性.【例例2 2】(1)(2011(1)(2011安徽高考安徽高考)设设f(xf(x)是定是定义义在在R R上的奇函数，当上的奇函数，当x0 x0时时，f(xf(x)=2x)=2x2 2-x-x，则则f(1)=()f(1)=()(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3(2)(2012(2)(2012惠州模惠州模拟拟)若函数若函数f(xf(x)=x)=x2 2+(m-1)x-3+(m-1)x-3为为偶函数偶函数,则则m=()m=()(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2(3)(3)已知偶函数已知偶函数f(xf(x)在区在区间间0 0，+)+)上上单调递单调递增，增，则满则满足足f(2x-f(2x-)f()f()的的x x的取的取值值范范围围是是()()【解题指南解题指南】(1)(1)将求将求f(1)f(1)的值转化为求的值转化为求f(-1)f(-1)的值的问题求的值的问题求解；解；(2)(2)由题意可知由题意可知f(-x)-f(xf(-x)-f(x)=0)=0，从而得到关于，从而得到关于x x的恒等式，再构的恒等式，再构建建m m的方程求解；的方程求解；(3)(3)根据奇偶性得到根据奇偶性得到f(2x-)=f(|2x-|),f(2x-)=f(|2x-|),将原不等式转化为将原不等式转化为f(|2x-|)f(),f(|2x-|)f(),从而求解从而求解.【规范解答规范解答】(1)(1)选选A.A.由奇函数的定义有由奇函数的定义有f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x)，所以，所以f(1)=-f(-1)=-f(1)=-f(-1)=-2 2(-1)(-1)2 2+1+1=-3.=-3.(2)(2)选选C.C.由题意知由题意知f(xf(x)=)=f(-xf(-x),),即即x x2 2+(m-1)x-3=(-x)+(m-1)x-3=(-x)2 2-(m-1)x-3,-(m-1)x-3,2(m-1)x=0,xR,m=1.2(m-1)x=0,xR,m=1.f(2x-)=f(|2x-|)f(2x-)=f(|2x-|)，又又f(xf(x)在在0,+)0,+)上单调递增上单调递增,由由f(|2x-|)f()f(|2x-|)f()得：得：|2x-|,|2x-|,解得解得:0 x .:0 x .【反思反思感悟感悟】利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、求解析式、作图象、判定单调性问题转化为已知区间上的函数值、求解析式、作图象、判定单调性问题转化为已知区间上的函数值、解析式、图象、单调性问题求解，充分体现了数学的转化与化归解析式、图象、单调性问题求解，充分体现了数学的转化与化归思想思想.函数的周期性及其应用函数的周期性及其应用【方法点睛方法点睛】1.1.判断函数周期性的几个常用判断函数周期性的几个常用结论结论若若对对于函数于函数f(xf(x)定定义义域内的任意一个域内的任意一个x x都有：都有：f(x+af(x+a)=-f(x)(a0)=-f(x)(a0)，则则函数函数f(xf(x)必必为为周期函数，周期函数，2|a|2|a|是它是它的一个周期；的一个周期；f(x+af(x+a)=)=则则函数函数f(xf(x)必必为为周期函数，周期函数，2|a|2|a|是它的一是它的一个周期；个周期；f(x+af(x+a)=)=则则函数函数f(xf(x)必必为为周期函数，周期函数，2|a|2|a|是它的一个周是它的一个周期；期；2.2.应用函数周期性的两个结论应用函数周期性的两个结论如果如果T T是函数是函数y=y=f(xf(x)的周期，则的周期，则kT(kZ,k0)kT(kZ,k0)也是函数也是函数y=y=f(xf(x)的周期，的周期，即即f(x+kTf(x+kT)=)=f(xf(x)；若已知区间若已知区间m,nm,n(mn)(m10 x10时，时，|lgxlgx|1,|1,因此结合图象及数据特点因此结合图象及数据特点y=y=f(xf(x)与与y=|y=|lgxlgx|的的图象交点共有图象交点共有1010个个.【反思反思感悟感悟】已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解析已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解析式或图象，则可求在其他区间上的函数值、解析式或画出其他区式或图象，则可求在其他区间上的函数值、解析式或画出其他区间上的图象，关键是用好其周期性进行转化间上的图象，关键是用好其周期性进行转化.【创新探究创新探究】创创新新应应用函数的奇偶性与周期性用函数的奇偶性与周期性【典例典例】(2011(2011福建高考福建高考)对对于函数于函数f(xf(x)=)=asinx+bx+casinx+bx+c(其中其中,a,bR,cZa,bR,cZ)，选选取取a,b,ca,b,c的一的一组值计组值计算算f(1)f(1)和和f(-1)f(-1)，所得出，所得出的正确的正确结结果一定不可能是果一定不可能是()()(A)4(A)4和和6 (B)36 (B)3和和1 1(C)2(C)2和和4 (D)14 (D)1和和2 2【解题指南解题指南】解答本题需根据函数解答本题需根据函数f(xf(x)解析式的结构特征，构造解析式的结构特征，构造奇函数奇函数g(xg(x)=)=f(x)-cf(x)-c,然后利用奇函数的性质，然后利用奇函数的性质，g(-1)+g(1)=0,g(-1)+g(1)=0,探探究出究出f(-1)+f(1)f(-1)+f(1)与与c c的关系，从而由的关系，从而由cZcZ限定限定f(1)f(1)与与f(-1)f(-1)不可能不可能的取值的取值.【规范解答规范解答】选选D.D.令令g(xg(x)=)=f(x)-cf(x)-c=asinx+bxasinx+bx,g(-xg(-x)=)=asin(-x)+b(-xasin(-x)+b(-x)=-()=-(asinx+bxasinx+bx)=-=-g(xg(x),),g(xg(x)为定义在为定义在R R上的奇函数上的奇函数.则由奇函数的性质，得则由奇函数的性质，得:g(-1)+g(1)=0,:g(-1)+g(1)=0,即即f(-1)+f(1)-2c=0.f(-1)+f(1)-2c=0.f(-1)+f(1)=2c,f(-1)+f(1)=2c,又又cZ,f(1)+f(-1)cZ,f(1)+f(-1)是偶数，是偶数，而选项中只有而选项中只有D D中两数和为奇数，故选中两数和为奇数，故选D.D.【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们得到以下创新点拨通过对本题的深入研究，我们得到以下创新点拨及备考建议及备考建议:创创新新点点拨拨本题有以下创新点：本题有以下创新点：(1)(1)命题方式创新：题目并不是直接考查而是以间接命题方式创新：题目并不是直接考查而是以间接方式，否定的形式考查方式，否定的形式考查.(2)(2)考查内容创新：本题通过所给函数的解析式及所考查内容创新：本题通过所给函数的解析式及所求函数值，间接考查函数奇偶性的性质与应用，较好求函数值，间接考查函数奇偶性的性质与应用，较好地考查了学生的创新应用意识、探究能力和逻辑推理地考查了学生的创新应用意识、探究能力和逻辑推理能力，是考查函数奇偶性的一个新的亮点能力，是考查函数奇偶性的一个新的亮点.备备考考建建议议从该题的解答过程来看，我们在备考函数奇偶性时还从该题的解答过程来看，我们在备考函数奇偶性时还应注意以下问题应注意以下问题:(1)(1)熟练掌握函数奇偶性的有关概念及确定与应用的熟练掌握函数奇偶性的有关概念及确定与应用的方法方法.(2)(2)平时学习时从所给的解析式或函数关系中，要能平时学习时从所给的解析式或函数关系中，要能从其结构特征探究发现其隐含的奇偶性，从而利用奇从其结构特征探究发现其隐含的奇偶性，从而利用奇偶性将问题解决偶性将问题解决.1.(20111.(2011山山东东高考高考)已知已知f(xf(x)是是R R上最小正周期上最小正周期为为2 2的周期函数的周期函数,且且当当0 x20 x2时时,f(xf(x)=x)=x3 3-x-x，则则函数函数y=y=f(xf(x)的的图图象在区象在区间间0,60,6上与上与x x轴轴的交点个数的交点个数为为()()(A)6 (B)7 (C)8 (D)9(A)6 (B)7 (C)8 (D)9【解析解析】选选B.B.令令f(xf(x)=x)=x3 3-x=0,-x=0,即即x(x+1)(x-1)=0,x(x+1)(x-1)=0,所以所以x=0,1,-1,x=0,1,-1,因为因为0 x2,0 x2,所以此时函数的零点有两个所以此时函数的零点有两个,即与即与x x轴的交点个数为轴的交点个数为2.2.因为因为f(xf(x)是是R R上最小正周期为上最小正周期为2 2的周期函数，的周期函数，所以所以2x4,4x62x4,4x6上也分别有两个零点，上也分别有两个零点，由由f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,知知f(6)f(6)也是函数的零点，也是函数的零点，所以函数所以函数y=y=f(xf(x)的图象在区间的图象在区间0,60,6上与上与x x轴的交点个数为轴的交点个数为7.7.2.(20122.(2012 汕汕头头模模拟拟)“a=0a=0”是是“函数函数y=y=ln|xln|x-a|-a|为为偶函数偶函数”的的()()(A)(A)充要条件充要条件(B)(B)充分不必要条件充分不必要条件(C)(C)必要不充分条件必要不充分条件(D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】选选A.A.当当a=0a=0时时,y=,y=ln|xln|x-a|,-a|,即即y=y=ln|xln|x|是偶函数是偶函数.若若y=y=ln|xln|x-a|-a|是偶函数是偶函数,则对任意则对任意x x有有ln|xln|x-a|=a|=ln|-x-aln|-x-a|,|,即对任意即对任意x x有有4ax=0,4ax=0,所以所以a=0,a=0,选选A.A.3.(20113.(2011湖南高考湖南高考)已知已知f(xf(x)为为奇函数，奇函数，g(xg(x)=f(x)+9,g(-2)=3,)=f(x)+9,g(-2)=3,则则f(2)=_.f(2)=_.【解析解析】因为因为f(xf(x)=g(x)-9)=g(x)-9是奇函数，所以是奇函数，所以f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x),),g(-x)-9=-g(-x)-9=-g(x)-9g(x)-9,g(-2)-9=-g(-2)-9=-g(2)-9g(2)-9,g(-2)=3,g(2)=15,g(-2)=3,g(2)=15,所以所以f(2)=g(2)-9=6.f(2)=g(2)-9=6.答案：答案：6 64.(20114.(2011 浙江高考浙江高考)若函数若函数f(xf(x)=x)=x2 2-|x+a|-|x+a|为为偶函数，偶函数，则实则实数数a=_.a=_.【解析解析】方法一：方法一：f(xf(x)为偶函数，为偶函数，f(-xf(-x)=)=f(xf(x),),即即x x2 2-|x+a|=(-x)-|x+a|=(-x)2 2-|-x+a|-|-x+a|x+a|=|x-a|x+a|=|x-a|恒成立，恒成立，a=0.a=0.方法二：函数方法二：函数y=xy=x2 2为偶函数，函数为偶函数，函数y=|y=|x+ax+a|是由偶函数是由偶函数y=|x|y=|x|向左向左或向右平移了或向右平移了|a|a|个单位，要使整个函数为偶函数，则需个单位，要使整个函数为偶函数，则需a=0.a=0.答案：答案：0 05.(20125.(2012惠州模惠州模拟拟)已知已知f(xf(x)是定是定义义在在R R上的奇函数上的奇函数,且且x0 x0时时,f(xf(x)=x)=x2 2-2x+m.-2x+m.(1)(1)求求m m及及f(-3)f(-3)的的值值;(2)(2)求求f(xf(x)的解析式并画出的解析式并画出简图简图;(3)(3)写出写出f(xf(x)的的单调单调区区间间(不用不用证证明明).).【解析解析】(1)f(x)(1)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数,f(0)=0,m=0,f(0)=0,m=0,当当x0 x0时时,f(xf(x)=x)=x2 2-2x,-2x,f(-3)=-f(3)=-3.f(-3)=-f(3)=-3.(2)(2)当当x0 x0,-x0,f(-xf(-x)=(-x)=(-x)2 2-2(-x)=x-2(-x)=x2 2+2x.+2x.f(xf(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数,f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x).).-f(xf(x)=x)=x2 2+2x,+2x,即即f(xf(x)=-x)=-x2 2-2x(x0).-2x(x0).f(xf(x)的解析式为的解析式为f(xf(x)的图象如图的图象如图(3)(3)由由f(xf(x)的图象可知的图象可知:f(xf(x)的增区间为的增区间为(-,-1(-,-1,1,+),1,+),减减区间为区间为-1,1-1,1.