《直角三角形三边的关系（1）》参考课件.ppt
14.1 勾股定理勾股定理直角三角形三边的关系直角三角形三边的关系（1 1）如图，强大的台风使得一根旗杆在离地如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部部12米处，旗杆折断之前有多高？米处，旗杆折断之前有多高？9米米12米米（图中每一格代表一平方厘米）（图中每一格代表一平方厘米）观察左图：观察左图：（1 1）正方形）正方形P P的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。（2 2）正方形）正方形Q Q的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。（3 3）正方形）正方形R R的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。121上面三个正方形的上面三个正方形的面积之间有什么关面积之间有什么关系？系？SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰等腰直角三角形直角三角形ABCABC三边长度之三边长度之间存在什么关系吗？间存在什么关系吗？活动一活动一S Sp p=AC=AC2 2 S SQ Q=BC=BC2 2 S SR R=AB=AB2 2这说明这说明在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中中,两两直角边的平方和等于斜边的平方直角边的平方和等于斜边的平方那么那么,在一般的直角三角形中在一般的直角三角形中,两直角边两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢的平方和是否等于斜边的平方呢?想一想想一想P的面的面积积(单位单位长度长度)Q的面的面积积(单位单位长度长度)R的面的面积积(单位单位长度长度)图图2图图3P、Q、R面面积关系积关系直角三直角三角形三角形三边关系边关系QPR图图2QPR图图3ABCABC916259413SP+SQ=SRBC2+AC2=AB2(每一小方格表示每一小方格表示1平方厘米平方厘米)QPR图图1-3QPR图图1-4把把R R看作是四个直角三角形的面积看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。小正方形面积。QPR图图3QPR图图4把把R R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。S S正方形正方形R Rcababc证明：证明：s总总=4s1+s2又s总总=c2赵爽弦图赵爽弦图美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为就把这一证法称为“总统总统”证法。证法。有趣的总统证法有趣的总统证法S梯形梯形=(a+b)(a+b)=(a2+b2)+abS梯形梯形=c2+2ab=c2+ab即：在即：在RtABC中，中，C=90c2=a2+b2伽伽菲菲尔尔德德证证法法 剪四个完全一样的直角三角形，将他们拼成下剪四个完全一样的直角三角形，将他们拼成下图所示的正方形，用不同的方法表示大正方形图所示的正方形，用不同的方法表示大正方形的面积的面积,也可以说明勾股定理的正确性也可以说明勾股定理的正确性勾股定理（勾股定理（gou-gu theorem)gou-gu theorem)如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为斜边为c，那么，那么即即直角三角形两直角边的平方和等于直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方斜边的平方abc在西方又称在西方又称毕达毕达哥拉斯定理！哥拉斯定理！abcc2=a2+b2a2=c2b2b2=c2a2结论变形结论变形直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，远在公元前三千年的巴比勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，远在公元前三千年的巴比伦人就知道和应用它了。我国古代也发现了这个定理，伦人就知道和应用它了。我国古代也发现了这个定理，据据周髀算经周髀算经记载，记载，商高（公元前商高（公元前11201120年）关于勾股定理已有明确的认识，年）关于勾股定理已有明确的认识，周髀算经周髀算经中有中有商商高高答答周公周公的话：的话：“勾广三，股修四，径隅五勾广三，股修四，径隅五。”同书中还有另一为学者同书中还有另一为学者陈子陈子（公元前六七世纪）与（公元前六七世纪）与荣方荣方的一段对话：的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）至日日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）至日”即即 邪至日邪至日2 2=勾勾2 2+股股2 2 陈子陈子已不限于：三、四、五的特殊情形，而是推广到一般情形了。已不限于：三、四、五的特殊情形，而是推广到一般情形了。人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，很难区分是谁最人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，很难区分是谁最先发明的先发明的.勾股定理曾引起很多人的兴趣勾股定理曾引起很多人的兴趣,世界上对这个定理的证明方法很多，世界上对这个定理的证明方法很多，19401940年年卢米斯卢米斯收集了这个定理的收集了这个定理的370370种证明，期中包括大画家种证明，期中包括大画家达达芬奇芬奇和美国和美国总统总统詹姆士詹姆士阿阿加菲尔德加菲尔德的证法。的证法。到目前为止到目前为止,已有四百多种证法已有四百多种证法.毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理Pythagorastheorem毕达哥拉斯毕达哥拉斯在国外，相传这个定理是公在国外，相传这个定理是公元前元前500500多年时古希腊数学家多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为此又称此定理为“毕达哥拉毕达哥拉斯定理斯定理”。法国和比利时称。法国和比利时称它为它为“驴桥定理驴桥定理”，埃及称，埃及称它为它为“埃及三角形埃及三角形”等。但等。但他们发现的时间都比我国要他们发现的时间都比我国要迟得多。迟得多。如图，强大的台风使得一根旗杆在离地如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部部12米处，旗杆折断之前有多高？米处，旗杆折断之前有多高？9米米12米米ABC例例1、在在Rt ABC中，已知中，已知B=90，AB=6,BC=8，求，求AC.解：解：根据勾股定理，可得根据勾股定理，可得AB2+BC2=AC2所以所以课堂课堂 练练 习习求出下列直角三角形中未知边的长度。求出下列直角三角形中未知边的长度。6x2524x10b=2a=1c=？b=?c=17a=151、求下列、求下列2个三角形中的第三条边的长。个三角形中的第三条边的长。试一试试一试:比一比，看谁做的快比一比，看谁做的快 acbACB(1)若若a=24,b=7,则则c=(2)若若a=60,c=61,则则b=(3)若若a=,b=,则则c=(4)若若a=,b=,则则c=如图，在如图，在Rt ABC中中,c=90325114在右图在右图(书本书本109页做一做页做一做)的方的方格图中，用三角尺格图中，用三角尺化出两条直角边分化出两条直角边分别为别为cm、12cm的直角三角形，然的直角三角形，然后用刻度尺量出斜后用刻度尺量出斜边，并验证刚才得边，并验证刚才得到的直角三角形三到的直角三角形三边的关系是否成立。边的关系是否成立。(每一小格代表平方厘米每一小格代表平方厘米)1252+122=13213ABCD7cm2如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则则正方形正方形A，B，C，D的面积之和为的面积之和为_cm2。49C160904040BA例例2、如图所示是一个长方形零件的如图所示是一个长方形零件的平面图平面图,尺寸如图所示尺寸如图所示,求两孔中心求两孔中心A,B之间的距离之间的距离.(单位单位:毫米毫米)1、这节课你学到了什么知识？、这节课你学到了什么知识？如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a a，b b，斜边斜边为为c c，那么那么 a2+b2=c2即直角三角形两直角即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方边的平方和等于斜边的平方(勾股定理勾股定理)2、你是通过什么方法得出这一结论的、你是通过什么方法得出这一结论的?小小 结：结：3、这节课体现了哪些数学思想方法、这节课体现了哪些数学思想方法?通过数格子和割补法求面积通过数格子和割补法求面积数形相结合数形相结合,从特殊到一般从特殊到一般.
