00--第一章-复数与复平面解析.ppt

Department of MathematicsJinan Univ.2012暨南大学数学系 高凌云二0一二年二月至二0一二年七月复变函数起源简介n数学从产生、有发展到现在,已成为分支众多的学科了,复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数,而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数,复变函数论主要就研究复数域上的解析函数,因此通常也称复变函数论为解析函数论,简称函数论。n我们知道,在解实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)时,如果判别式b2-4ac0)M0)的所有点的集合的所有点的集合 z|z|M 且满足且满足zM 包括无穷远点自身在内包括无穷远点自身在内3、复球面与无穷大:在点坐标是(x,y,u)的三维空间中，把 xOy面看作是 z 平面。考虑球面S：取定球面上一点N(0,0,1)称为球极。我们可以建立一个复平面C到S-N之间的一个1-1对应（球极射影）：球极射影:我们称上面的映射为球极射影：1、(x,y,0),(x,y,u),(0,0,1)三点共线 2、x:y:-1=x:y:u-1;无穷远点:对应于球极射影为N，我们引入一个新的非正常复数 称为无穷远点，称 为扩充复平面，记为 。关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：它和有限复数的基本运算为：这些运算无意义：Department of Mathematics1 1 初步初步概念概念2 2 区域与约当曲线区域与约当曲线第二节第二节 复平面上的拓扑复平面上的拓扑1 基本概念:a的r邻域定义:以a为圆心,r为半径的圆盘U(a,r)定义为：以a为圆心，r为半径的闭圆盘定义为：极限点、内点、边界点:中有无穷个点，则称a为E的极限点；,则称a为E的内点；中既有属于E的点，又有不属于E的点，则称a为的E边界点；集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，记为闭包、孤立点、开集、闭集:称为D 的闭包，记为若对存在一个r0，使得则称a为的E孤立点（是边界点但不是聚点）；开集：所有点为内点的集合；闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；1、任何集合的闭包一定是闭集；2、如果存在r0，使得，则称E是有界集，否则称E是无界集；3、复平面上的有界闭集称为紧集。例1、圆盘U(a,r)是有界开集；闭圆盘是有界闭集；例2、集合z|z-a|=r是以为a心，r为半径的圆周，它是圆盘U(a,r)和闭圆盘的边界。例3、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。例4、集合E=z|0|z-a|r是去掉圆心的圆盘。圆心a边界点，它是E边界的孤立点，是集合E的聚点。2 区域、曲线:复平面C上的集合D，如果满足：（1）D是开集；（2）D中任意两点可以用有限条相衔接的线 段所构成的折线连起来，而使这条折 线上的所有点完全属于D。则称D是一个区域。结合前面的定义，可以定义有有界区域、无界 区域。连通性:性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的 开集。区域D内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。曲线:设已给如果Rez(t)和Imz(t)都是闭区间a,b上连续函数，则称这些点组成集合为一条连续曲线。如果对上任意不同两点t及s，但不同时是端点，我们有:即是一条除端点外不自交的连续曲线，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有z(a)=z(b)，则称为一条简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。约当（Jordan）定理:约当定理：任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。光滑曲线:光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区间a,b上连续，且有连续的导函数，在a,b上，其导函数恒不为零，则称此曲线为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。区域的连通性:设D是一个区域，在复平面C上，如果D内 任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点 都属于D，则称D是单连通区域;否则称D是多连通区域。例1:集合为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线：例2、集合 为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为两条直线：例3、集合 为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线：例4、集合:为一个圆环，它是一个多连通有界区域其边界为圆：例例5 5求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:解解化简后得化简后得例例2 2解解 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么,如果是区域如果是区域,指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域?是是一条平行于实轴的直线一条平行于实轴的直线,不是区域不是区域.单连通域单连通域.是是多连通域多连通域.不是区域不是区域.单连通域单连通域.由公式有：由三个是内角容易得到：