FEM结构动力学问题有限元解读.ppt

有限元方法与应用有限元方法与应用结构动力学问题有限元结构动力学问题有限元 结构动力学：结构动力学：研究研究结构结构在在动力荷载动力荷载作用下的作用下的动力反应动力反应。地震荷载地震荷载风荷载：风荷载：TacomaTacoma大桥风毁录像大桥风毁录像动力荷载：荷载的动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置大小、方向、作用位置 随时间而变化。随时间而变化。输入输入input输出输出Output结构体系结构体系静力响应静力响应静荷载静荷载位移位移内力内力应力应力刚度、约束刚度、约束杆件尺寸杆件尺寸截面特性截面特性大小大小方向方向作用点作用点结构体系结构体系动力响应动力响应输入输入input输出输出Output动荷载动荷载动位移动位移加速度加速度速度速度动应力动应力动力系数动力系数随时间变化随时间变化质量、刚度质量、刚度阻尼、约束阻尼、约束频率、振型频率、振型大小大小方向方向作用点作用点时间变化时间变化数值数值时间函数时间函数结构动力体系结构动力体系动载荷（又称动力分析）动载荷（又称动力分析）固有特性分析固有特性分析响应分析响应分析固固有有频频率率振振型型位位移移响响应应速速度度响响应应加加速速度度响响应应动动应应变变动动应应力力固固有有特特性性：是是一一组组模模态态参参数数构构成成，它它由由结结构构本本身身（质质量量与与刚刚度度分分布布）决定，而与外部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应；决定，而与外部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应；响应分析：响应分析：是计算结构对给定动载荷的各种响应特性。是计算结构对给定动载荷的各种响应特性。模模态态分分析析是是研研究究结结构构动动力力特特性性一一种种近近代代方方法法，是是系系统统辨辨别别方方法法在在工工程程振振动动领领域域中中的的应应用用。模模态态是是机机械械结结构构的的固固有有振振动动特特性性，每每一一个个模模态态具具有有特特定定的的固固有有频频率率、阻阻尼尼比比和和模模态态振振型型。这这些些模模态态参参数数可可以以由由计计算算或或试试验验分分析析取取得得，这样一个计算或试验分析过程称为这样一个计算或试验分析过程称为模态分析模态分析。固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的一固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的一是避免结构出现共振和有害的振型，二是为响应分析提供是避免结构出现共振和有害的振型，二是为响应分析提供必要依据。必要依据。结结构构动动力力学学问问题题的的有有限限元元法法的的实实质质就就是是将将一一个个弹弹性性连连续续体体的的振振动动问问题题，离离散散为为一一个个以以有有限限个个节节点点位位移移为为广广义义坐坐标标的的多多自自由由度度系系统统的的振振动动问问题题。其其基基本本原原理理和和分分析析方方法法类类同同静静力力学学的的有有限限元元法法，按按杆杆梁梁、薄薄板板等等不不同同结结构构进进行行分分析析。不不同同的的是是，应应用用振振动动理理论论建建立立动动力力学学方方程程时时，在在单单元元分分析析中中除除需需形形成成刚刚度度矩矩阵阵外外，还还需需形形成成质质量量矩矩阵阵，阻阻尼尼矩矩阵阵；在在整整体体分分析析中中，不不仅仅求求动动力力响响应应，还还有有求求解解特特征征值值问问题题（结构振动的固有频率及相应的振动型（或模态）（结构振动的固有频率及相应的振动型（或模态）从从以以上上步步骤骤可可以以看看出出，和和静静力力分分析析相相比比，在在动动力力分分析析中中，由由于于惯性力和阻尼力出现在平衡方程中，因此引入了质量矩阵和阻尼矩惯性力和阻尼力出现在平衡方程中，因此引入了质量矩阵和阻尼矩阵，最后得到求解方程不是代数方程组，而是常微分方程组。其阵，最后得到求解方程不是代数方程组，而是常微分方程组。其它的计算步骤和静力分析是完全相同的。它的计算步骤和静力分析是完全相同的。关于二阶常微分方程组的解法有两类：关于二阶常微分方程组的解法有两类：直接积分法和振型叠加法直接积分法和振型叠加法。直直接接积积分分法法是是直直接接对对运运动动方方程程积积分分。而而振振型型叠叠加加法法是是首首先先求求解解一无阻尼的自由振动方程，然后用解得的特征向量，即固有振型对一无阻尼的自由振动方程，然后用解得的特征向量，即固有振型对运动方程式进行变换。运动方程式进行变换。动力学有限元法的特点动力学有限元法的特点一、载荷特点一、载荷特点 结构所受的载荷是随时间变化的动载荷。结构所受的载荷是随时间变化的动载荷。这是与这是与静力分析的一个根本区别。静力分析的一个根本区别。二、位移特点二、位移特点 1、节点位移、节点位移q不仅是坐标的函数，而且也是时不仅是坐标的函数，而且也是时间的函数。仍以间的函数。仍以节点位移节点位移q作为基本未知量。作为基本未知量。2、节点具有速度、节点具有速度 加速度。加速度。3、利用节点位移插值表示单元内任一点的位移、利用节点位移插值表示单元内任一点的位移,一般仍采一般仍采用与静力分析相同的形函数用与静力分析相同的形函数 N。当单元数量较多时，上。当单元数量较多时，上述插值可以得到较好的插值精度。述插值可以得到较好的插值精度。4、在线弹性条件下，单元内的应变和应力与节点位移的、在线弹性条件下，单元内的应变和应力与节点位移的关系仍为关系仍为 但这时的位移、应变和应力都是某一时刻的瞬时值，它们但这时的位移、应变和应力都是某一时刻的瞬时值，它们都是随时间都是随时间t变化的函数。变化的函数。5、由于节点具有速度和加速度，结构将受到阻尼和惯性力的作用。、由于节点具有速度和加速度，结构将受到阻尼和惯性力的作用。根据达朗伯原理，引入根据达朗伯原理，引入惯性力惯性力和和阻尼力阻尼力之后结构仍处于平衡状态，之后结构仍处于平衡状态，因此动态分析中仍可采用虚位移原理来建立单元特性方程，然后再因此动态分析中仍可采用虚位移原理来建立单元特性方程，然后再集成。整个结构的平衡方程为：集成。整个结构的平衡方程为：式又称运动方程，它不再是静力问题那样的线性方程，而是一个二式又称运动方程，它不再是静力问题那样的线性方程，而是一个二阶常微分方程组。阶常微分方程组。动态分析有限元法的一般步骤动态分析有限元法的一般步骤1.结构离散：该步骤与静力分析基本相同结构离散：该步骤与静力分析基本相同2.单元分析：单元分析的任务仍是建立单元特性矩阵（刚度矩单元分析：单元分析的任务仍是建立单元特性矩阵（刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵），形成单元特性方程。阵、质量矩阵和阻尼矩阵），形成单元特性方程。在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 ，则单元，则单元内也产生相应的虚位移内也产生相应的虚位移 和虚应变和虚应变 。单元内产生的虚应变能为。单元内产生的虚应变能为:单元除受动载荷外，还有加速度和速度引起的惯性力单元除受动载荷外，还有加速度和速度引起的惯性力 和阻尼力和阻尼力 ，其中，其中为材料密度，为材料密度，v是线性阻尼系数。外力所做的虚功为：是线性阻尼系数。外力所做的虚功为：式中，式中，Pv、Ps、Pc分别为作用于单元上的动态体力、动态面力和动态分别为作用于单元上的动态体力、动态面力和动态集中力；集中力；V为单元面积；为单元面积；A为单元面积。为单元面积。由于由于且形函数仅为坐标且形函数仅为坐标x、y、z的函数，与时间无关，因此有的函数，与时间无关，因此有根据虚位移原理，有根据虚位移原理，有代入经整理，可得单元运动方程为代入经整理，可得单元运动方程为式中式中分别称为单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们就是决定单元动态性能的分别称为单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们就是决定单元动态性能的特性矩阵。特性矩阵。称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和集中力向单元节称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和集中力向单元节点移置的结果。点移置的结果。在动态分析和静力分析中，单元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样。在动态分析和静力分析中，单元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样。四、固有特性分析四、固有特性分析 结构的固有特性由结构本身决定，与外部载荷无关，它由一组模态参数结构的固有特性由结构本身决定，与外部载荷无关，它由一组模态参数定量描述。包括：固有频率、模态振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼比定量描述。包括：固有频率、模态振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼比等。等。固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的一是避免结构出现共固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的一是避免结构出现共振和有害的振型，二是为响应分析提供必要依据。振和有害的振型，二是为响应分析提供必要依据。由于固有特性与外载荷无关，且阻尼对固有频率和振型影响不大，因由于固有特性与外载荷无关，且阻尼对固有频率和振型影响不大，因此可通过无阻尼自由振动方程计算固有特性。此可通过无阻尼自由振动方程计算固有特性。式中，式中，为简谐振动圆频率；为简谐振动圆频率；为节点振幅列向量。为节点振幅列向量。由于自由振动可分解为一系列简谐振动的叠加，因此上式的解可设为由于自由振动可分解为一系列简谐振动的叠加，因此上式的解可设为 将解代入振动方程中，同时消去因子将解代入振动方程中，同时消去因子ejt，可得，可得振型振型i是结构按频率是结构按频率i振动时各自由度方向振幅间的相对比例关系，振动时各自由度方向振幅间的相对比例关系，它反映了结构振动的形式，并不是振幅的绝对大小。它反映了结构振动的形式，并不是振幅的绝对大小。上式为一广义特征问题。根据线性代数可知，求解该问题可以求出上式为一广义特征问题。根据线性代数可知，求解该问题可以求出n个特个特征值征值 和相对应的和相对应的n个特征向量个特征向量 。其中特。其中特征值征值i(i=1,2,.,n)就是结构的就是结构的i阶固有频率，特征向量阶固有频率，特征向量i i(i=1,2,.,n)就是结构就是结构的的i阶模态振型。阶模态振型。无阻尼自由振动方程为：无阻尼自由振动方程为：是一个常系数齐次线性常微分方程组，其解的形式为：是一个常系数齐次线性常微分方程组，其解的形式为：带入自由振动方程得：带入自由振动方程得：上式是齐次线性方程组，有非零解的条件是：上式是齐次线性方程组，有非零解的条件是：如果如果KK和和MM的阶数是的阶数是n n，则，则是是 的的n n次方程，次方程，称其为称其为自由振动特征方程自由振动特征方程，通过它可解出，通过它可解出n n个特征值，将这些特征值个特征值，将这些特征值再带入再带入可解出可解出n n个特征向量个特征向量第第 i i 个个 、合称第合称第i i个特征对，个特征对，为结构的第为结构的第i i个固有频率个固有频率,为结构的第为结构的第i i个振型个振型将将 按从小到大的顺序排列：按从小到大的顺序排列：其中其中 称作基本频率，相应的振型称作基本频率，相应的振型 称作基本振型。称作基本振型。对于上式可以采用广义雅克比法，拟迭代法、子空间迭代法等数值方法对于上式可以采用广义雅克比法，拟迭代法、子空间迭代法等数值方法直接求出特征值和相应的特征向量。直接求出特征值和相应的特征向量。式式在数学上称为广义特征值问题，常记作：在数学上称为广义特征值问题，常记作：1 1）当）当KK和和MM是实系数对称矩阵时，其特征值一定是实数，且特征是实系数对称矩阵时，其特征值一定是实数，且特征向量也是实向量。向量也是实向量。2 2）如果）如果KK为正定矩阵，则特征值一定是正实数，如果为正定矩阵，则特征值一定是正实数，如果KK为半正定，为半正定，则特征值为非负实数，且特征值为零的个数等于结构刚体位移自由度则特征值为非负实数，且特征值为零的个数等于结构刚体位移自由度的个数。如果的个数。如果集中质量集中质量矩阵为半正定，其对角线上有矩阵为半正定，其对角线上有r r个零元素，则个零元素，则n n个特征值的最后个特征值的最后r r个为无穷大。个为无穷大。3 3）振型的规格化（三种方法）：）振型的规格化（三种方法）：a a）以第一个元素为）以第一个元素为1 1规格化；规格化；b b）以振型中的最大元素为）以振型中的最大元素为1 1规格化；规格化；2 2 2 2、特征值和特征向量的性质、特征值和特征向量的性质、特征值和特征向量的性质、特征值和特征向量的性质3 3）振型的规格化（三种方法）：）振型的规格化（三种方法）：a a）以第一个元素为）以第一个元素为1 1规格化；规格化；b b）以振型中的最大元素为）以振型中的最大元素为1 1规格化；规格化；c c）以矩阵）以矩阵MM、KK进行规格化，使振型满足：进行规格化，使振型满足：这时振型向量的各个元素应除以这时振型向量的各个元素应除以2 2 2 2、特征值和特征向量的性质、特征值和特征向量的性质、特征值和特征向量的性质、特征值和特征向量的性质4 4）振型的正交性）振型的正交性广义特征方程的不同特征值所对应的特征向量广义特征方程的不同特征值所对应的特征向量具有正交性。具有正交性。对于按第三种方法规格化了的特征向量，其关于质量矩阵和刚度矩对于按第三种方法规格化了的特征向量，其关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性，可表达为：阵的正交性，可表达为：2 2 2 2、特征值和特征向量的性质、特征值和特征向量的性质、特征值和特征向量的性质、特征值和特征向量的性质4 4）振型的正交性）振型的正交性设设则特征向量的正交性也可表示为：则特征向量的正交性也可表示为：五、响应分析五、响应分析 响应分析的目的是计算结构在动载荷作用下，节点位移、速度和加速度响应分析的目的是计算结构在动载荷作用下，节点位移、速度和加速度的变化规律。因此响应分析的任务就是求解二阶常微分方程组，的变化规律。因此响应分析的任务就是求解二阶常微分方程组，求解主要有求解主要有1、振型叠加法、振型叠加法根据结构振动理论，在动载荷作用下，结构动态响应可以表示为其各阶根据结构振动理论，在动载荷作用下，结构动态响应可以表示为其各阶主模态振型的线性叠加，即主模态振型的线性叠加，即2、直接积分法、直接积分法是一种纯粹的数值方法。是一种纯粹的数值方法。连续时间区域连续时间区域 离散离散 为为n1离散点离散点 时间间隔时间间隔T/n 每个时间间隔上的状态向量每个时间间隔上的状态向量瞬态分析-术语和概念求解方法求解运动方程求解运动方程直接积分法直接积分法模态叠加法模态叠加法隐式积分隐式积分显式积分显式积分完整矩阵法完整矩阵法缩减矩阵法缩减矩阵法完整矩阵法完整矩阵法缩减矩阵法缩减矩阵法系统的动力响应（振型叠加法）振型叠加法是在积分运动方程之前，利用系统自由振动的固有振型将方程组转换为振型叠加法是在积分运动方程之前，利用系统自由振动的固有振型将方程组转换为n个互个互不耦合的方程，对这种方程进行解析或者进行数值积分。当采用数值积分时，对于每个方不耦合的方程，对这种方程进行解析或者进行数值积分。当采用数值积分时，对于每个方程可以采取各自不同的时间步长，即对于低阶振型可以采取较大的时间步长。当实际分析程可以采取各自不同的时间步长，即对于低阶振型可以采取较大的时间步长。当实际分析的自然时间较长，同时只需要少数较低阶的振型结果时，采用这种方法具有很大的优势。的自然时间较长，同时只需要少数较低阶的振型结果时，采用这种方法具有很大的优势。此时，求解分为两个步骤此时，求解分为两个步骤(1)求解系统的固有频率和固有振型；求解系统的固有频率和固有振型；(2)求解系统的动力响应。求解系统的动力响应。这样的固有振型称为正则振型这样的固有振型称为正则振型系统的动力响应（振型叠加法）1.1.1.1.位移基向量的变换位移基向量的变换位移基向量的变换位移基向量的变换引入变换引入变换引入变换引入变换a a(t t)看作看作看作看作f f f fi i i i的线性组合，的线性组合，的线性组合，的线性组合，f f f fi i可以看作是广义的位移基向量，可以看作是广义的位移基向量，可以看作是广义的位移基向量，可以看作是广义的位移基向量，x xi i是广义位移。从数学是广义位移。从数学是广义位移。从数学是广义位移。从数学上看，是将位移向量从以有限元系统的节点位移为基向量上看，是将位移向量从以有限元系统的节点位移为基向量上看，是将位移向量从以有限元系统的节点位移为基向量上看，是将位移向量从以有限元系统的节点位移为基向量的的的的n n维空间转换到以维空间转换到以维空间转换到以维空间转换到以f f f fi i为为为为基向量的基向量的基向量的基向量的n n维空间维空间维空间维空间。此时，代入运动方程并左乘此时，代入运动方程并左乘此时，代入运动方程并左乘此时，代入运动方程并左乘F FF FT T，注意正交性，注意正交性，注意正交性，注意正交性，可转为新的基向量下的运动方程，可转为新的基向量下的运动方程，可转为新的基向量下的运动方程，可转为新的基向量下的运动方程，系统的动力响应（振型叠加法）阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比系统的动力响应（振型叠加法）2.2.2.2.求解单自由度系统振动方程求解单自由度系统振动方程求解单自由度系统振动方程求解单自由度系统振动方程可以采用直接积分方法，稍后提到。可以采用直接积分方法，稍后提到。可以采用直接积分方法，稍后提到。可以采用直接积分方法，稍后提到。3.3.3.3.振型叠加得到系统响应振型叠加得到系统响应振型叠加得到系统响应振型叠加得到系统响应系统的动力响应（振型叠加法）在振型叠加法中，将系统位移转换到以固有振型为基向量的空间，这对系统的性质并无影响，而是以求解广义特征值为代价，得到n个单自由度的运动方程。振型叠加法中对于n个自由度系统运动方程的积分，比对联立方程组的直接积分节省计算时间。需要注意的是(1)有限元高频成分对于系统的实际影响较小，所以通常求前p个特征解的响应；(2)有限元高阶特征解与实际情况相差较大，因此，用有限元求高阶特征解的意义不大，此时，需要采用其它方法。对于非线性系统通常采用直接积分法，此时，无法采用振型叠加法。对于一般的n个自由度系统，如果只积分p个单自由度系统的运动方程，即使积分是精确的，最后得到的系统响应也会由于忽略高阶振型而引入误差。系统的动力响应中心差分法中心差分法中心差分法中心差分法系统的动力响应(cont.)中心差分法是显式算法；中心差分法是条件稳定算法；中心差分法比较适合冲击、爆炸等载荷引起的波传播问题；不适合结构动力学问题。结构的动力响应通常低频成分是主要的，从计算精度考虑，允许采用较大的时间步长。此时需要采用无条件稳定的隐式算法，如Newmark算法。系统的动力响应(cont.)NewmarkNewmark方法方法 NewmarkNewmark方法求解步骤方法求解步骤 1.1.NewmarkNewmark方法是隐式算法。方法是隐式算法。2.2.当当d d0.5,0.5,a a0.25(0.54+d d)2时，算法时，算法是无条件稳定的。是无条件稳定的。例题：例题：(1)中心差分法中心差分法解：解：中心差分计算结果中心差分计算结果(2)Newmark(2)Newmark方法方法Newmark计算结果GuyanGuyan减缩减缩 通过通过GuyanGuyan减缩，自由度会凝聚到所定义的主自由度节点上，通过将节点分为主减缩，自由度会凝聚到所定义的主自由度节点上，通过将节点分为主从节点，同时销去从节点自由度，可以得到刚度和质量超单元矩阵为从节点，同时销去从节点自由度，可以得到刚度和质量超单元矩阵为 凝聚之后有凝聚之后有 这个方程可以通过这个方程可以通过CholeskyCholesky分解转换为标准形式。分解转换为标准形式。求解之后的从节点位移可以从主节点得到，求解之后的从节点位移可以从主节点得到，