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6-1空间解析几何基础北京理工大学数学系北京理工大学数学系注意：谢绝拷贝课件，有需要上教学平台下载上课不迟到，不早退，不旷课（10分）按时交作业（10分）有事课前请假，三次以内不记旷课建议课前预习，五分钟走马观花按照以前答疑安排，每周一下午北京理工大学数学系北京理工大学数学系第六章空间解析几何与向量代数6.1 空间直角坐标系空间直角坐标系6.2 向量及其线性运算向量及其线性运算北京理工大学数学系北京理工大学数学系给出了几何问题的统一笛卡儿笛卡儿(1596 1650)法国哲学家,数学家,物理学家,解析几何奠基人之一.1637年他发表的几何学论文分析了几何学与 代数学的优缺点,进而提出了“另外 一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中的转折点.把几何问题化成代数问题,作图法,北京理工大学数学系北京理工大学数学系横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系.一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系北京理工大学数学系北京理工大学数学系面面面面面面一个中心、三个一个中心、三个轴、轴、三个面、三个面、八个卦限八个卦限北京理工大学数学系北京理工大学数学系空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点北京理工大学数学系北京理工大学数学系二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离北京理工大学数学系北京理工大学数学系空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为北京理工大学数学系北京理工大学数学系解解原结论成立原结论成立.北京理工大学数学系北京理工大学数学系解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为北京理工大学数学系北京理工大学数学系思考题思考题在空间直角坐标系中，指出下列各在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？点在哪个卦限？A:;B:;C:;D:;北京理工大学数学系北京理工大学数学系6.2 向量及其线性运算向量及其线性运算一、向量的概念一、向量的概念二、向量的加减法二、向量的加减法三、数与向量的乘法三、数与向量的乘法四、向量的投影四、向量的投影五、向量的坐标表示五、向量的坐标表示六、向量的方向角与方向余弦六、向量的方向角与方向余弦北京理工大学数学系北京理工大学数学系向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.单位向量：单位向量：或或或或或或一、向量的概念一、向量的概念北京理工大学数学系北京理工大学数学系自由向量：自由向量：不考虑起点位置不考虑起点位置,只考虑大小方向的向量只考虑大小方向的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.记为：记为：向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量.平行向量：平行向量：方向相同或相反的向量方向相同或相反的向量.记为：记为：北京理工大学数学系北京理工大学数学系1 加法：加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若分为同向和反向分为同向和反向（有时也称为三角形法则）（有时也称为三角形法则）二、向量的加减法北京理工大学数学系北京理工大学数学系向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 减法减法北京理工大学数学系北京理工大学数学系三、数与向量的乘法三、数与向量的乘法北京理工大学数学系北京理工大学数学系数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系北京理工大学数学系北京理工大学数学系按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.北京理工大学数学系北京理工大学数学系例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证结论得证结论得证.北京理工大学数学系北京理工大学数学系空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.四、向量的投影北京理工大学数学系北京理工大学数学系空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影北京理工大学数学系北京理工大学数学系空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影注注：投影的结果是一个数量值，可正可负可为零。：投影的结果是一个数量值，可正可负可为零。北京理工大学数学系北京理工大学数学系关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1）北京理工大学数学系北京理工大学数学系定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；北京理工大学数学系北京理工大学数学系关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）北京理工大学数学系北京理工大学数学系五、向量的坐标表示五、向量的坐标表示北京理工大学数学系北京理工大学数学系 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影北京理工大学数学系北京理工大学数学系按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：向量的向量的坐标坐标：向量的向量的坐标表达式坐标表达式：特殊地：特殊地：北京理工大学数学系北京理工大学数学系向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式北京理工大学数学系北京理工大学数学系北京理工大学数学系北京理工大学数学系解解设设为直线上的点，为直线上的点，北京理工大学数学系北京理工大学数学系由题意知：由题意知：北京理工大学数学系北京理工大学数学系非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.六、向量的方向角与方向余弦六、向量的方向角与方向余弦北京理工大学数学系北京理工大学数学系由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式北京理工大学数学系北京理工大学数学系当当 时，时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式北京理工大学数学系北京理工大学数学系方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为北京理工大学数学系北京理工大学数学系北京理工大学数学系北京理工大学数学系北京理工大学数学系北京理工大学数学系解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向或或北京理工大学数学系北京理工大学数学系空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）小结北京理工大学数学系北京理工大学数学系向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（三角形法则、平行四边形法则）（三角形法则、平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）北京理工大学数学系北京理工大学数学系向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.（注意分向量与向量的坐标的（注意分向量与向量的坐标的区别区别）北京理工大学数学系北京理工大学数学系思考题思考题已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.北京理工大学数学系北京理工大学数学系思考题解答思考题解答北京理工大学数学系北京理工大学数学系思考题思考题北京理工大学数学系北京理工大学数学系作业P3：2,6P9：3,7,8,10,13,14人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
