3线性代数线性相关性判定定理.ppt

3.3 线性相关性判定定理线性相关性判定定理定理定理1 1向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示证明证明充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.即有即有故故因因 这这 个数不全为个数不全为0，故故 线性相关线性相关.必要性必要性设设 线性相关，线性相关，则有不全为则有不全为0的数使的数使 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，不妨设不妨设 则有则有即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.向量组向量组 （当（当 时时）线性）线性无关无关的充分必要条件是的充分必要条件是 中中任何一任何一个个向向量都量都不能不能由由其余其余 个向量线性表示个向量线性表示定理定理1的逆否命题的逆否命题例例1 向量组向量组 线性相关的充线性相关的充要条件是要条件是（A）中有一零向量中有一零向量（B）中任意两个向量的分量成比例中任意两个向量的分量成比例（C）中有一向量是其余向量的中有一向量是其余向量的线性组合线性组合（D）中任意一个向量是其余向中任意一个向量是其余向量的线性组合量的线性组合例例2 若向量组若向量组 线性相关，则线性相关，则 是其余向量的线性组合，这种说法对吗？是其余向量的线性组合，这种说法对吗？不对不对例如例如但但 不能写成其余向量的线性组合不能写成其余向量的线性组合所以线性相关所以线性相关由于由于例例3 假定假定 能用能用 表示为表示为问向量组问向量组 是否线性相关？是否线性相关？由定理由定理1知知 线性相关线性相关.,:,:121且表示式是唯一的且表示式是唯一的线性表示线性表示必能由向量组必能由向量组向量向量则则线性相关线性相关组组而向量而向量线性无关线性无关设向量组设向量组ABArra aa aa aa aa aLL定理定理2证证设设线性无关，线性无关，而向量组而向量组线性相关，线性相关，k，（，（否则与否则与线性无关线性无关矛盾）矛盾）可由可由线性表示线性表示.即有即有下证下证唯一性唯一性：两式相减有两式相减有线性无关，线性无关，即表达式唯一即表达式唯一.设设定理定理2的逆否命题的逆否命题 设向量组设向量组A：线性无关，而向量线性无关，而向量不能不能由向量组由向量组A线性表示，则向量组线性表示，则向量组B：线性线性无关无关。（A）如果存在不全为零的数）如果存在不全为零的数 使使则则 线性无关线性无关（B）若向量组）若向量组 线性相关，线性相关，则则 可由其余向量线性表示可由其余向量线性表示（C）向量组）向量组 线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是 不能由其余不能由其余m1个向量线性表示。个向量线性表示。（D）若）若 不线性相关，则一定线性无关不线性相关，则一定线性无关例例4 设设 是一组是一组n维向量，则下列结维向量，则下列结论正确的是论正确的是例例5 命题：如果命题：如果 线性无关，且线性无关，且 不能由不能由 线性表示则线性表示则 线性无关。是否为真命题？线性无关。是否为真命题？答答此命题为定理此命题为定理2 的逆否命题，所以为真命题的逆否命题，所以为真命题例例6 命题：设命题：设 可由可由 线性表示，线性表示，且表示法唯一，则且表示法唯一，则 线性无关。是线性无关。是否为真命题？否为真命题？证证由已知由已知 可由可由 线性表示线性表示存在一组数存在一组数 使得使得设设两式相加得两式相加得因因 由由 唯一的线性表示唯一的线性表示所以所以所以所以即即 线性无关线性无关所以此命题为所以此命题为真命题真命题,也线性相关。也线性相关。若干个向量后所得的向量组若干个向量后所得的向量组线性相关线性相关若向量组若向量组,21ra aa aa aL定理定理3,2ra aa aLa a1则增加则增加证证因为因为线性相关线性相关故存在一组不全为零的数故存在一组不全为零的数使使从而从而其中其中不全为零不全为零所以所以线性相关线性相关部分相关则整体相关部分相关则整体相关整体无关则部分无关整体无关则部分无关例例7 n维向量组维向量组 线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是（A）存在一组不全为零的数）存在一组不全为零的数使使（B）中任意两个向量均线性无关中任意两个向量均线性无关（C）中存在一个向量不能由其余中存在一个向量不能由其余向量线性表示向量线性表示（D）中任意一个向量都不能用其中任意一个向量都不能用其余向量线性表示余向量线性表示例例8 设向量组设向量组 线性相关，向量组线性相关，向量组 线性无关，问线性无关，问 能否由能否由 线性表示？证明你的结论线性表示？证明你的结论解解能能因为因为 线性无关，线性无关，所以所以 线性无关线性无关整体无关则部分无关整体无关则部分无关而而 线性相关线性相关由定理由定理2，可唯一的由可唯一的由 线性表示线性表示1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A 例如例如 1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A 是是A的一个二阶子式的一个二阶子式 定理定理4 设设n维行向量组维行向量组A：构成一个构成一个r n型矩阵型矩阵其中其中r n，则向量组，则向量组A线性无关的充分必要条线性无关的充分必要条件是：在矩阵件是：在矩阵A中至少存在一个不等于零的中至少存在一个不等于零的r阶阶子式子式定理定理4当当rn时，我们有如下推论时，我们有如下推论推论推论1 n个个n维向量线性无关的充要条件是它维向量线性无关的充要条件是它们所构成的们所构成的n阶方阵的行列式不等于零。阶方阵的行列式不等于零。推论推论2 n个方程的个方程的n元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax0有有非零解的充要条件是系数行列式非零解的充要条件是系数行列式推论推论3 当当mn时，时，m个个n维向量维向量一定线性相关。这就是说，向量的个数超过一定线性相关。这就是说，向量的个数超过维数的向量组一定线性相关。维数的向量组一定线性相关。例例 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性解解矩阵矩阵A中有中有3个个2维行向量，由推论维行向量，由推论3知必线知必线性相关。性相关。因为因为 由推论由推论1知知B的三个行向量线的三个行向量线性无关。性无关。矩阵矩阵C的的4个个3阶子式全为零，故阶子式全为零，故C的的3个行个行向量线性相关。向量线性相关。（定理（定理4的逆否命题）的逆否命题）推论推论4 如果在如果在m n型矩阵型矩阵A中有一个中有一个r阶子式阶子式，则含有则含有D的的r个行向量和个行向量和r个列向量都线个列向量都线性无关；如果性无关；如果A中所有中所有r阶子式全等于零，则阶子式全等于零，则A的的任意任意r个行向量及任意个行向量及任意r个列向量都线性相关。个列向量都线性相关。