高考北京理科数学试题及答案word解析版.pdf
20132013 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷北京卷)数学数学(理科）理科）第第一部分一部分(选择题选择题共共 4040 分分)一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分,共共 4040 分，在每小题给出的四个选项中分，在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项选出符合题目要求的一项（1)【2013 年北京，理 1,5 分】已知集合，则（)（A）（B）（C）(D）【答案】B【解析】，故选 B（2）【2013 年北京，理 2，5 分】在复平面内,复数对应的点位于（）(A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】D【解析】，该复数对应的点位于第四象限,故选 D（3)【2013 年北京，理 3，5 分】“”是“曲线过坐标原点的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】,，曲线过坐标原点，故充分性成立；过原点，故必要性不成立，故选A（4）【2013 年北京，理 4,5 分】执行如图所示的程序框图，输出的值为()（A)1(B）（C）（D）【答案】C【解析】依次执行的循环为,；，；，,故选 C（5）【2013 年北京，理 5,5 分】函数的图象向右平移1 个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】依题意，向右平移1 个单位之后得到的函数应为,于是相当于向左平移1 个单位的结果，故选D（6)【2013 年北京，理 6，5 分】若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）（A)（B)（C)（D）【答案】B【解析】由离心率为,可知，渐近线方程为，故选B(7）【2013 年北京,理 7，5 分】直线过抛物线的焦点且与轴垂直,则与所围成的图形的面积等于（）（A）(B）2（C）（D)【答案】C【解析】由题意可知,的方程为如图，点坐标为,所求面积，故选 C(8）【2013 年北京，理 8，5 分】设关于，的不等式组，表示的平面区域内存在点，满足,求得的取值范围是（）（A）(B）（C）（D）【答案】C【解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含上的点,只需要可行域的边界点在下方,也就是，即，故选C第第二部分二部分(非选择题非选择题共共 110110分分)二、填空题：共二、填空题：共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分（9)【2013 年北京，理 9，5 分】在极坐标系中，点到直线的距离等于【答案】【解析】在极坐标系中,点对应直角坐标系中坐标为,直线对应直角坐标系中的方程为，所以点到直线的距离为11（10)【2013 年北京，理 10，5 分】若等比数列满足,，则公比；前项和【答案】2；【解析】由题意知由，（11)【2013 年北京，理 11,5 分】如图，为圆的直径,为圆的切线，与圆相交于，若，则_；_【答案】，【解析】设，则由切割线定理可得,，即，可得,在中,AB=（12）【2013 年北京，理12，5 分】将序号分别为1,2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是_【答案】96【解析】连号有 4 种情况,从 4 人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列,则不同的分法有(种）（13)【2013 年北京，理 13，5 分】向量，在正方形网格中的位置如图所示，若，则_【答案】4【解析】可设，为单位向量且，则，由，解得，(14）【2013 年北京，理 14，5 分】如图，在棱长为 2 的正方体中，为的中点，点在线段上,点到直线的距离的最小值为_【答案】【解析】过点作垂直底面,交于点，连接，过点作垂直于底面，交于点，点到直线 CC1的距离就是，故当垂直于时，点到直线距离最小,此时，在中，,，三、解答题：共三、解答题：共 6 6 题，共题，共 8080 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15）【2013 年北京，理 15，13 分】在中，,（1）求的值；（2）求的值解：（1)因为,，所以在中，由正弦定理得所以故（2)由（1）知，cos A=,所以又因为,所以在中,(16）【2013 年北京,理 16,13 分】下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100 表示空气质量优良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染某人随机选择3 月 1 日至 3 月 15 日中的某一天到达该市，并停留 2 天（1）求此人到达当日空气重度污染的概率;(2）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望；（3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明)解：设表示事件“此人于 3 月日到达该市”根据题意,，且（1）设为事件“此人到达当日空气重度污染”，则(2）由题意可知，所有可能取值为0,1,2，且；所以 X 的分布列为：X012P故 X 的期望（3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大（17）【2013 年北京,理 17，14 分】如图，在三棱柱中，是边长为4 的正方形平面平面，,（1）求证：平面；(2）求证二面角的余弦值（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值2解：（1）因为为正方形,所以因为平面平面,且垂直于这两个平面的交线，所以平面（2）由（1）知，由题知，,所以如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则,即令，则,，所以同理可得，平面的法向量为所以 cosn n，m m=由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为(3）设是直线上一点，且，所以解得，所以由，即，解得因为，所以在线段上存在点，使得此时,（18)【2013 年北京,理 18，13 分】设为曲线在点处的切线（1）求的方程；（2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方解：(1）设，则所以所以的方程为（2)令，则除切点之外,曲线在直线的下方等价于满足,且当时，所以，故单调递减；当时，所以,故单调递增所以,所以除切点之外,曲线在直线的下方（19）【2013 年北京，理 19，14 分】已知是椭圆上的三个点，是坐标原点（1）当点是的右顶点,且四边形为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由解：(1）椭圆右顶点 B 的坐标为因为四边形为菱形，所以与相互垂直平分所以可设，代入椭圆方程得，即所以菱形的面积是(2）假设四边形为菱形因为点不是的顶点，且直线不过原点，所以可设的方程为由，消并整理得设,，则，所以的中点为因为为和的交点，所以直线的斜率为因为，所以与不垂直所以不是菱形，与假设矛盾所以当点不是的顶点时，四边形不可能是菱形(20)【2013 年北京，理 20，13 分】已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为,第项之后各项的最小值记为，（1）若为，是一个周期为 4 的数列(即对任意，），写出的值；(2)设是非负整数，证明:的充分必要条件为是公差为的等差数列;（3)证明：若，则的项只能是 1 或者 2，且有无穷多项为 1解:（1),（2)（充分性）因为是公差为的等差数列，且,所以因此，(必要性）因为,所以又因为，所以于是，因此，即是公差为的等差数列（3）因为，所以,故对任意，假设中存在大于 2 的项设为满足的最小正整数，则，并且对任意,又因为，所以，且于是，,故,与矛盾所以对于任意，有,即非负整数列的各项只能为1 或 2因为对任意，所以故因此对于任意正整数，存在满足,且，即数列有无穷多项为13
