2007年考研数学三真题及解析.pdf

20072007 年考研数学（三）真题年考研数学（三）真题一选择题选择题（本题共 10 分小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1）当x 0时，与x等价的无穷小量是（）A.1exB.ln(1 x)C.1 x 1D.1 c o sx（2）设函数f(x)在x 0处连续，下列命题错误的是：()f(x)f(x)f(x)存在，则f(0)0B.若lim存在，则f(0)0 x0 x0 xxf(x)f(x)f(x)C.若lim存在，则f(0)存在D.若lim存在，则f(0)存在x0 x0 xxA.若lim（3）如图.连续函数y f(x)在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间2,0,0,2上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设F(x)35A.F(3)F(2)B.F(3)F(2)4435C.F(3)F(2)D.F(3)F(2)44（4）设函数f(x,y)连续，则二次积分x0（）f(t)dt,则下列结论正确的是：dx21sin xf(x,y)dy等于（）A.1010dy2arcsinxf(x,y)dxB.f(x,y)dxD.10dyarcsinyarcsin yf(x,y)dxf(x,y)dxC.dyarcsin y10dy2（5）设某商品的需求函数为Q 1602，其中Q，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（）A.10B.20C.30D.40（6）曲线y 1ln(1ex),渐近线的条数为（）xA.0B.1C.2D.3()（7）设向量组线性无关（A）12,21,31(B)21,23,31（C）122,223,321(D)122,223,321 211100（8）设矩阵A 121，B 010则 A 与 B（）112000-1-（A）合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为()(A)3p(1 p)2(B)6p(1 p)2(C)3p2(1 p)2(D)6p2(1 p)2(10)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fx(x),fy(y)分别表示 X,Y 的概率密度，则在Y y条件下，X的条件概率密度fX Y(x y)为()（A）fX(x)(B)fy(y)(C)fx(x)fy(y)(D)fx(x)fy(y)二、填空题：二、填空题：11-16小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上x3 x21(sin xcosx)_.（11）limx2x x3（12）设函数y 1(n)，则y(0)_.2x3（13）设f(u,v)是二元可微函数，z f(,),则y xx yzz y_.xy（14）微分方程dyy1 y3()满足ydxx2 xx11的特解为_.00（15）设距阵A001 0 0 0 1 0,则A3的秩为_.0 0 10 0 01的概率为_.2(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于三、解答题三、解答题：1724 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分 10 分）设函数y y(x)由方程yln y x y 0确定，试判断曲线y y(x)在点（1，1）附近的凹凸性.（18）（本题满分 11 分）设二元函数-2-x2.f(x,y)1,22x y计算二重积分Dx y 1.1 x y 2.f(x,y)d.其中D(x,y)x y 2（19）（本题满分 11 分）设函数f(x)，g(x)在a,b上内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)g(a)，f(b)g(b)，证明：（）存在(a,b),使得f()g()；（）存在(a,b),使得f()g().（20）（本题满分 10 分）将函数f(x)1展开成x1的幂级数，并指出其收敛区间.2x 3x4(21)(本题满分11分)x1 x2 x3 0设线性方程组x12x2ax3 02x 4x a x3 021与方程x12x2 x3 a1（22）（本题满分 11 分）设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值11,2 2,3 2,1(1,1,1)T是 A 的属于1的一个特征向量.记(1)(2)有公共解，求a的值及所有公共解B A54A3 E，其中 E 为 3 阶单位矩阵.（）验证1是矩阵 B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（）求矩阵 B.（23）（本题满分 11 分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为2 x y,0 x 1,0 y 1.f(x,y)0,其他（）求PX 2Y；（）求Z X Y的概率密度fZ(z).（24）（本题满分 11 分）-3-设总体X的概率密度为 12,0 x,1f(x;),x 1,.2(1)0,其他其中参数(0 1)未知，X1,X2,.Xn是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.（）求参数的矩估计量；（）判断4X2是否为 2的无偏估计量，并说明理由.-4-20072007 年考研数学（三）真题年考研数学（三）真题一、选择题一、选择题（本题共 10 分小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（7）当x 0时，与x等价的无穷小量是（B）A.1exB.ln(1 x)C.1 x 1D.1 c o sx（8）设函数f(x)在x 0处连续，下列命题错误的是：(D)f(x)f(x)f(x)存在，则f(0)0B.若lim存在，则f(0)0 x0 x0 xxf(x)f(x)f(x)C.若lim存在，则f(0)存在D.若lim存在，则f(0)存在x0 x0 xxA.若lim（9）如图.连续函数y f(x)在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间2,0,0,2上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设F(x)035F(2)B.F(3)F(2)44352)C.F(3)F(2)D.F(3)F(44A.F(3)（10）设函数f(x,y)连续，则二次积分A.C.x（C）f(t)dt,则下列结论正确的是：2dx1sin xf(x,y)dy等于（B）xf(x,y)d1010dy2arcsinxf(x,y)dxB.f(x,y)d xD.10d y a r c y s i narcsin yd y a r c y s i n10dyf(x,y)dx2（11）设某商品的需求函数为Q 1602，其中Q，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（D）A.10B.20C.30D.40（12）曲线y 1ln(1ex),渐近线的条数为（D）xA.0B.1C.2D.3(A)（7）设向量组线性无关（A）12,21,31(B)21,23,31(C)122,223,321(D)122,223,321 211100（8）设矩阵A 121，B 010则 A 与 B（B）112000-5-（A）合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为(C)(A)3p(1 p)2(B)6p(1 p)2(C)3p2(1 p)2(D)6p2(1 p)2(10)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fx(x),fy(y)分别表示 X,Y 的概率密度，则在Y y条件下，X的条件概率密度fX Y(x y)为(A)（A）fX(x)(B)fy(y)(C)fx(x)fy(y)(D)fx(x)fy(y)二、填空题：二、填空题：11-16小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上x3 x21(sin xcosx)_0_.（11）limx2x x31(1)n2nn!(n)_.（12）设函数y，则y(0)_2x33n1（13）设f(u,v)是二元可微函数，z f(,),则y xx yzzyy xxy x y 2f1(,)2f2(,).xyxx yyx y2dyy1 y3()满足y（14）微分方程dxx2 xx2.x11的特解为y 1ln x00（15）设距阵A001 0 0 0 1 0,则A3的秩为1.0 0 10 0 013的概率为.24(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于三、解答题三、解答题：1724 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分 10 分）设函数y y(x)由方程yln y x y 0确定，试判断曲线y y(x)在点（1，1）附近的凹凸性.【详解详解】：-6-对方程两边求导得yln y2y1 0 y从而有yx112ln y112ln121(y)2再对两边求导得y(2ln y)yy 0 y yy(2ln y)(yx1)21求在(1,1)的值：yx1 01(2ln1)8所以y y(x)在点(1,1)处是凸的（18）（本题满分 11 分）设二元函数x2.f(x,y)1,22x y计算二重积分Dx y 1.1 x y 2.f(x,y)d.其中D(x,y)x y 2【详解】：积分区域 D 如图，不难发现 D 分别关于 x 轴和 y 轴对称，设D1是 D 在第一象限中的部分，即D1 D(x,y)x 0,y 0利用被积函数f(x,y)无论关于 x 轴还是关于 y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得f(x,y)d 4f(x,y)dDD1设D1 D11 D12，其中D11(x,y)x y 1,x 0,y 0,D12(x,y)1 x y 2,x 0,y 0f(x,y)d 4f(x,y)d 4f(x,y)d4f(x,y)d于是DD1D11D12 4x d4f(x,y)dD11D122由于D11(x,y)0 x 1,0 y 1 x，故22x dxdxD11011x1111dy x2(1 x)dx 034120为计算D12上的二重积分，可引入极坐标(r,)满足x rcos,y rsin.在极坐标系(r,)中x y 1的方程是r 12,x y 2的方程是，r，因而cossincossin-7-12D120,r，故2 cossincossinD12dx2 y202d2cossin1cossinr1dr 2d0rcossin令tan2 t作换元，则 2arctan t，于是:0 2 t:0 1且2dt1t22td,cos,sin，代入即得1t21t21t2D12dx2 y2201112dt2dtd02(1t)2(1t u)012t t2cossin012du2du1111()du22002u2u22 u2 u =11ln22 u2 u1012 1ln2ln(2 1)22 1综合以上计算结果可知Df(x,y)d 4114ln(2 1)4ln(2 1)123（19）（本题满分 11 分）设函数f(x)，g(x)在a,b上内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)g(a)，f(b)g(b)，证明：（）存在(a,b),使得f()g()；（）存在(a,b),使得f()g().【详解】：证明：(1)设f(x),g(x)在(a,b)内某点c(a,b)同时取得最大值，则f(c)g(c)，此时的 c 就是 所 求 点使得f()g(.若 两 个 函 数 取 得 最 大 值 的 点 不 同 则 有 设)gf(cx)g(c)0,g(d)f(d)0，由介值定理，在(c,d)内肯故有f(c)m a fx x(g),d(定存在使得f()g()(2)由(1)和罗尔定理在区间(a,),(,b)内分别存在一点1,2,使得f(1)f(2)0 在区间(1,2)内再用罗尔定理，即存在(a,b)，使得f()g().-8-（20）（本题满分 10 分）将函数f(x)【详解详解】：1展开成x1的幂级数，并指出其收敛区间.2x 3x41111()(x4)(x1)5 x13x1211115 x135 x1211111x1n记f1(x)()()5 x4151(x1)15n033x1其中1 2 x 43f(x)11111x1nf2(x)()()(1)n5 x1101(x1)10n022x1其中1 1 x 221x1n1x1n则f(x)()()(1)n15n0310n02故收敛域为：1 x 2(21)(本题满分11分)x1 x2 x3 0设线性方程组x12x2ax3 02x14x2a x3 0与方程x12x2 x3 a1(2)有公共解，求a的值及所有公共解【详解详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组(1)x1 x2 x3 0 x 2x ax 01232x 4x a x3 012x 2x x a1231(3)的解.011 1011102a001a10方程组(3)有解的充要条件为a 1,a 2.即距阵214a00010121a100 a23a40当a 1时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为T此时的公共解为：x k,k 1,2,(1,0,1)-9-11 1122当a 2时，方程组(3)的系数距阵为1441 1 1x1 0,x21,x3 1，即公共解为：k(0,1,1)T（22）（本题满分 11 分）01000010110011000 0此时方程组(3)的解为10设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值11,2 2,3 2,1(1,1,1)T是 A 的属于1的一个特征向量.记B A54A3 E，其中 E 为 3 阶单位矩阵.（）验证1是矩阵 B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（）求矩阵 B.【详解】：（）可以很容易验证An11n1(n 1,2,3.)，于是53B1(A 4 A E)1(154131)1 21于是1是矩阵 B 的特征向量.B 的特征值可以由 A 的特征值以及 B 与 A 的关系得到，即(B)(A)54(A)31，所以 B 的全部特征值为2，1，1.前面已经求得1为 B 的属于2 的特征值，而 A 为实对称矩阵，于是根据 B 与 A 的关系可以知道 B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于 1 的特征向量为(x1,x2,x3)T，所以有方程如下：x1 x2 x3 0于是求得 B 的属于 1 的特征向量为2(1,0,1)T,3(1,1,0)TT因而，矩阵 B 属于 2的特征向量是是k1(1,1,1)，其中k1是不为零的任意常数.TT矩阵 B 属于1的特征向量是是k2(1,1,0)k3(1,0,1)，其中k2,k3是不为零的任意常数.（）由B1 21,B22,B33,有令矩阵B(1,2,3)(21,2,3)，则P BP diag(2,1,1)，所以-10-1那么21 1 13 3B (2,112,3)(1,2,3)21 1 11 00303201 10 1 110 330（23）（本题满分 11 分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)2 x y,0 x 1,0 y 1.0,其他（）求PX 2Y；（）求Z X Y的概率密度fZ(z).【详解】：（）PX 2Y(2 x y)dxdy，其中 D 为0 x 1,0 y 1中x 2y的那部分区域；D1求此二重积分可得PX 2Y12x0dx0(2 x y)dy10(x528x)dx724（）FZ(z)PZ z PX Y z当z 0时，FZ(z)0；当z 2时，FZ(z)1；当0 z 1时，FzZ(z)0dxzx0(2 x y)dy 13z3 z2当1 z 2时，F111325Z(z)1z1dxzx(2 x y)dy 3z 2z 4z 32z z2,0 z 于是f1z2Z(z)4z 4,1 z 20,其他（24）（本题满分 11 分）设总体X的概率密度为-11-12,0 x,1f(x;),x 1,.2(1)0,其他其中参数(0 1)未知，X1,X2,.Xn是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.（）求参数的矩估计量；（）判断4X2是否为2的无偏估计量，并说明理由.【详解详解】：（）记EX，则 EX x2dx1x02(1)dx1142，解出 212，因此参数的矩估计量为 2X 12；（）只须验证E(4X2)是否为 2即可，而E(4X2)4E(X2)4(DX(EX)2)4(1DX(EX)2n)，而EX 112，EX216(1 224)，DX EX2(EX)2512481212，于是E(4X2)53n3n13n112n3n3n22因此4X2不是为2的无偏估计量.-12-