2009年全国高考安徽理科数学试题答案.pdf
20092009 年高等学校招生考试（安徽卷）年高等学校招生考试（安徽卷）数学（理科）试题数学（理科）试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，参考公式：S 表示底面积，h 表示底面的高如果事件 A、B 互斥，那么棱柱体积V S hP(A+B)=P(A)+P(B)棱锥体积V 第 I 卷(选择题共 50 分)一.选择题：本大题 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）i 是虚数单位，若1 7i2 i a bi(a,b R)，则乘积ab的值是（B）13S h（A）-15（B）-3（C）3（D）15（2）若集合A x|2x 1|3,B x2x 1 0,则 AB 是（D）3 x1（A）x 1 x 或 2 x 3 (B)x 2 x 32 (C)x 11 x 2 (D)x 1 x 2262（3）下列曲线中离心率为（A）x2的是（B）x22y24 1（B）4y22x 1（C）24y26 1（D）x24y210 1(4)下列选项中，p 是 q 的必要不充分条件的是（A）（A）p:a cb+d,q:ab 且 cdx（B）p:a1,b1，q:f(x)a b(1 a 0)的图像不过第二象限（C）p:x=1,q:x x（D）p:a1,q:f(x)logax(1 a 0)在(0,)上为增函数（5）已知an为等差数列，a1+a3+a5=105，a2 a4 a6=99.以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（B）（A）21（B）20（C）19（D）18（6）设ab,函数y (x a)(x b)的图像可能是（C）22x 04（7）若不等式组x 3y 4所表示的平面区域被直线y kx 33x y 4分为面积相等的两部分，则34k的值是（A）（A）73（B）37（C）43（D）（8）已知函数f(x)3 sinx cosx(0)，y f(x)的图像与直线y 2的两个相邻交点的距离等于，则f(x)的单调区间是（C）（A）k（C）k12,k512,k Z（B）k5,k11,k Z12123,k6,k Z（D）k6,k23,k Z（9）已知函数f(x)在 R 上满足f(x)2 f(2 x)x2 8x 8，则曲线y f(x)在点处的切线方程是（A）(1,f(1)（A）y 2x 1（B）y x（C）y 3x 2（D）y 2x 3（10）考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（D）（A）175275375475（B）（C）（D）二填空题：本大题共二填空题：本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525分，把答案填在答题卡的相应位置。分，把答案填在答题卡的相应位置。(11）若随机变量X(,2)，则P(X)=_.解答：12(12)以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单 x 1 2 cos位。已知直线的极坐标方程为(R)，它与曲线（为参数）相交y 2 2 sin4于两点 A 和 B，则|AB|=_.解答：14(13)程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_.解答：127 （14）给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 上变动.若OC xO A yO B,其中x,y R,则x y的最大值是=_.解答：2（15）对于四面体 ABCD，下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。1相对棱 AB与 CD 所在的直线异面；2由顶点 A 作四面体的高，其垂足是BCD 的三条高线的交点；3若分别作ABC和ABD的边 AB上的高，则这两条高所在的直线异面；4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；5 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。14解答：5三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7575分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的指定区域内。答写在答题卡的指定区域内。（16）（本小题满分（本小题满分 1212分）分）在ABC中，sin(C-A)=1,sinB=（I）求 sinA的值；(II)设 AC=6，求ABC的面积。13。（16）本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分本小题满分 1212分分解：（I）由sin(C A)1,C A,知C A 又A B C,所以2 A B 2,即2 A 2。4.2 B,0 A 故cos 2 A sin B,1 2 sin2A 13,sin A 33.(II)由（I）得：cos A 又由正弦定理，得：所以SABC1263.ACsin B12sin Asin BBCsin A,BC AC 32,AC BC sin C AC BC cos A 32.（17）（本小题满分（本小题满分 1212分）分）某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其中只有 A 到过疫区B肯定是受 A 感染的。对于 C，因为难以断定他是受 A 还是受 B感染的，于是假定他受 A 和受 B感染的概率都是1213。同样也假定 D 受 A、B和 C 感染的概率都是。在这种假定之下，B、C、D 中直接受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量。写出 X 的分布列(不要求写出计算过程),并求 X 的均值（即数学期望）.（17）本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分 12 分。解：随机变量 X 的分布列是X 的均值EX 113 2 12 316XP116113212316。附：X 的分布列的一种求法共有如下 6 种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：61ABCDABCDABCDABDCACDB在情形和之下，A 直接感染了一个人；在情形、之下，A 直接感染了两个人；在情形之下，A 直接感染了三个人。（18）（本小题满分（本小题满分 1313分）分）如图，四棱锥 F-ABCD的底面 ABCD 是菱形，其对角线 AC=2，BD=2，AE、CF 都与平面 ABCD 垂直，AE=1，CF=2。（I）求二面角 B-AF-D的大小；（II）求四棱锥 E-ABCD与四棱锥 F-ABCD公共部分的体积。(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分 13 分。解：（I）(综合法综合法)连接 AC、BD交于菱形的中心 O，过 O 作 OGAF，G 为垂足。连接 BG、DG。由 BDAC,BDCF,得：BD平面 ACF，故 BDAF.于是 AF平面 BGD,所以 BGAF,DGAF,BGD为二面角 B-AF-D 的平面角。由 FCAC,FC=AC=2,得FAC=4,OG=22.2由 OBOG,OB=OD=22,得BGD=2BGO=.(向量法向量法)以 A 为坐标原点，BD、AC、AE方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).于是B(22,1,0),D(22,1,0),F(0,2,2).2n1 AB 0 x y 0设平面 ABF 的法向量n1(x,y,z)，则由 得2。2 y 2z 0n1 AF 0 x 2令z 1,得，n1(2,1,1)y 1 同理，可求得平面 ADF 的法向量n2(2,1,1)。由n1n2 0知，平面 ABF与平面 ADF 垂直，二面角 B-AF-D 的大小等于2。（II）连 EB、EC、ED，设直线 AF与直线 CE相交于点 H，则四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD的公共部分为四棱锥 H-ABCD。过 H 作 HP平面 ABCD，P 为垂足。因为 EA平面 ABCD，FC平面 ABCD，所以平面 ACFE平面 ABCD，从而P AC,HP AC.由HPCFHPAEAPAC12PCAC 1,得HP 2,23。又因为S菱 形 ABCDAC BD 故四棱锥 H-ABCD的体积V（19）（本小题满分（本小题满分 1212分）分）已知函数f(x)x 2x13S菱 形 ABC D HP 229.a(2 ln x),a 0，讨论f(x)的单调性.(19)本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分 12 分。解：f(x)的定义域是(0,+),f(x)122x2axx ax 2x222.设g(x)x ax 2,二次方程g(x)0的判别式 a 8.2 当 a 8 0,a 0，即0 a 22时，对一切x 0都有f(x)0.此时f(x)在(0,)上是增函数。2 当 a 8 0,a 0,即a 22时，仅对x 2有f(x)0,对其余的x 0都有f(x)0,此时f(x)在(0,)上也是增函数。2 当 a 8 0,a 0，即a 22时，方程g(x)0有两个不同的实根x1a a 822,x2a a 822,0 x1 x2.xf(x)f(x)(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,)+单调递增a 20极大a 82_单调递减a 0极小2+单调递增2此时f(x)在(0,)上单调递增,在(a 8a a 8,)是上单调递减,22在(a a 822,)上单调递增.（20）（本小题满分（本小题满分 1313分）分）点P(x0,y0)在椭圆l2与直线l1:x0a2xay0b222yb22 1(a b 0)上，x0 a cos,y0 b sin,0 2.直线x y 1垂直，O 为坐标原点，直线 OP 的倾斜角为，直线l2的倾斜角为.（I）证明:点P是椭圆xa22yb22 1与直线l1的唯一交点；（II）证明:tan,tan,tan构成等比数列。（20）本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分 13 分。解：（I）（方法一）由x0a2x y0b2y 1得y b22a y0(a x0 x),代入椭圆2xa22yb22 1,得(1a2b x0a y04222)x22b x0a y022x (b22y01)0.x0 a cos222将代入上式,得x 2a cos x a cos 0,从而x a cos.y0 b sin2 x2y 1x x0a2b2因此,方程组有唯一解,即直线l1与椭圆有唯一交点 P.y y0 x0 x y0y 122b a(方法二)显然 P 是椭圆与l1的交点，若 Q(a cos1,b sin1),0 1 2是椭圆与l1的交点，代入l1的方程cosax sinby 1，得coscos1 sinsin1 1,即cos(1)1,1,故 P 与 Q 重合。xa22（方法三）在第一象限内，由yb22 1可得y bx0baa x,y022baa x0,22椭圆在点 P 处的切线斜率k y(x0)2aa x0y0yb222 b x0a y022,切线方程为y b x0a y02(x x0)y0,即x0 xa2 1。因此，l1就是椭圆在点 P 处的切线。根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线l1的唯一交点。（II）tany0 x0batan,l1的斜率为x0by0a22,l2的斜率为tany0ax0b22abtan,由此得tantan tan2 0,tan,tan,tan构成等比数列。（21）（本小题满分（本小题满分 1313分）分）首项为正数的数列an满足an114(an 3),n N.2（I）证明：若a1为奇数，则对一切n 2,an都是奇数；（II）若对一切n N都有an1 an，求a1的取值范围。（21）本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13 分。解：（I）已知a1是奇数，假设ak 2m 1是奇数，其中m为正整数，ak 342则由递推关系得ak 1 m(m 1)1是奇数。根据数学归纳法，对任何n N，an都是奇数。（II）（方法一）由an1 an14(an 1)(an 3)知，an1 an当且仅当an 1或an 3。1 34另一方面，若0 ak 1,则0 ak 1 1；若ak 3，则ak 13 342 3.根据数学归纳法，0 a1 1,0 an 1,n N;a1 3 an 3,n N.综合所述，对一切n N都有an1 an的充要条件是0 a1 1或a1 3。a1 34222（方法二）由a2an 342 a1,得a1 4a1 3 0,于是0 a1 1或a1 3。an1 anan1 342(an an1)(an an1)4,因为a1 0,an1an 34,所以所有的an均大于 0，因此an1 an与an an1同号。根据数学归纳法，n N，an1 an与a2 a1同号。因此，对一切n N都有an1 an的充要条件是0 a1 1或a1 3。
