2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准(加试)(定稿)5568.pdf

B E C F 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准 加 试 一、（本题满分 40 分）如图，E、F 分别是ABC，ACD 的内心，AC 平分BAD，AC2ABAD，延长 EC 交 CDF 的外接圆于点 K，延长 FC 交BCE 的外接圆于点 R若 RKEF，求证：点 A 是BCD 的外心 R A K 证明：如图，连接 ER，FK 因为BACCAD，AC2ABAD，D 所以ABCADC，ABCACD 又EBC1ABC，ACF 1 ACD，2 所以EBCACF.2 B 由EBCERC 得，ERCACF，E R 所以 ERAC A C F K 同理 FKAC，于是 ERFK 20 分 D 又因为 RKEF，所以四边形 EFKR 为平行四边形，从而 ERFK 因为 ERAC，所以RECECAECB 又因为EBCERC，ECEC，所以BECECR，从而 BCER 同理，CDFK，所以 BCCD AC AD CD 由ABACBC1，得ABCADC，于是 ABACAD，即 A 为BCD 外接圆的外心.40 分 n2 3(3)33 二、（本题满分 40 分）求所有的正整数 n，使得对于任意正实数 a、b、c 满足 abc1，有 abc(anbncn)1 3 解：（1）当 n3 时，取 a 2 bc 1 3，6，则 abc(anbncn)1 (2n1 1 1 1 所以 n3 不满足题意 3n3 2n2n 3n2 10 分 （2）当 n1 时，abc(abc)abc abc 3 1，所以 n1 时，满足题意 20 分 （3）当 n2 时，原不等式也成立 令 xabbcca，则 a2b2c212x，由(abbcca)23abc(abc)，得 3abcx2 于是，abc(a2b2c2)1x2(12x)因此 0 x 1 1 2 2x)1 xx12x 3 1 2，从而3x(1 3(3)34 即 abc(a2b2c2)1 2 2x)1 40 分 3x(1 34 )三、（本题满分 50 分）设 n 为正整数，求满足以下条件的三元正整数组a，b，c的个数：（1）abn；（2）1cb；（3）a、b、c 的最大公约数为 1 解：用(a，b，c)表示 a、b、c 的最大公约数 令 Sna，b，c|a、b、c 为正整数，abn，1cb，(a，b，c)1，记 Sn 中元素的个数为 f(n)(nN*)显然 f(1)1 如果 np，其中 p 为素数，1设a，b，cSn，若 b1，则 ap，c1；若 bpt，1t1，则 apt，(c，p)1，1cb；若 bp，则 a1，1cb 因此，f(p)1 1 t pp1p(这里(x)为 Euler 函数)(p)t=1 20 分 下证：如果 m，n 为互素的正整数，那么 f(mn)f(m)f(n)首先，对每个a，b，cSmn由于 abmn 令 b1(b，n)，b2(b，m)，那么(b1，b2)1，再令 a1(a，n)，a2(a，m)，那么(a1，a2)1，而且 a1b1n，a2b2m 因为 1(a，b，c)(a1a2，b1b2，c)(a1a2，b1b2)，c)(a1，a2)(b1，b2)，c)那么(a1，b1，c)1，(a2，b2，c)1，令 cic(modbi)，1cibi，i1，2 那么(a1，b1，c1)1，(a2，b2，c2)1，因此，a1，b1，c1Sn，a2，b2，c2Sm 30 分其次，若a1，b1，c1Sn，a2，b2，c2Sm 令 aa1a2，bb1b2由于(m，n)1，从而(b1，b2)1 cc1(modb1)由中国剩余定理，存在唯一的整数 c，1cb，满足 cc2(modb2)40 分显然(a1，b1，c)(a1，b1，c1)1，(a2，b2，c)(a2，b2，c2)1，从而(a，b，c)(a，b)，c)(a1，b1)(a2，b2)，c)(a1，b1，c)(a2，b2，c)1 因此，a，b，cSmn 所以，f(mn)f(m)f(n)利用可知，f(n)n(11).50 分 p|n p 四、（本题满分 50 分）设 a、b、c、d、e 为正实数，且 a2b2c2d2e22若 5 个正三角形的面积分别为 a2，b2，c2，d2，e2求证：这五个三角形中存在四个能覆盖面积为 1 的正三角形 ABC 证明：不妨设 abcde0 若 a1，则面积为 a2 的三角形可覆盖ABC.10 分 若 a1，则必有 bc1，这是因为当 c 1 bc，则 bc1；当 c 1 2时，由于 又 a1，则 b22a2c2d2e213c2(1c)2，2时，所以 bc1，从而 ac1，ab1.20 分 用面积为 a2，b2，c2 的三个三角形覆盖的ABC，使得每个三角形都分别有一个顶点与ABC的一个顶点重合，且有两条边在ABC 的两条边上于是，这三个三角形两两相交 若这三个三角形能覆盖ABC，则结论成立否则有 (ab1)(bc1)(ca1)1，得 2abc0 30 分令中间不能被 a2，b2，c2 的三个三角形所覆盖的正三角形面积为 f 2，则 f 21(a2b2c2)(ab1)2(bc1)2(ca1)2(2abc)2，得 f2abc.40 分 下证：d f 若 d 1 1 1 2，由 abcd2，则 f2abc2，从而 df 若 d 1 2 2 2 2 2 2 2，由 a、b、c1，有 d2d d e 2a b c 2abcf 所以，面积为 d2 的正三角形可以覆盖ABC 不能被面积 a2，b2，c2 覆盖的部分 50 分