2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)(福建卷)652.pdf

1 2004 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）（福建卷）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合 U=1，2，3，4，5，A=1，3，5，B=2，3，5，则 （AB）等于 （A）1，2，4（B）4（C）3，5（D）215cot15tan的值是 （A）2 （B）2+3 （C）4 （D）334 3命题 p：若 a、bR，则|a|+|b|1 是|a+b|1 的充要条件；命题 q：函数 y=2|1|x的定义域是（，13，+).则 （A）“p 或 q”为假 （B）“p 且 q”为真 （C）p 真 q 假 （D）p 假 q 真 4已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （A）32 （B）33 （C）22 （D）23 5设 Sn是等差数列 na的前 n 项和，若5935,95SSaa则 （A）1（B）1（C）2（D）21 6已知 m、n 是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：若 m，n，则 mn；若 m，m，则 ；若 =n，mn，则 m 且 m；若 m，m，则 .其中真命题的个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 2 7已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f1(x)，则函数 y=f1(1x)的图象是 8已知 a、b 是非零向量且满足(a2b)a，(b2a)b，则 a 与 b 的夹角是 （A）6 （B）3 （C）32 （D）65 9已知8)(xax 展开式中常数项为 1120，其中实数 a 是常数，则展开式中各项系数的和是 （A）28（B）38（C）1 或 38（D）1 或 28 10如图，A、B、C 是表面积为 48 的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC=60，O 为球心，则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是（）（A）arcsin63（B）arccos63 （C）arcsin33（D）arccos33 11定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，当 x3，4时，f(x)=x2，则（）（A）f(sin21)f(cos3)（C）f(sin1)f(cos23)12如图，B 地在 A 地的正东方向 4 km 处，C 地在 B 地的北偏东 30方向 2 km 处，河流 的沿岸 PQ（曲线）上任意一点到 A 的距离 比到 B 的距离远 2km，现要在曲线 PQ 上任 意选一处 M 建一座码头，向 B、C 两地转运 货物，经测算，从 M 到 B、C 两地修建公路 的费用都是 a 万元/km、那么修建这两条公路 的总费用最低是（）（A）(7+1)a 万元 （B）(272)a 万元 3 图 1 （C）27a 万元 （D）(71)a 万元 第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置.13直线 x+2y=0 被曲线 x2+y26x2y15=0 所截得的弦长等于 .14设函数.)().0(1),0(121)(aafxxxxxf若则实数 a 的取值范围是 .15一个总体中有 100 个个体，随机编号 0，1，2，99，依编号顺序平均分成 10 个小组，组号依次为 1，2，3，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本，规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m，那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字相同，若 m=6，则在第 7 组中抽取的号码是 .16图 1，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图 2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大.三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分 12 分）设函数 f(x)=ab，其中向量 a=(2cosx，1)，b=(cosx，3sin2x)，xR.（）若 f(x)=13且 x3，3，求 x；（）若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m，n)(|m|2)平移后得到函数 y=f(x)的图象，求实数 m、n 的值.18（本小题满分 12 分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才算合格.4 （）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.19（本小题满分 12 分）在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC，SA=SC=22，M 为 AB 的中点.（）证明：ACSB；（）求二面角 SCMA 的大小；（）求点 B 到平面 SCM 的距离.20（本小题满分 12 分）某企业 2003 年的纯利润为 500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元，今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 n 年（今年为第一年）的利润为 500(1+n21)万元（n 为正整数）.（）设从今年起的前 n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An万元，进行技术改造后的累计纯利润为 Bn万元（须扣除技术改造资金），求 An、Bn的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？21（本小题满分 12 分）如图，P 是抛物线 C：y=21x2上一点，直线 l 过点 P 并与抛物线 C 在点 P 的切线垂直，l与抛物线 C 相交于另一点 Q.（）当点 P 的横坐标为 2 时，求直线 l 的方程；（）当点 P 在抛物线 C 上移动时，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程，并求点 M 到 x 轴的最短距离.22（本小题满分 14 分）已知 f(x)=)(32432Rxxaxx在区间1，1上是增函数.（）求实数 a 的值组成的集合 A；（）设关于 x 的方程 f(x)=3312xx 的两个非零实根为 x1、x2.试问：是否存在实数 m，5 使得不等式 m2+tm+1|x1x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立？若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.2004 年普通高等学校招生全国统一考试 数学答案（文史类）（福建卷）一、1.A 2.C 3.D 4.B 5.A 6.B 7.C 8.B 9.C 10.D 11.C 12.B 二、1345 14.（，1）15.63 16.2/3 三、17.本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.满分 12 分.解：（）依题设，f(x)=2cos2x+3sin2x=1+2sin(2x+6).由 1+2sin(2x+6)=13，得 sin(2x+6)=23.3x3，22x+665，2x+6=3，即 x=4.（）函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m，n)平移后得到函数 y=2sin2(xm)+n 的图象，即函数 y=f(x)的图象.由（）得 f(x)=2sin2(x+12)+1.|m|2，m=12，n=1.18.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力.满分 12 分.解：（）设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B，则 P(A)=310361426CCCC=1202060=32，P(B)=310381228CCCC=1205656=1514.答：甲、乙两人考试合格的概率分别为.151432和（）解法一、因为事件 A、B 相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为 P(BA)=P(A)P(B)=（132)(11514)=451.甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1P(BA)=1451=4544.6 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.解法二：因为事件 A、B 相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=32151+311514+321514=4544.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.19.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分 12 分.解法一：（）取 AC 中点 D，连结 DS、DB.SA=SC，BA=BC，ACSD 且 ACDB，AC平面 SDB，又 SB平面 SDB，ACSB.（）SDAC，平面 SAC平面 ABC，SD平面 ABC.过 D 作 DECM 于 E，连结 SE，则 SECM，SED 为二面角 SCMA 的平面角.由已知有AMDE21/，所以 DE=1，又 SA=SC=22，AC=4，SD=2.在 RtSDE 中，tanSED=DESD=2，二面角 SCMA 的大小为 arctan2.（）在 RtSDE 中，SE=522 DESD，CM 是边长为 4 正ABC 的中线，32CM.SSCM=21CMSE=1553221，设点 B 到平面 SCM 的距离为 h，由 VB-SCM=VS-CMB，SD平面 ABC，得31SSCMh=31SCMBSD，h=.554SCMCMBSSDS 即点 B 到平面 SCM 的距离为.554 解法二：（）取 AC 中点 O，连结 OS、OB.SA=SC，BA=BC，ACSO 且 ACBO.平面 SAC平面 ABC，平面 SAC平面 ABC=AC SO面 ABC，SOBO.7 如图所示建立空间直角坐标系 Oxyz.则 A（2，0，0），C（2，0，0），S（0，0，2），B（0，23，0）.AC=（4，0，0），BS=（0，23，2），ACBS=（4，0，0）（0，23，2）=0，ACBS.（）由（）得 M（1，3，0），)0,3,3(CM，CS=（2，0，2）.设 n=（x，y，z）为平面 SCM 的一个法向量，则 ,1,3,1,022033zyxzxCSnyxCMn则取 n=(1，3，1)，又OS=(0，0，2)为平面 ABC 的一个法向量，cos(n，OS)=|OSnOSn=.55 二面角 SCMA 的大小为 arccos.55（）由（）（）得CB=（2，23，0），n=（1，3，1）为平面 SCM 的一个法向量，点 B 到平面 SCM 的距离 d=.554|nCMn 20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力.满分 12 分.解：（）依题设，An=(50020)+(50040)+(50020n)=490n10n2；Bn=500(1+21)+(1+221)+(1+n21)600=500nn2500100.（）BnAn=(500nn2500100)(490n10n2)=10n2+10nn2500100=10n(n+1)n25010.8 因为函数 y=x(x+1)n25010 在（0，+）上为增函数，当 1n3 时，n(n+1)n2501012850100.仅当 n4 时，BnAn.答：至少经过 4 年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.21.本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分 12 分.解：（）把 x=2 代入221xy，得 y=2，点 P 坐标为（2，2）.由 221xy，得xy，过点 P 的切线的斜率 k切=2，直线 l 的斜率 kl=切k1=,21 直线 l 的方程为 y2=21(x2)，即 x+2y6=0.（）设.21),(20000 xyyxP则 过点 P 的切线斜率 k初=x0，当 x0=0 时不合题意，.00 x 直线 l 的斜率 kl=切k1=01x，直线 l 的方程为 ).(1210020 xxxxy 方法一：联立消去 y，得 x2+02xxx022=0.设 Q).,(),(11yxMyx M 是 PQ 的中点，.12121)1(1,12202020000010 xxxxxxyxxxx 消去 x0，得 y=x2+1212x(x0)就是所求的轨迹方程.9 由 x0 知.121212121,022222xxxxyx 上式等号仅当21,21422xxx即时成立，所以点 M 到 x 轴的最短距离是.12 方法二：设 Q).,(),(11yxMyx则 由 y0=21x02，y1=21x12，x=,210 xx y0y1=21x0221x12=21(x0+x1)(x0 x1)=x(x0 x1)，,101010 xkxxyyxl ,10 xx 将上式代入并整理，得 y=x2+1212x(x0)就是所求的轨迹方程.由 x0 知.121212121,022222xxxxyx 上式等号仅当21,21422xxx即时成立，所以点 M 到 x 轴的最短距离是.12 22本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.解：（）f(x)=4+2,22xax f(x)在1，1上是增函数，f(x)0 对 x1，1恒成立，即 x2ax20 对 x1，1恒成立.设(x)=x2ax2，方法一：(1)120(1)120aa 1a1，对 x1，1，只有当 a=1 时，f(-1)=0 以及当 a=1 时，f(1)=0 A=a|1a1.10 方法二：02(1)120aa 或02(1)120aa 0a1 或 1a0 x1，x2是方程 x2ax2=0 的两非零实根，12122xxaxx 从而|x1x2|=212214)(xxxx=82a.1a1，|x1-x2|=82a3.要使不等式 m2+tm+1|x1x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立，当且仅当 m2+tm+13 对任意 t1，1恒成立，即 m2+tm20 对任意 t1，1恒成立.设 g(t)=m2+tm2=mt+(m22)，方法一：22(1)20(1)20gmmgmmm2 或 m2.所以，存在实数 m，使不等式 m2+tm+1|x1x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或 m2.方法二：当 m=0 时，显然不成立；当 m0 时，20(1)20mgmm或20(1)20mgmm m2 或 m2.所以，存在实数 m，使不等式 m2+tm+1|x1x2|对任意 aA 及 t-1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或 m2.