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线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N阶 行 列 式：行 列 式 中 所 有 不 同 行、不 同 列 的n个 元 素 的 乘 积 的 和 nnnnjjjjjjjjjnijaaaa.)1(21212121).(（奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：行列式行列互换，其值不变。（转置行列式TDD）行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。常数 k 乘以行列式的某一行（列），等于 k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。行列式具有分行（列）可加性 将行列式某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ijM、代数余子式ijjiijMA)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0D时，有唯一解：)21(njDDxjj、齐次线性方程组 ：当系数行列式01D时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则 D 等于零 特殊行列式：转置行列式：332313322212312111333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 对称行列式:jiijaa 反对称行列式:jiijaa 奇数阶的反对称行列式值为零 三线性行列式:3331222113121100aaaaaaa 方法：用221ak把21a化为零，。化为三角形行列式 上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵 矩阵的概念：nmA*（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)矩阵的运算：加法（同型矩阵）-交换、结合律 数乘nmijkakA*)(-分配、结合律 乘法nmlkjiknlkjlmikbabaBA*1*)()(*)(*注意什么时候有意义 一般 AB=BA，不满足消去律；由 AB=0，不能得 A=0 或 B=0 转置AATT)(TTTBABA)(TTkAkA)(TTTABAB)(反序定理)方幂：2121kkkkAAA 2121)(kkkkAA 几种特殊的矩阵：对角矩阵：若 AB 都是 N 阶对角阵，k 是数，则 kA、A+B、AB 都是 n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数（若）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若）对称矩阵 反对称矩阵 阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是 0 分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素 逆矩阵：设 A 是 N 阶方阵，若存在 N 阶矩阵 B 的 AB=BA=I 则称 A 是可逆的，BA1(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)初等变换 1、交换两行（列）2.、非零 k 乘某一行（列）3、将某行（列）的 K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵）等价标准形矩阵OOOIDrr 矩阵的秩 r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若 A 可逆，则满秩 若 A 是非奇异矩阵，则 r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩 求法：1 定义 2 转化为标准式或阶梯形 矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵nijnijakka)()(，行列式nijnnijakka 逆矩阵注：AB=BA=I 则 A 与 B 一定是方阵 BA=AB=I 则 A 与 B 一定互逆；不是所有的方阵都存在逆矩阵；若 A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵 A 的逆矩阵也是可逆的，且AA11)(2、可逆矩阵 A 的数乘矩阵 kA 也是可逆的，且111)(AkkA 3、可逆矩阵 A 的转置TA也是可逆的，且TTAA)()(11 4、两个可逆矩阵 A 与 B 的乘积 AB 也是可逆的，且111)(ABAB 但是两个可逆矩阵 A 与 B 的和 A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(BABA A 为 N 阶方阵，若|A|=0，则称 A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。5、若 A 可逆，则11 AA 伴随矩阵：A 为 N 阶方阵，伴随矩阵：22211211*AAAAA （代数余子式）特殊矩阵的逆矩阵：（对 1 和 2，前提是每个矩阵都可逆）1、分块矩阵COBAD 则11111COBCAAD 2、准对角矩阵4321AAAAA，则141312111AAAAA 3、IAAAAA*4、1*AAA（A 可逆）5、1*nAA 6、AAAA1*11*（A 可逆）7、*TTAA 8、*ABAB 判断矩阵是否可逆：充要条件是0A，此时*11AAA 求逆矩阵的方法：定义法IAA1 伴随矩阵法AAA*1 初等变换法1|AIIAnn 只能是行变换 初等矩阵与矩阵乘法的关系：设 nmijaA*是 m*n 阶矩阵，则对 A 的行实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同等的 m 阶初等矩阵左乘以 A：对 A 的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n 阶初等矩阵右乘以 A （行变左乘，列变右乘）第三章 线性方程组 消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵简化阶梯型矩阵 r(AB)=r(B)=r 当 r=n 时，有唯一解；当nr 时，有无穷多解 r(AB)r(B)，无解 齐次线性方程组：仅有零解充要 r(A)=n 有非零解充要 r(A)n 当齐次线性方程组方程个数未知量个数，一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|=0 齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个 N 维向量：由 n 个实数组成的 n 元有序数组。希腊字母表示（加法数乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量，负向量，相等向量，转置向量 向量间的线性关系:线性组合或线性表示 向量组间的线性相关（无）：定义179P 向量组的秩：极大无关组（定义 P188）定理：如果rjjj,.,21是向量组s,.,21的线性无关的部分组，则它是 极大无关组的充要条件是：s,.,21中的每一个向量都可由rjjj,.,21线性表出。秩:极大无关组中所含的向量个数。定理：设 A 为 m*n 矩阵，则rAr)(的充要条件是：A 的列（行）秩为 r。现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系 线性组合或线性表示注：两个向量，若k则 是 线性组合 单位向量组 任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合 任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关（无）注：n 个 n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例，则他们一定线性相关 向量 可由n,.,21线性表示的充要条件是).().(2121TTnTTTnTTrr 判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设nkkk.21，求nkkk.21（适合维数低的）2、向量间关系法183P：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关 3、分量法（n 个 m 维向量组）180P：线性相关（充要）nrTnTT).(21 线性无关（充要）nrTnTT).(21 推论当 m=n 时，相关，则0321TTT；无关，则0321TTT 当 m向量维数时,向量组必线性相关；5)部分相关，则整体必相关；（整体无关，则部分必无关）.6)若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；7)向量组线性无关向量组的秩所含向量的个数，向量组线性相关向量组的秩所含向量的个数;8)向量组12,n 线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组 11220nnxxx 有（没有）非零解.弐拾七 例 7.设n维向量组12,(2)mm 线性无关,则 A.组中减少任意一个向量后仍线性无关 B.组中增加任意一个向量后仍线性无关 C.存在不全为零的数12,mk kk,使10miiik D.组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出 解析 因为若向量组线性相关，则增加任何一个向量后仍线性相关，其等价的定理是向量组相性无关，则组中减少任意一个向量后仍线性无关 答案 A 例 8 设向量111122221111122222(,),(,),(,),(,)a b ca b ca b c da b c d，下列命题中正确的是（）A若12,线性相关，则必有12,线性相关 B若12,线性无关，则必有12,线性无关 C若12,线性相关，则必有12,线性无关 D若12,线性无关，则必有12,线性相关 答案 B 例 9.设向量组123,线性无关,而向量组234,线性相关.证明:向量4必可表为123,的线性组合.测试点 关于线性相关性的几个定理 证 1 因为234,线性相关，故1234,线性相关，又因为123,线性无关,所以4必可表为123,的线性组合.证毕.证 2 因为123,线性无关,故23,必线性无关,又因为234,线性相关 故4必能由23,线性表示,当然可表为123,的线性组合.证毕.三、向量组的极大无关组及向量组的秩 1极大无关组的定义：设12,r 是向量组T的一个部分组.如果（1）12,r 线性无关；（2）任给T，都有12,r 线性相关，则称12,r 是向量组T的一个极大无关组.2向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩；求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法 弐拾八 例 10101316A的行向量组的秩 _.测试点 矩阵的秩与向量组的秩之间的关系;答案 2 例 11 设1234,是一个 4 维向量组，若已知4可以表为123,的线性组合，且表示法惟一，则向量组1234,的秩为（）A1 B2 C3 D4 测试点 （1）向量组的秩的概念；（2）向量由向量组线性表示的概念（3）向量组线性相关和线性无关的概念 解 因为4可以表为123,的线性组合，且表示法惟一，必有123,线性无关,因为 设1122330，由4可以表为123,的线性组合，即4112233kkk 故 441122331122330kkk 111222333()()()kkk 由表示法惟一，有 111222333,kk kkkk 于是有1230，故123,线性无关，又4可以表为123,的线性组合，所以123,为向量组1234,的一个极大无关组，故向量组1234,的秩为 3.答案 C 例 12 设向量组1234(1,1,2,1),(2,2,4,2),(3,0,6,1),(0,3,0,4)TTTT（1）求向量组的秩和一个极大线性无关组；（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.测试点 求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法 解 (2)(1)(3)(2)(1)(4)(1)(1)123412301230120300332460000012140444A (1)(3)(3)(1)(2)(2)(2)(1)(3)12301203011101020011001100000000 弐拾九 1001010200110000 所以 原向量组的秩为3，123,为所求的极大无关组.41232 四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标 1.n维向量空间的定义：n维实向量的全体构成的集合称为n维向量空间，记为nR.2.子空间的定义：设V是nR的一个非空子集，且满足对加法运算和数乘运算封闭，则称V是nR的一个子空间,简称为向量空间V.3.生成子空间的定义：设12,nmR 则由它们的所有线性组合构成nR的一个子空间，称它为由12,m 生成的子空间.例 13 设1123123(,0),Vxx x xx x xR2123123(,1),Vxx x xx x xR 31212(,)0nnVxx xxxxx，说明哪个是子空间，那个不是.解析 在1V中，任取1231231(,0),(,0),x xxy yyV k为任意数，都有 1122331(,0),xy xyxyV 1231(,0)kkx kx kxV 所以1V是子空间.类似地，可以证明31212(,)0nnVxx xxxxx也是子空间.但对2123123(,1),Vxx x xx x xR，取(1,0,0,1),(0,1,0,1)都属于2,V而 2(1,1,0,2).V这表明2V对加法运算不封闭，故2V不是子空间.4.向量空间的基和维数的定义 向量空间V的一个向量组12,r 线性无关，且V中每个向量都能由它线性表示，则称它为向量空间的一个基.零空间0没有基，定义它为 0 维，否则，称向量空间的基所含向量个数r为该空间的维数.设 1122rrxxx 称12(,)rx xx为在这组基下的坐标.例 14 向量空间1212(,0),Vxx xx x为实数的维数为_.测试点 向量空间维数的概念 参拾 解 容易看出(1,0,0),(0,1,0)是V的一个基。答案 2 例 15 证明向量组123(1,1,1),(1,2,0),(3,0,0)是3R的一组基，则向量(8,7,3)在这组基下的坐标是_.测试点 向量在一组基下的坐标 解 因为12311331112002160100001TTT 故123,线性无关，所以它是3R的一组基.考虑 112233TTTTxxx 该线性方程组的增广矩阵为 123113811381207013110030135TTTTA 113811380131013100660011 得 1233,2,1.xxx 所以(8,7,3)在这组基下的坐标是(3,2,1)（即12332）答案 (3,2,1).例 16 求由向量组123(1,1,1),(1,2,0),(2,3,1)生成的子空间的一个基，并说明该生成子空间的维数.解析 显然12(1,1,1),(1,2,0)是123(1,1,1),(1,2,0),(2,3,1)的一个极大无关组，故是由向量组123(1,1,1),(1,2,0),(2,3,1)生成的子空间的一个基，所以该子空间的维数等于2.第四章 线性方程组 一、线性方程组的三种表示方法 1.11 11221121 1212221 122 nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb 参拾壱 2.Axb，其中 1112111212222212,nnmmmnmnaaabxaaabxAbXaaabx.31122nnxxxb 其中12(1,2,)jjjmjaajna 二、齐次线性方程组 1齐次方程组有非零解的条件 1）齐次方程组0AX 有非零解的充分必要条件是()r A 未知数的个数（即矩阵A的列数）.2）n个未知数n个方程的齐次方程组0AX 有非零解的充分必要条件是0A.3)设A是mn阶矩阵.若mn，则齐次方程组0AX 必有非零解.(这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必要)例 1设A为mn矩阵，齐次线性方程组0Ax 有非零解的充分必要条件是（）AA的列向量组线性相关 BA的列向量组线性无关 CA的行向量组线性相关 DA的行向量组线性无关 测试点 齐次方程组有非零解与列向量组线性相关的关系.答案 A 例 2.设A是 43 矩阵，若齐次线性方程组0Ax 只有零解，则矩阵A的秩()r A _.测试点 1.齐次方程组只有零解的充分必要条件;2 根据系数矩阵的阶数,确定方程的个数和未知数的个数.解析 线性方程组Axb的系数矩阵A的行数等于方程的个数，列数等于未知数的个数 因为A是 43 矩阵，故方程组0Ax 的未知数的个数3n，故方程组0Ax 只有零解 的充要条件是系数矩阵A的秩3.n 答案 ()3r A 例 3.齐次线性方程组1231231230020 xxxxxxxxx有非零解,则 .解析 1231231230020 xxxxxxxxx有非零解11110211 参拾弐 而 (2)(1)(3)(1)(1)111111110(1)(4)211220 故因为1231231230020 xxxxxxxxx有非零解，则1 或4.答案 1 或4.2.齐次方程组解的结构 1）齐次方程组解的性质 设,都是0Ax 的解，则12CC也是0Ax 的解(C1，C2为任意常数)2）齐次方程组0AX 的基础解系的概念 设12,s 是齐次方程组0AX 的一组解.如果它满足：（1）12,s 线性无关；（2）0AX 的任何一个解都可以表示为12,s 的线性组合，则称12,s 为该齐次方程组的基础解系.如果齐次方程组有非零解（即()r An），则它有基础解系.重要结论:齐次方程组0AX 的基础解系含()nr A个线性无关的解；齐次方程组0AX 的任意()nr A个线性无关的解都构成该齐次方程组的基础解系；3）齐次方程组0AX 的基础解系的求法 例 4 3 元齐次方程组1223 =0 0 xxxx的基础解系所含解向量的个数为 .测试点 齐次方程组的基础解系(定义;含几个解向量;求法)解 因为齐次方程组的系数矩阵为110011的秩为2,未知数的个数为3,所以其基础解系含321个解.答案 1 例 5 已知1234,是齐次方程组0Ax 的一个基础解系,则此方程组的基础解系还可以选用 A.12233441,B.12233441,C.与1234,等秩的向量组1234,D.与1234,等价的向量组1234,测试点 1.齐次方程组的基础解系 特别是若齐次方程组的一个基础解系含 4 个解,则它的任意 4 个线性无 参拾参 关的解都是它的基础解系;2.判断向量组线性无关的方法;3.等价的向量组有相等的秩;等价与等秩的区别 4,齐次方程组解的性质.解 因为1234,是齐次方程组0Ax 的一个基础解系,故1234,都是齐次方程组0Ax 的解,因为1234,与1234,等价,故1234,能由1234,线性表示,故1234,也都是0Ax 的解.又因为1234,线性无关,所以该向量组的秩=4,又因为等价的向量组有相等的秩,所以1234,的秩也等于 4,所以1234,也线性无关.故1234,也是0Ax 的基础解系.所以 D正确.答案 D 例 6.设mn矩阵A的秩()3(3)r Ann，,是齐次 线性方程组0Ax 的三个线性无关的解向量，则方程组 0Ax 的基础解系为（）A,B,C,D,知识点 齐次线性方程组基础解系的概念及所含解向量的个数;向量组线性相关性的判别 解 显然 A,B,C 选项中的三个向量都是线性相关的,而齐次方程组的基础解系应由线性无关的向量组组成.答案 D 3）齐 次 方 程 组0AX 的 通 解 公 式 如 果12,n r 是0AX 基 础 解 系，则 它 的 通 解 为 1 122n rn rxCCC，其中12,n rC CC为任意数.例 6 求齐次线性方程组 125123345 0 0 0 xxxxxxxxx的基础解系及通解.测试点 求齐次方程组的基础解系和通解的方法 解 110011100111001111000010100101001110011100010A 取134,x x x为约束未知数,25,xx为自由未知数,参拾四 取121110,010001 为该齐次方程组的基础解系,该齐次方程组的通解为 12121110(,010001xkkk k为任意数)三非齐次方程组 1非齐次方程组解的性质 1）设12,都是Axb的解，则12是它的导出组0Ax 的解.2）设12,都是Axb的解，则当121kk时，1122kk也是Axb的解.3）设是Axb的一个解，是它的导出组0Ax 的解,则是Axb的解.例 7 已知12(1,0,1),(3,4,5)TTxx是 3 元非齐次线性方程组Axb的两个解向量，则对应齐次线性方程组0Ax 有一个非零解向量_.测试点 线性非齐次方程组解的性质 解 21(2,4,6)Txx 答案 (2,4,6)T 例 8 设齐次线性方程0Ax 有解，而非齐次线性方程且Axb有解,则是方程组_的解。测试点 线性方程组解的性质 答案 Axb 2关于非齐次方程组解的讨论 定理 n个未知数，m个方程的线性方程组AXb中，（系数矩阵A是mn阶矩阵）AAb是增广矩阵.则 1）当且仅当r Ar An()()（未知数的个数）时，方程组AXb有惟一解；2）当且仅当()()r Ar An（未知数的个数）时，方程组AXb有无穷多解；参拾伍 3）当且仅当()()r Ar A时，方程组AXb无解.从以上定理可见 1）线性方程组AXb有解的充分必要条件是()()r Ar A.2）当线性方程组AXb，方程的个数未知数的个数时，该方程组有惟一解的充分必要条件是系数行列式0A.例9已知某个3元非齐次线性方程组Axb的增广矩阵A经初等行变换化为：1)1(0021201321aaaA，若方程组无解，则a的取值为_.测试点 1.增广矩阵A经初等行变换变成B,则以B为增广矩阵的线性方程组与原方程组通解;2.非齐次方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相等的秩 解 当0a 时,()2,()3r Ar A,故方程组无解.答案 0a.例 10 如 果 非 齐 次 线 性 方 程 组Axb有 解,则 它 有 惟 一 解 的 充 分 必 要 条 件 是 其 导 出 组0Ax .解 非齐次线性方程组Axb有惟一解的充分必要条件是()()r Ar A未知数的个数，而它恰是其导出组0Ax 只有零解,没有非零解的充要条件.答案 只有零解.3.非齐次方程组AXb的通解的结构 1 122n rn rxCCC 其中是方程AXb的一个特解，()rr A为系数矩阵的秩，12,n r 为它的导出组（与它对应的）齐次方程组0AX 的基础解系.例10设3元非齐次线性方程组Axb的两个解为(1,0,2),(1,1,3)TT，且系数矩阵A的秩()2r A，则对于任意常数12,k k k 方程组的通解可表为（）12A.(1,0,2)(1,1,3)B.(1,0,2)(1,1,3)TTTTkkk C.(1,0,2)(0,1,1)D.(1,0,2)(2,1,5)TTTTkk 测试点 1.非齐次线性方程组的通解的公式;2.非齐次方程组解的性质 3.齐次方程组的基础解系的概念 参拾六 解 因为(1,0,2),(1,1,3)TT都是非齐次方程组Axb的解，故(0,1,1)T 是它的导出组0Ax 的解，又因为0Ax 为 3 元方程组，()2r A，故它的基础解系含一个解，即它的任何一个非零解都是它的基础解系，故(0,1,1)T就是它的基础解系，又(1,0,2)T是非齐次方程组Axb的解，所以(1,0,2)(0,1,1)TTk为Axb的通解.答案 C 例 11 设 3 元非齐次线性方程组12123231232 =34710 234xxxxxxxbxxax(1)试判定当,a b为何值时,方程组有无穷多个解?(2)当方程组有无穷多解时,求出其通解(要求用它的一个特解和它导出组的基础解系表示).测试点 线性方程组的讨论 解(2)(4)(1)(4)(2)(1)120312031203471100112011201101100022340120010Abbbaaa 1203011200100002ab 所以 当2,b 即20b时,方程组无解;当 2,1,ba即 20,10ba 时方程组有惟一解;当 2,1ba即20,10ba 时,方程组有无穷多解.这时 取12,x x为约束未知数,3x为自由未知数,取12,0为方程组的特解,211为其导出组的基础解系.故方程组的通解为 122101xCC.例 12 设向量(2,1,)b可以由向量组12(1,1,1),(2,3,)a线性表示,则数,a b应满足的条件是 A.4ab B.0ab C.4ab D.0ab 参拾七 解析 考察方程1122TTTxx,其增广矩阵为 121221221310111022TTTabab 1221220110110022004baab 故方程组有解时,必有4ab 答案 C 第五章 特征值与特征向量 一、特征值与特征向量 1特征值与特征向量的定义 要点：是n阶方阵A的特征值，是指存在非零列向量，使得A.这时，称为矩阵A属于特征值的特征向量.由此知，是n阶方阵A的特征值0EA，这时，齐次方程组()0EA x的非零解都是矩阵A属于特征值的特征向量.例 1 设A为 3 阶矩阵,E为 3 阶单位阵,若行列式230EA,则A的一个特征值为 【】A.32 B.23 C.23 D.32 测试点 为A的特征值的充分必要条件是0EA.解 因为230EA,故20,3EA所以A必有一个特征值为23.答案 B 例 2 已知矩阵10101010Ax的一个特征值为0，则x _.测试点 为A的特征值的充分必要条件是0EA.解 0为矩阵10101010Ax的一个特征值1011101010110Axxx 故1x.答案 1 例 3 设 3 阶矩阵A的每行元素之和均为 2,则A必有一个特征值为 .参拾八 测试点 1.特征值的定义 2.111213111213212223212223313233313233111aaaaaaaaaaaaaaaaaa 解 因为 3 阶矩阵A的每行元素之和均为 2,111213111213212223212223313233313233121122 12.121aaaaaaAxaaaaaaxaaaaaa 所以A必有一个特征值为2.答案 2 例 4 设矩阵1111021100310003A，则A的线性无关的特征向量的个数是（）A1 B2 C3 D4 解 A的特征值为12341,2,3，当343时，3 111121110321101113003310001000330000EA 所以(3)3rEA，故(3)0EA x的基础解系只含一个解，这表明A只有一个属于特征值3的线性无关的特征向量，故A的线性无关的特征向量的个数是3.答案 C 2关于特征值、特征向量的性质 1）TA与A有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；2）设12,都是矩阵A属于特征值的特征向量，12,k k是数，只要11220kk，则1122kk也是矩阵A属于特征值的特征向量；3)设n阶方阵A的n个特征值为12,n,则 121122(1);nnntrAaaa(2)12nA.4）矩阵A属于不同特征值的特征向量线性无关;5）设是矩阵A属于特征值的特征向量，则是矩阵()f A属于特征值()f的特征向量，其中101()kkkf xa xa xa.6)设是可逆矩阵A的特征值.则0，且1是矩阵1A的特征值.参拾九 3特征值、特征向量的求法 例 5 设n阶矩阵A有一个特征值为2,对于n阶单位矩阵E,矩阵2AE必有一个特征值为 .解 ()2f AAE,则()2f xx,因为A有一个特征值为2,故2AE必有一个特征值为(2)224f 例 6 设A为n阶可逆矩阵，已知A有一个特征值为2，则1(2)A必有一个特征值为_.测试点 若 为可逆矩阵A的一个特征值，则1为矩阵1A的特征值.解 因为A有一个特征值为2，故2A有一个特征值为4,所以1(2)A必有一个特征值为14.答案 14.例 7 已知A是n阶矩阵，且满足方程22AAO,证明A的特征值只能是0或2.测试点 设为A的特征值，110()mmmmf Aa AaAa E，则()f为矩阵()f A的特征值.O矩阵的所有特征值均为 0.证 设为A的特征值，则22必为22AA的特征值，又因为 22AAO，故220，故必有0或2.证毕 二、相似矩阵 1.相似矩阵的定义 设,A B都是n阶方阵，如果存在可逆阵,P使得1BP AP，则称A与B相似.2.相似矩阵的性质 1)反身性，对称性，传递性；2）若方阵A与B相似，则A与B有相同的特征值，（但不一定有相同的特征向量）进而12,nAB，且12ntrAtrB,其中trA表示矩阵A的迹，即1122nntrAaaa,12,n 为方阵A的 n 个特征值；注意：反之，若A与B有相同的特征值，A与B不一定相似；例如1011,0101AB有相同的特征值，但A与B不相似.例 8 设 3 阶矩阵A与B相似,且已知A的特征值为0,1,2,则矩阵B的迹()tr B 【】A.3 B.2 C.1 D.0 测试点 1.相似矩阵的特征值相同;从而其迹和行列式也相同；2.矩阵的特征值与该矩阵的迹和行列式的关系.四拾 解 由已知B的特征值也为0,1,2,故B的迹()0 123tr B 答案 A 例 9 设 3 阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2,2,3.则1B=（）A121 B71 C7 D12 测试点 (1)相似矩阵的特征值相同;(2)设为矩阵A的一个特征值,则()f为矩阵()f A的特征值;1为矩阵1A的特征值.(3)矩阵的特征值与该矩阵的迹和行列式的关系.解 因为 3 阶矩阵A与B相似,所以B与A有相同的特征值,所以B的特征值为2,2,3,故 1B的特征值为1 1 1,.2 2 3从而11 1 11.2 2 312B 答案 A 例10若2阶矩阵A相似于矩阵2023B，E为2阶单位矩阵，则与矩阵EA相似的矩阵是（）A1014 B1014 C1024 D1024 测试点 相似矩阵的概念；相似矩阵的性质（若A与B相似，则()f A与()f B相似；相似矩阵有相同的特征值等）；三角形矩阵的特征值 解 1 102010012324EB，故EB的特征值为121,4.因为A与B相似，故EA与EB相似，所以，凡与矩阵EA相似的矩阵的特征值都是1,4，故在 A,B,C,D 四个选项中，正确的只能是 C.解 2 因为二阶方阵EA有两个不同的特征值，故EA与对角阵1004相似，同理1024也与对角阵1004相似，故EA与1024相似.答案 C 四拾壱 3.方阵A的对角化问题 1)n 阶方阵A能与对角阵相似的充分必要条件是A有 n 个线性无关的特征向量；设12,n 是方阵A的n 个特征值，12,np pp依次是方阵A的属于特征值12,n 的 n 个线性无关的特征向量.若令12nPppp，则 121000000nP AP.2）若方阵A有 n 个不同的特征值（即特征方程无重根），则A必能与对角阵相似.（这是A能与对角阵相似的充分条件，不是必要条件）例 11 n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是（）A 矩阵A有n个特征值 B 矩阵A有n个线性无关的特征向量 C 0A D 矩阵A的特征多项式没有重根 答案 B 例12 判断1101A能否与对角阵相似.解析 1 11010101 10000EA 故()0EA x的基础解系只含一个解，即1101A只有一个线性无关的特征向量，故 1101A不能与对角阵相似.例 13A为三阶矩阵，0,1,1为它的三个特征值,其对应的特征向量为123,p pp。设123Pppp，则下列等式错误的是（）A.1000010 001P AP B.1000 010001APP C.1000010001P AP D.10A 解析 因为123,p pp依次是矩阵A属于特征值0,1,1的特征向量，故 1000010 001P AP,所以1000010.001P AP 四拾弐 答案 C 例 14 设矩阵4100130600A，求可逆矩阵P及对角矩阵D，使得1P APD.解 (1)求A的特征值和线性无关的特征向量 24100130(2)(2)(1)60EA .所以A的特征值为 1230,2,1.(2)当10时 4100100100100130250050010600130030000EA 取12,x x为约束未知数,取3x为自由未知数,得1001p 为齐次方程组(0)0EA x 的基础解系.故为A属于特征值10的特征向量.当22 时 210015015015000001516020151000EA 取12,x x为约束未知数,取3x为自由未知数,得25115p 当31时 51001201201201200121601601000EA 取12,x x为约束未知数,取3x为自由未知数,得32112p 取123052000011,02011512001PpppD,四拾参 则有1.P APD.验算 只要检查 410005201021300110216001151203012AP 05200001020110200211151200103012PD 所以 APPD，从而 1P APD 例 15 设 3 阶矩阵A的特征值为:1231,2,且已知A属于特征值11的特征向量为1(0,1,1);TA属于特征值232的特征向量为23(1,0,0),(0,1,1)TT.求矩阵A.测试点 关于n阶方阵A与对角阵相似的公式:设123,为三阶方阵A的三个特征值,123,依次为A属于特征值123,的线性无关的特征向量,则令 123P有1123000000P AP 故 1123000000APP 解 令123010100101,020.101002P 为求A,需先求1P.010100101010101010010100101001101001PE 111000101010101010220101000101000101000020111111001000102222 所以11102210011022P 四拾四 故 1111120000010100020222231101020100102100022101002111021113000222222AP P 例 16 已知 2 阶矩阵A的特征值为1与2，对应的特征向量分别为12(1,0),(1,1).TT 求：（1）A；（2）5A 知识点 利用矩阵与对角阵形似将计算5A转化为计算551515220000 解 因为 2 阶矩阵A的特征值为1与2，对应的特征向量分别为12(1,0),(1,1).TT 取121101P，则11002P AP,所以 110111011130201020102APP.551 511111010101010()0202020202APPPP PPPPPP1110111330103201032 例 17设矩阵1250,4321AB，存在12(1,2),(1,1)TT，使得115A 22A；存在12(3,1),(0,1),TT使得11225,BB.试求可逆矩阵P，使得1P APB.测试点 方阵的特征值和特征向量的定义；方阵能与对角阵相似的充分必要条件及其相应的等式 解 因为115A，22A，令 1121121Q有 1115001QAQ 同理，取2123011Q，有1225001QBQ，故1112221125001BQQQ QAQQ 故取 1121110231121131333PQQ，则1P APB.三.向量的内积和正交矩阵 四拾伍 1.向量内积的定义:设11221 122,(,)Tnnnnabababa ba bab 2向量的长度22212(,)naaa 3单位化向量0 4正交向量组的定义及其性质 定义 如果一个向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（简称两两正交），则称该向量组为正交向量组.主要性质 正交向量组必线性无关 5 施密特正交化手续 例 18 已知 3 维向量(1,3,2),(1,2,0),TT 则内积(,)_.测试点 内积的定义 解 1(,)(1,3,2)270 答案 7 例 19 求一个单位向量,使得与12111,213 都正交.解 设123xxx与12,都正交,则 1231230230 xxxxxx 可取121,单位化得162616 即为所求.例 20 利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组:四拾六 11100 ，21010 .测试点 施密特正交化手续 解 取2111222112111111121011(,)1,2010(,)210000k 则121212116211,6220600为所求的单位正交向量组.验算 6.正交矩阵 1）正交矩阵的定义；如果n阶方阵A满足TAAE，则称它为正交阵 2）正交矩阵的性质：设方阵A为正交阵，则1;A A必可逆，且1TAA；如果,A B都是n阶正交阵，则AB也是正交阵；A是正交阵的充分必要条件是A的列（行）向量组构成nR的标准正交基.四实对称矩阵的相似标准形 1实对称矩阵的特征值都是实数；2实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交；3实对称矩阵必能与对角阵相似，且存在正