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    特殊平行四边形提高训练.pdf

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    特殊平行四边形提高训练.pdf

    特殊平行四边形提高训练 一选择题(共 16 小题)1(2016灵璧县一模)如图所示,矩形 ABCD 中,AE 平分 BAD 交 BC 于 E,CAE=15,则下面的结论:ODC 是等边三角形;BC=2AB;AOE=135;S AOE=S COE,其中正确结论有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2(2016鄂州一模)如图,在矩形 AOBC 中,点 A 的坐标(2,1),点 C 的纵坐标是 4,则 B、C 两点的坐标分别是()A(,)、(,4)B(,3)、(,4)C(,3)、(,4)D(,)、(,4)3(2016石峰区模拟)矩形 ABCD 中,AB=2,AD=1,点 M 在边 CD 上,若 AM 平分 DMB,则 DM 的长是()A B C D 4(2016姜堰区校级模拟)矩形 ABCD 中,AB=4,BC=8,矩形 CEFG 上的点 G 在 CD 边,EF=a,CE=2a,连接 BD、BF、DF,则 BDF 的面积是()欢迎下载 2 A32 B16 C8 D16+a2 5(2016灯塔市二模)如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,DC=2,O 是 AD 的中点,连接OB、OC,点 E 在线段 BC 上(点 E 不与点 B、C 重合),过点 E 作 EMOB 于 M,ENOC于 N,则 EM+EN 的值为()A6 B1.5 C D 6(2016肥城市二模)已知一个菱形的周长是 20cm,两条对角线的比是 4:3,则这个菱形的面积是()A12cm2 B96cm2 C48cm2 D24cm2 7(2015丹东)过矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 作 EFAC,交 BC 边于点 E,交 AD边于点 F,分别连接 AE、CF若 AB=,DCF=30,则 EF 的长为()A2 B3 C D 8(2016天津一模)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,AC=8,BD=6,过点 O 作 OHAB,垂足为 H,则点 O 到边 AB 的距离 OH 等于()A2 B C D 9(2016和县一模)如图,菱形 ABCD 中,点 O 对角线 AC 的三等分点,连接 OB、OD,且 OB=OC=OD已知 AC=3,那么菱形的边长为()欢迎下载 3 A B2 C D 10(2016丹东模拟)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E 为 BC的中点,则下列等式中一定成立的是()AAB=BE BAC=2AB CAB=2OE DAC=2OE 11(2015西城区二模)如图,将正方形 OABC 放在平面直角坐标系 xOy 中,O 是原点,若点 A 的坐标为(1,),则点 C 的坐标为()A(,1)B(1,)C(,1)D(,1)12(2015桐庐县模拟)如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC=6,点 P 是对角线 AC 上的一点,过点 P 作 PFAD,PECD,则 PF+PE 的值为()A3 B3 C2 D6 13(2015本溪二模)如图,在矩形 ABCD 中,AD=2AB,E、F 分别是 AD、BC 的中点,连接 AF 与 BE、CE 与 DF 分别交于点 M、N 两点,则四边形 EMFN 是()A正方形 B菱形 C矩形 D无法确定 14(2015 春石林县期末)如图,在正方形 ABCD 的外侧,作等边三角形 ADE,连接 CE,与对角线 BD 交于 F,则 BFC 为()欢迎下载 4 A75 B70 C65 D60 15(2015铁力市二模)如图,点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点,PEBC 于点 E;PFCD 于点 F,连接 EF,给出下列五个结论:AP=EF;APEF;PFE=BAP;PD=EC;PB2+PD2=2PA2,正确的有()个 A5 B4 C3 D2 16(2015陕西模拟)如图,E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点,且 BE=BC,P 为 CE 上任意一点,PQBC 于点 Q,PRBE 于点 R,则 PQ+PR 的值是()A B C D 二解答题(共 11 小题)17(2016咸阳模拟)如图,矩形 ABCD,E、F 在 AB、CD 上,且 EF AD,M 为 EF 的中点,连接 AM、DM,求证:AM=DM 18(2016市南区一模)已知:如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,点 F 在边 BC上,且 AE=CF,作 EG FH,分别与对角线 BD 交于点 G、H,连接 EH,FG(1)求证:BFH DEG;(2)连接 DF,若 BF=DF,则四边形 EGFH 是什么特殊四边形?证明你的结论 欢迎下载 5 19(2016 春南京校级月考)已知:如图,BE、BF 分别是 ABC 与它的邻补角 ABD 的平分线,AEBE,垂足为点 E,AFBF,垂足为点 F,EF 分别交边 AB、AC 于点 M 和 N 求证:(1)四边形 AFBE 是矩形;(2)MN=BC 20(2016安徽模拟)如图,在 ABC 中,D 是 BC 边的中点,F,E 分别是 AD 及其延长线上的点,CF BE,连结 BF,CE(1)求证:四边形 BFCE 是平行四边形;(2)当边 AB、AC 满足什么条件时,四边形 BECF 是菱形?并说明理由 21(2016十堰模拟)已知:如图,在菱形 ABCD 中,F 为边 BC 的中点,DF 与对角线 AC交于点 M,过 M 作 MECD 于点 E,1=2(1)若 CE=2,求 BC 的长;(2)求证:ME=AMDF 22(2016东平县一模)如图,在 ABC 中,ABC=90,BD 为 AC 的中线,过点 C 作CEBD 于点 E,过点 A 作 BD 的平行线,交 CE 的延长线于点 F,在 AF 的延长线上截取FG=BD,连接 BG、DF(1)求证:BD=DF;(2)求证:四边形 BDFG 为菱形;欢迎下载 6(3)若 AG=13,CF=6,求四边形 BDFG 的周长 23(2016南岗区模拟)如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在对角线 AC 上,点 F 在边 BC上,连接 BE、DF,DF 交对角线 AC 于点 G,且 DE=DG(1)求证:AE=CG;(2)试判断 BE 和 DF 的位置关系,并说明理由 24(2016景德镇校级二模)如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC,对角线 BD 平分 ABC,P 是 BD 上一点,过点 P 作 PMAD,PNCD,垂足分别为 M,N(1)求证:点 A 与 C 关于直线 BD 对称(2)若 ADC=90,求证四边形 MPND 为正方形 25(2015滕州市模拟)已知:如图,正方形 ABCD 中,点 E 在 BC 的延长线上,AE 分别交 DC,BD 于 F,G,点 H 为 EF 的中点 求证:(1)DAG=DCG;(2)GCCH 26(2016 春丹阳市校级月考)如图,已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,E 是 AC 上的一点,过点 A 作 AGBE,垂足为 G,AG 交 BD 于点 F(1)试说明 OE=OF;欢迎下载 7(2)当 AE=AB 时,过点 E 作 EHBE 交 AD 边于 H,找出与 AHE 全等的一个三角形加以证明,(3)在(2)的条件下若该正方形边长为 1,求 AH 的长 27(2015荆州)如图 1,在正方形 ABCD 中,P 是对角线 BD 上的一点,点 E 在 AD 的延长线上,且 PA=PE,PE 交 CD 于 F(1)证明:PC=PE;(2)求 CPE 的度数;(3)如图 2,把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD,其他条件不变,当 ABC=120时,连接CE,试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系,并说明理由 欢迎下载 8 特殊平行四边形提高训练 参考答案与试题解析 一选择题(共 16 小题)1(2016灵璧县一模)如图所示,矩形 ABCD 中,AE 平分 BAD 交 BC 于 E,CAE=15,则下面的结论:ODC 是等边三角形;BC=2AB;AOE=135;S AOE=S COE,其中正确结论有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据矩形性质求出 OD=OC,根据角求出 DOC=60即可得出三角形 DOC 是等边三角形,求出 AC=2AB,即可判断,求出 BOE=75,AOB=60,相加即可求出 AOE,根据等底等高的三角形面积相等得出 S AOE=SCOE【解答】解:四边形 ABCD 是矩形,BAD=90,OA=OC,OD=OB,AC=BD,OA=OD=OC=OB,AE 平分 BAD,DAE=45,CAE=15,DAC=30,OA=OD,ODA=DAC=30,DOC=60,OD=OC,ODC 是等边三角形,正确;四边形 ABCD 是矩形,AD BC,ABC=90 DAC=ACB=30,AC=2AB,ACBC,2ABBC,错误;AD BC,DBC=ADB=30,AE 平分 DAB,DAB=90,DAE=BAE=45,AD BC,DAE=AEB,欢迎下载 9 AEB=BAE,AB=BE,四边形 ABCD 是矩形,DOC=60,DC=AB,DOC 是等边三角形,DC=OD,BE=BO,BOE=BEO=(180 OBE)=75,AOB=DOC=60,AOE=60+75=135,正确;OA=OC,根据等底等高的三角形面积相等得出 S AOE=SCOE,正确;故选 C 2(2016鄂州一模)如图,在矩形 AOBC 中,点 A 的坐标(2,1),点 C 的纵坐标是 4,则 B、C 两点的坐标分别是()A(,)、(,4)B(,3)、(,4)C(,3)、(,4)D(,)、(,4)【分析】如过点 A、B 作 x 轴的垂线垂足分别为 F、M过点 C 作 y 轴的垂线交 FA、根据 AOF CAE,AOF BCN,ACE BOM 解决问题【解答】解:如图过点 A、B 作 x 轴的垂线垂足分别为 F、M过点 C 作 y 轴的垂线交 FA、点 A 坐标(2,1),点 C 纵坐标为 4,AF=1,FO=2,AE=3,EAC+OAF=90,OAF+AOF=90,EAC=AOF,E=AFO=90,AEC OFA,欢迎下载 10 EC=,点 C 坐标(,4),AOF BCN,AEC BMO,CN=2,BN=1,BM=MNBN=3,BM=AE=3,OM=EC=,点 B 坐标(,3),故选 C 3(2016石峰区模拟)矩形 ABCD 中,AB=2,AD=1,点 M 在边 CD 上,若 AM 平分 DMB,则 DM 的长是()A B C D【分析】由矩形的性质得出 CD=AB=2,AB CD,BC=AD=1,C=90,由平行线的性质得出 BAM=AMD,再由角平分线证出 BAM=AMB,得出 MB=AB=2,由勾股定理求出 CM,即可得出 DM 的长【解答】解:四边形 ABCD 是矩形,CD=AB=2,AB CD,BC=AD=1,C=90,BAM=AMD,AM 平分 DMB,AMD=AMB,BAM=AMB,BMB=AB=2,CM=,DM=CDCM=2;故选:D 4(2016姜堰区校级模拟)矩形 ABCD 中,AB=4,BC=8,矩形 CEFG 上的点 G 在 CD 边,EF=a,CE=2a,连接 BD、BF、DF,则 BDF 的面积是()欢迎下载 11 A32 B16 C8 D16+a2【分析】根据两个矩形面积之和加上三角形 DGF 面积,减去 ABD 面积与 BEF 面积,求出 BDF 面积即可【解答】解:根据题意得:BDF 的面积=84+2aa+2a(4a)84 a(2a+8)=32+2a2+4aa216a24a=16;故选:B 5(2016灯塔市二模)如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,DC=2,O 是 AD 的中点,连接OB、OC,点 E 在线段 BC 上(点 E 不与点 B、C 重合),过点 E 作 EMOB 于 M,ENOC于 N,则 EM+EN 的值为()A6 B1.5 C D【分析】连接 OE,由矩形的性质得出 CD=AB=3,AD=BC=2,A=D=90,由勾股定理得出 OB=OC=,由 OBE 的面积+OCE 的面积=OBC 的面积,即可得出结果【解答】解:连接 OE,如图所示:四边形 ABCD 是矩形,CD=AB=3,AD=BC=2,A=D=90,O 是 AD 的中点,AO=DO=1,OB=OC=,OBE 的面积+OCE 的面积=OBC 的面积,OBEM+OCEN=BCAB,(EM+EN)=23,解得:EM+EN=;欢迎下载 12 故选:D 6(2016肥城市二模)已知一个菱形的周长是 20cm,两条对角线的比是 4:3,则这个菱形的面积是()A12cm2 B96cm2 C48cm2 D24cm2【分析】先求出菱形的边长,然后设菱形的两对角线分别为 8x,6x,根据菱形的对角线垂直平分求出两对角线的一半,再利用勾股定理列式求出 x,从而得到对角线的长,然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解【解答】解:菱形的周长是 20cm,边长为 204=5cm,两条对角线的比是 4:3,设菱形的两对角线分别为 8x,6x,根据菱形的性质可知,菱形的对角线互相垂直平分,则对角线的一半分别为 4x,3x,根据勾股定理得,(4x)2+(3x)2=52,解得 x=1,所以,两对角线分别为 8cm,6cm,所以,这个菱形的面积=86=24cm2 故选:D 7(2015丹东)过矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 作 EFAC,交 BC 边于点 E,交 AD边于点 F,分别连接 AE、CF若 AB=,DCF=30,则 EF 的长为()A2 B3 C D【分析】求出 ACB=DAC,然后利用“角角边”证明 AOF 和 COE 全等,根据全等三角形对应边相等可得OE=OF,再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形,再求出 ECF=60,然后判断出 CEF 是等边三角形,根据等边三角形的三条边都相等可得 EF=CF,根据矩形的对边相等可得 CD=AB,然后求出 CF,从而得解 欢迎下载 13【解答】解:矩形对边 AD BC,ACB=DAC,O 是 AC 的中点,AO=CO,在 AOF 和 COE 中,AOF COE(ASA),OE=OF,又 EFAC,四边形 AECF 是菱形,DCF=30,ECF=9030=60,CEF 是等边三角形,EF=CF,AB=,CD=AB=,DCF=30,CF=2,EF=2 故选 A 8(2016天津一模)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,AC=8,BD=6,过点 O 作 OHAB,垂足为 H,则点 O 到边 AB 的距离 OH 等于()A2 B C D【分析】因为菱形的对角线互相垂直平分,菱形的四边相等,根据面积相等,可求出 OH 的长【解答】解:四边形 ABCD 是菱形,AC=8,BD=6,BO=3,AO=4,AOBO,AB=5 OHAB,AOBO=ABOH,欢迎下载 14 OH=,故选 D 9(2016和县一模)如图,菱形 ABCD 中,点 O 对角线 AC 的三等分点,连接 OB、OD,且 OB=OC=OD已知 AC=3,那么菱形的边长为()A B2 C D【分析】由菱形的性质得出 AB=BC,得出 BAC=ACB,由已知条件得出 OB=OC=AC=1,由等腰三角形的性质得出 BOC ABC,得出对应边成比例,即可求出菱形的边长【解答】解:四边形 ABCD 是菱形,AB=BC,BAC=ACB,点 O 对角线 AC的三等分点,OB=OC=AC=1,BAC=ACB=OBC,BOC ABC,所以,即,BA2=3,BA=;故选:A 10(2016丹东模拟)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E 为 BC的中点,则下列等式中一定成立的是()AAB=BE BAC=2AB CAB=2OE DAC=2OE【分析】由菱形的性质以及三角形中位线定理逐项分析即可【解答】解:点 E 为 BC 的中点,CE=BE=BC,AB=BC,AB=2BE,故选项 A 错误;欢迎下载 15 在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,AO=CO=AC,OE 是 ABC 的中位线,OE=AB,故选项 C 正确;ACABBC,AC2AB2OE,故选项 B,D 错误,故选 C 11(2015西城区二模)如图,将正方形 OABC 放在平面直角坐标系 xOy 中,O 是原点,若点 A 的坐标为(1,),则点 C 的坐标为()A(,1)B(1,)C(,1)D(,1)【分析】作 AD轴于 D,作 CEx 轴于 E,则 ADO=OEC=90,得出 1+2=90,由正方形的性质得出 OC=AO,1+3=90,证出 3=2,由 AAS 证明 OCE AOD,OE=AD=,CE=OD=1,即可得出结果【解答】解:作 AD轴于 D,作 CEx 轴于 E,如图所示:则 ADO=OEC=90,1+2=90,点 A 的坐标为(1,),OD=1,AD=,四边形 OABC 是正方形,AOC=90,OC=AO,1+3=90,3=2,在 OCE 和 AOD 中,OCE AOD(AAS),OE=AD=,CE=OD=1,点 C 的坐标为(,1);故选:C 欢迎下载 16 12(2015桐庐县模拟)如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC=6,点 P 是对角线 AC 上的一点,过点 P 作 PFAD,PECD,则 PF+PE 的值为()A3 B3 C2 D6【分析】由正方形的性质得出 PAF=PCE=45,证出 APF 和 CPE 是等腰直角三角形,得出 PF=AP,PE=PC,即可得出结论【解答】解:四边形 ABCD 是正方形,BAD=BCD=90,PAF=PCE=45,PFAD,PECD,APF 和 CPE 是等腰直角三角形,PF=AP,PE=PC,PF+PE=(AP+PC)=AC=3;故选:A 13(2015本溪二模)如图,在矩形 ABCD 中,AD=2AB,E、F 分别是 AD、BC 的中点,连接 AF 与 BE、CE 与 DF 分别交于点 M、N 两点,则四边形 EMFN 是()A正方形 B菱形 C矩形 D无法确定【分析】利用矩形的性质与判定方法得出四边形 EMFN 是矩形,进而利用等腰直角三角形的性质得出 AM=ME,BM=MF=AM,则 ME=MF,进而求出即可【解答】解:四边形 ABCD 为矩形,AD BC,AD=BC,EAB=ABF=BCD=CDA=90,又 E,F 分别为 AD,BC 中点,AD=2AB,AE BF,ED CF,AE=BF=DE=CF=AB=DC,欢迎下载 17 ABE=AEB=DEC=DCE=DFC=45,BEN=90,又 DEBF,AEFC,四边形 EMFN 是矩形,AMBE,BMAF,AM=ME,BM=MF=AM,ME=MF,四边形 EMFN 是正方形 故选:A 14(2015 春石林县期末)如图,在正方形 ABCD 的外侧,作等边三角形 ADE,连接 CE,与对角线 BD 交于 F,则 BFC 为()A75 B70 C65 D60【分析】由于四边形 ABCD 是正方形,ADE 是正三角形,由此可以得到 CD=DE,接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解【解答】解:四边形 ABCD 是正方形,ADC=90,AD=DC,又 ADE 是正三角形,CD=DE,ADE=60,CDE 是等腰三角形,CDE=90+60=150,ECD=DEC=15,BDC=45,CFD=1801545=120,BFC=60,故选 D 15(2015铁力市二模)如图,点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点,PEBC 于点 E;PFCD 于点 F,连接 EF,给出下列五个结论:AP=EF;APEF;PFE=BAP;PD=EC;PB2+PD2=2PA2,正确的有()个 欢迎下载 18 A5 B4 C3 D2【分析】根据正方形的性质与正方形关于对角线对称可得所给选项的正误【解答】解:正确,连接 PC,可得 PC=EF,PC=PA,AP=EF;正确;延长 AP,交 EF 于点 N,则 EPN=BAP=PCE=PFE,可得 APEF;正确;PFE=PCE=BAP;错误,PD=PF=CE;正确,PB2+PD2=2PA2 故选 B 16(2015陕西模拟)如图,E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点,且 BE=BC,P 为 CE 上任意一点,PQBC 于点 Q,PRBE 于点 R,则 PQ+PR 的值是()A B C D【分析】连接 BP,利用面积法求解,PQ+PR 的值等于 C 点到 BE 的距离,即正方形对角线的一半【解答】解:连接 BP,过 C 作 CMBD,S BCE=S BPE+S BPC=BCPQ+BEPR =BC(PQ+PR)=BECM,BC=BE,PQ+PR=CM,欢迎下载 19 BE=BC=1,且正方形对角线 BD=BC=,又 BC=CD,CMBD,M 为 BD 中点,又 BDC 为直角三角形,CM=BD=,即 PQ+PR 值是 故选:D 二解答题(共 11 小题)17(2016咸阳模拟)如图,矩形 ABCD,E、F 在 AB、CD 上,且 EF AD,M 为 EF 的中点,连接 AM、DM,求证:AM=DM 【分析】由矩形的性质得出 AE DF,BAD=90,再由 EF AD,证出四边形 AEFD 是矩形,得出 AE=DF,AEM=DFM=90,由 SAS 证明 AEM DFM,得出对应边相等即可【解答】证明:四边形 ABCD 是矩形,AE DF,BAD=90,EF AD,四边形 AEFD 是矩形,AE=DF,AEM=DFM=90,M 为 EF 的中点,EM=FM,在 AEM 和 DFM 中,AEM DFM(SAS),AM=DM 18(2016市南区一模)已知:如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,点 F 在边 BC上,且 AE=CF,作 EG FH,分别与对角线 BD 交于点 G、H,连接 EH,FG(1)求证:BFH DEG;(2)连接 DF,若 BF=DF,则四边形 EGFH 是什么特殊四边形?证明你的结论 欢迎下载 20 【分析】(1)由平行四边形的性质得出 AD BC,AD=BC,OB=OD,由平行线的性质得出 FBH=EDG,OHF=OGE,得出 BHF=DGE,求出 BF=DE,由 AAS 即可得出结论;(2)先证明四边形 EGFH 是平行四边形,再由等腰三角形的性质得出 EFGH,即可得出四边形 EGFH 是菱形【解答】(1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形,AD BC,AD=BC,OB=OD,FBH=EDG,AE=CF,BF=DE,EG FH,OHF=OGE,BHF=DGE,在 BFH 和 DEG 中,BFH DEG(AAS);(2)解:四边形 EGFH 是菱形;理由如下:连接 DF,如图所示:由(1)得:BFH DEG,FH=EG,又 EG FH,四边形 EGFH 是平行四边形,BF=DF,OB=OD,EFBD,EFGH,四边形 EGFH 是菱形 19(2016 春南京校级月考)已知:如图,BE、BF 分别是 ABC 与它的邻补角 ABD 的平分线,AEBE,垂足为点 E,AFBF,垂足为点 F,EF 分别交边 AB、AC 于点 M 和 N 求证:(1)四边形 AFBE 是矩形;欢迎下载 21(2)MN=BC 【分析】(1)由 BE、BE 是角平分线可得 EBF 是 90,进而由条件中的两个垂直可得两个直角,可得四边形 AEBF 是矩形;(2)由矩形的 F 质可得 2=5 进而利用角平分线的性质可得 1=5,可得 ME BC,进而可得 N 为 AC 中点,根据三角形中位线性质求出即可【解答】证明:(1)BE、BF 分别是 ABC 中 B 及它的外角的平分线,1=2,3=4,1+2+3+4=180,2+3=90,AEBE,E 为垂足,AFBF,F 为垂足,AFB=AEB=90,四边形 AEBF 为矩形;(2)四边形 AEBF 为矩形,BM=MA=ME,2=5,2=1,1=5,ME BC,M 是 AB 的中点,N 为 AC 的中点,MN=BC 欢迎下载 22 20(2016安徽模拟)如图,在 ABC 中,D 是 BC 边的中点,F,E 分别是 AD 及其延长线上的点,CF BE,连结 BF,CE(1)求证:四边形 BFCE 是平行四边形;(2)当边 AB、AC 满足什么条件时,四边形 BECF 是菱形?并说明理由 【分析】(1)由已知各件,据 AAS 很容易证得:BDE CDF;(2)连接 BF、CE,由 AB=AC,D 是 BC 边的中点,可知 ADBC,易证得 BFD CFD,可得 BF=CF;又因为(1)中 BDE CDF 得 ED=FD,所以 EF、BC 互相垂直平分,根据菱形的性质,可得四边形 BECF 是菱形【解答】(1)证明:在 ABC 中,D 是 BC 边的中点,BD=CD,CF BE,CFD=BED,在 CFD 和 BED 中,CFD BED(AAS),CF=BE,四边形 BFCE 是平行四边形;(2)解:当 AB=AC 时,四边形 BECF 是菱形;理由如下:AB=AC,D 是 BC 边的中点,ADBC,EFBC,四边形 BECF 是菱形 21(2016十堰模拟)已知:如图,在菱形 ABCD 中,F 为边 BC 的中点,DF 与对角线 AC交于点 M,过 M 作 MECD 于点 E,1=2(1)若 CE=2,求 BC 的长;(2)求证:ME=AMDF 欢迎下载 23 【分析】(1)根据菱形的性质可得 CB=CD,AB CD,然后再证明 2=ACD,根据等角对等边可得 MC=MD,根据等腰三角形三线合一的性质可得 CD=2CE=4,进而可得 BC=4(2)延长 DF,BA 交于 G,首先证明 CEM CFM 可得 ME=MF,然后再证明 CDF BGF 可得 DF=GF,然后证明 1=G,根据等角对等边可得 GM=CM,利用线段的和差关系可得结论【解答】(1)解:四边形 ABCD 是菱形,CB=CD,AB CD,1=ACD 1=2,2=ACD,MC=MD MECD,CD=2CE=4,BC=CD=4;(2)证明:如图,延长 DF,BA 交于 G,四边形 ABCD 是菱形,BCA=DCA BC=2CF,CD=2CE,CE=CF 在 CEM 和 CFM 中,CEM CFM(SAS),ME=MF AB CD,2=G,GBF=BCD,F 为边 BC 的中点,CF=BF,在 CDF 和 BGF 中,CDF BGF(AAS),DF=GF 1=2,G=2,1=G,AM=GM=MF+GF=DF+ME,欢迎下载 24 即 ME=AMDF 22(2016东平县一模)如图,在 ABC 中,ABC=90,BD 为 AC 的中线,过点 C 作CEBD 于点 E,过点 A 作 BD 的平行线,交 CE 的延长线于点 F,在 AF 的延长线上截取FG=BD,连接 BG、DF(1)求证:BD=DF;(2)求证:四边形 BDFG 为菱形;(3)若 AG=13,CF=6,求四边形 BDFG 的周长 【分析】(1)先可判断四边形 BGFD 是平行四边形,再由直角三角形斜边中线等于斜边一半,可得 BD=FD;(2)由邻边相等可判断四边形 BGFD 是菱形;(3)设 GF=x,则 AF=13x,AC=2x,在 Rt ACF 中利用勾股定理可求出 x 的值【解答】(1)证明:ABC=90,BD 为 AC 的中线,BD=AC,AG BD,BD=FG,四边形 BGFD 是平行四边形,CFBD,CFAG,又 点 D 是 AC 中点,DF=AC,BD=DF;(2)证明:BD=DF,四边形 BGFD 是菱形,(3)解:设 GF=x,则 AF=13x,AC=2x,在 Rt ACF 中,CFA=90,AF2+CF2=AC2,即(13x)2+62=(2x)2,解得:x=5,四边形 BDFG 的周长=4GF=20 欢迎下载 25 23(2016南岗区模拟)如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在对角线 AC 上,点 F 在边 BC上,连接 BE、DF,DF 交对角线 AC 于点 G,且 DE=DG(1)求证:AE=CG;(2)试判断 BE 和 DF 的位置关系,并说明理由 【分析】(1)先证 AED=CGD,再证明 ADE CDG,根据全等三角形的对应边相等即可得出结论;(2)先证明 AEB CGD,得出对应角相等 AEB=CGD,得出 AEB=EGF,即可证出平行线【解答】解:(1)证明:在正方形 ABCD 中,AD=CD,DAE=DCG,DE=DG,DEG=DGE,AED=CGD 在 AED 和 CGD 中,AED CGD(AAS),AE=CG(2)解法一:BE DF,理由如下:在正方形 ABCD 中,AB CD,BAE=DCG 在 AEB 和 CGD 中,AEB CGD(SAS),AEB=CGD CGD=EGF,AEB=EGF,BE DF 解法二:BE DF,理由如下:在正方形 ABCD 中,AD FC,欢迎下载 26=CG=AE,AG=CE 又 在正方形 ABCD 中,AD=CB,=又 GCF=ECB,CGF CEB,CGF=CEB,BE DF 24(2016景德镇校级二模)如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC,对角线 BD 平分 ABC,P 是 BD 上一点,过点 P 作 PMAD,PNCD,垂足分别为 M,N(1)求证:点 A 与 C 关于直线 BD 对称(2)若 ADC=90,求证四边形 MPND 为正方形 【分析】(1)首先根据角平分线的定义求出 ABD=CBD,然后在 ABD 和 CBD 中,根据 SAS 证明两个三角形全等,进而得到 ADB=CDB,AD=CD,根据等腰三角形的性质可得 BD 垂直平分 AC,进而可得点 A 与 C 关于直线 BD 对称;(2)首先证明四边形 PMDN 是矩形,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PM=PN,进而可得四边形 MPND 为正方形【解答】证明:(1)连接 AC,BD 平分 ABC,ABD=CBD,在 ABD 和 CBD 中,ABD CBD(SAS),ADB=CDB,DA=DC,BD 垂直平分 AC,点 A 与 C 关于直线 BD 对称;(2)PMAD,PNCD,PMD=PND=90,ADC=90,欢迎下载 27 四边形 PMDN 是矩形,ADB=CDB,BD 平分 ADC,PMAD,PNCD,PM=PN,四边形 MPND 为正方形 25(2015滕州市模拟)已知:如图,正方形 ABCD 中,点 E 在 BC 的延长线上,AE 分别交 DC,BD 于 F,G,点 H 为 EF 的中点 求证:(1)DAG=DCG;(2)GCCH 【分析】(1)要证明 DAG=DCG,需把两角放到两三角形中,证明两三角形 ADG 与 CDG 全等得到,全等的方法是:由ABCD 为正方形,得到 AD与DC相等,ADB 与 CDB相等,再加上公共边 DG,利用“SAS”得到全等,利用全等三角形的对应角相等得证;(2)要证明 GC 与 CH 垂直,需证 GCH=90,即 FCH+DCG=90,方法是:由正方形的对边 AD 与 BE 平行,根据两直线平行,内错角相等得到 DAF 与 E 相等,由(1)得到的 DAG 与 DCG 相等,等量代换得到 E 与 DCG 相等,再由 CH 为直角三角形 ECF斜边上的中线,得到 CH 与 HE 相等都等于斜边 EF 的一半,根据“等边对等角”得到 E 与 HCE 相等,又 FCH+DCG 等于 90,等量代换得到 FCH+DCG=90,即 GCH=90,得证【解答】证明:(1)ABCD 为正方形,AD=DC,ADC=90,ADB=CDB=45,又 DG=DG,ADG CDG,DAG=DCG;(2)ABCD 为正方形,AD BE,DAG=E,又 DAG=DCG,E=DCG,欢迎下载 28 H 为直角三角形 CEF 斜边 EF 边的中点,CH=HE=EF,HCE=E,DCG=HCE,又 FCH+HCE=90,FCH+DCG=90,即 GCH=90,GCCH 26(2016 春丹阳市校级月考)如图,已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,E 是 AC 上的一点,过点 A 作 AGBE,垂足为 G,AG 交 BD 于点 F(1)试说明 OE=OF;(2)当 AE=AB 时,过点 E 作 EHBE 交 AD 边于 H,找出与 AHE 全等的一个三角形加以证明,(3)在(2)的条件下若该正方形边长为 1,求 AH 的长 【分析】(1)根据正方形性质得出 ACBD,OA=OB,求出 FAO=EBO,根据 ASA 推出 AFO BEO 即可;(2)根据正方形性质得出 ACB=DAC=45,ABE+EBC=90,求出 CBE=AEH,AE=AB=BC,证 BCE EAH;(3)根据全等三角形的性质推出 CE=AH,即可得出答案【解答】(1)解:四边形 ABCD 是正方形,ACBD,OA=OB,AOF=BOE=90,AGBE,FGB=90,OBE+BFG=90,FAO+AFO=90,AFO=BFG,FAO=EBO,在 AFO 和 BEO 中,AFO BEO(ASA),OE=OF 欢迎下载 29 (2)BCE EAH,证明:四边形 ABCD 是正方形,ACB=DAC=45,ABE+EBC=90,EHBE,AEH+AEB=90,AE=AB,ABE=AEB,CBE=AEH,AE=AB=BC,在 BCE 和 EAH 中,BCE EAH(ASA);(3)解:BCE EAH,CE=AH,AB=BC=1,AC=,AE=AB=1,AH=CE=ACAE=1 27(2015荆州)如图 1,在正方形 ABCD 中,P 是对角线 BD 上的一点,点 E 在 AD 的延长线上,且 PA=PE,PE 交 CD 于 F(1)证明:PC=PE;(2)求 CPE 的度数;(3)如图 2,把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD,其他条件不变,当 ABC=120时,连接CE,试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系,并说明理由 欢迎下载 30【分析】(1)先证出 ABP CBP,得 PA=PC,由于 PA=PE,得 PC=PE;(2)由 ABP CBP,得 BAP=BCP,进而得 DAP=DCP,由 PA=PC,得到 DAP=E,DCP=E,最后 CPF=EDF=90得到结论;(3)借助(1)和(2)的证明方法容易证明结论【解答】(1)证明:在正方形 ABCD 中,AB=BC,ABP=CBP=45,在 ABP 和 CBP 中,ABP CBP(SAS),PA=PC,PA=PE,PC=PE;(2)由(1)知,ABP CBP,BAP=BCP,DAP=DCP,PA=PE,DAP=E,DCP=E,CFP=EFD(对顶角相等),180 PFC PCF=180 DFE E,即 CPF=EDF=90;(3)在菱形 ABCD 中,AB=BC,ABP=CBP=60,在 ABP 和 CBP 中,ABP CBP(SAS),PA=PC,BAP=BCP,PA=PE,PC=PE,DAP=DCP,PA=PC,DAP=AEP,DCP=AEP CFP=EFD(对顶角相等),180 PFC PCF=180 DFE AEP,即 CPF=EDF=180 ADC=180120=60,EPC 是等边三角形,PC=CE,AP=CE 欢迎下载 31

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