2020-2021中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附详细答案.pdf

2020-2021中考数学二次函数的综合压轴题专题复习附详细答案 一、二次函数 1如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）、B（4，0）两点，与 y轴交于点 C，且 OC=3OA点 P 是抛物线上的一个动点，过点 P 作 PEx 轴于点 E，交直线BC 于点 D，连接 PC（1）求抛物线的解析式；（2）如图 2，当动点 P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点 P 作 PFBC 于点 F，试问 PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由 （3）当点 P 在抛物线上运动时，将 CPD 沿直线 CP 翻折，点 D 的对应点为点 Q，试问，四边形 CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点 P 的坐标，如果不能，请说明理由 【答案】(1)y=234x+94x+3；(2)有最大值,365;(3)存在这样的 Q 点，使得四边形 CDPQ 是菱形，此时点 P 的坐标为（73，256）或（173，253）【解析】试题分析:（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设 P（m，34m2+94m+3），PFD 的周长为 L，再利用待定系数法求直线 BC 的解析式为：y=34x+3，表示 PD=2334mm，证明 PFD BOC，根据周长比等于对应边的比得：=PEDPDBOCBC的周长的周长，代入得：L=95（m2）2+365，求 L 的最大值即可；（3）如图 3，当点 Q 落在 y 轴上时，四边形 CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ，PQ=PD，PCQ=PCD，又知 Q 落在 y 轴上时，则 CQ PD，由四边相等：CD=DP=PQ=QC，得四边形 CDPQ 是菱形，表示 P（n，23n4+94n+3），则 D（n，34n+3），G（0，34n+3），利用勾股定理表示 PD 和 CD 的长并列式可得结论 试题解析:（1）由 OC=3OA，有 C（0，3），将 A（1，0），B（4，0），C（0，3）代入 y=ax2+bx+c 中，得：016403abcabcc，解得：34943abc，故抛物线的解析式为：y=234x+94x+3；（2）如图 2，设 P（m，34m2+94m+3），PFD 的周长为 L，直线 BC 经过 B（4，0），C（0，3），设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，则403kbb 解得：343kb 直线 BC 的解析式为：y=34x+3，则 D（m，334m），PD=2334mm，PEx 轴，PE OC，BDE=BCO，BDE=PDF，PDF=BCO，PFD=BOC=90，PFD BOC，=PEDPDBOCBC的周长的周长，由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，故 BOC 的周长=12，2334125mmL，即 L=95（m2）2+365，当 m=2 时，L最大=365；（3）存在这样的 Q 点，使得四边形 CDPQ 是菱形，如图 3，当点 Q 落在 y 轴上时，四边形 CDPQ 是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ，PQ=PD，PCQ=PCD，当点 Q 落在 y 轴上时，CQ PD，PCQ=CPD，PCD=CPD，CD=PD，CD=DP=PQ=QC，四边形 CDPQ 是菱形，过 D 作 DGy 轴于点 G，设 P（n，234n+94n+3），则 D（n，34n+3），G（0，334n），在 Rt CGD 中，CD2=CG2+GD2=（34n+3）32+n2=22516n，而|PD|=|（239344nn 3n）（34n+3）|=|234n+3n|，PD=CD，235344nnn，235344nnn，解方程得：n=73或 0（不符合条件，舍去），解方程得：n=173或 0（不符合条件，舍去），当 n=73时，P（73，256），如图 3，当 n=173时，P（173，253），如图 4，综上所述，存在这样的 Q 点，使得四边形 CDPQ 是菱形，此时点 P 的坐标为（73，256）或（173，253）点睛:本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题 2如图，在平面直角坐标系中，ACB=90，OC=2OB，tan ABC=2，点 B 的坐标为（1，0）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一点，过点 P 作 PD 垂直 x 轴于点 D，交线段 AB 于点E，使 PE=12DE 求点 P 的坐标；在直线 PD 上是否存在点 M，使 ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）y=x23x+4；（2）P（1，6），存在，M（1，3+11）或（1，311）或（1，1）或（1，132）【解析】【分析】（1）先根据已知求点 A 的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）先得 AB 的解析式为：y=-2x+2，根据 PDx 轴，设 P（x，-x2-3x+4），则 E（x，-2x+2），根据 PE=12DE，列方程可得 P 的坐标；先设点 M 的坐标，根据两点距离公式可得 AB，AM，BM 的长，分三种情况：ABM 为直角三角形时，分别以 A、B、M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点 M 的坐标【详解】解：（1）B（1，0），OB=1，OC=2OB=2，C（2，0），Rt ABC 中，tan ABC=2，AC2BC，AC23，AC=6，A（2，6），把 A（2，6）和 B（1，0）代入 y=x2+bx+c 得：42610bcbc ，解得：34bc，抛物线的解析式为：y=x23x+4；（2）A（2，6），B（1，0），AB 的解析式为：y=2x+2，设 P（x，x23x+4），则 E（x，2x+2），PE=12DE，x23x+4（2x+2）=12（2x+2），x=-1 或 1（舍），P（1，6）；M 在直线 PD 上，且 P（1，6），设 M（1，y），B（1，0），A（2，6）AM2=（1+2）2+（y6）2=1+（y6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当 AMB=90时，有 AM2+BM2=AB2，1+（y6）2+4+y2=45，解得：y=311，M（1，3+11）或（1，311）；ii）当 ABM=90时，有 AB2+BM2=AM2，45+4+y2=1+（y6）2，y=1，M（1，1），iii）当 BAM=90时，有 AM2+AB2=BM2，1+（y6）2+45=4+y2，y=132，M（1，132）；综上所述，点 M 的坐标为：M（1，3+11）或（1，311）或（1，1）或（1，132）【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用 3已知，m，n 是一元二次方程 x2+4x+3=0 的两个实数根，且|m|n|，抛物线 y=x2+bx+c的图象经过点 A（m，0），B（0，n），如图所示（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为 D，求出点 C，D 的坐标，并判断 BCD 的形状；（3）点 P 是直线 BC 上的一个动点（点 P 不与点 B 和点 C 重合），过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，点 Q 在直线 BC 上，距离点 P 为2个单位长度，设点 P 的横坐标为 t，PMQ 的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式 【答案】（1）223yxx；（2）C（3，0），D（1，4），BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22tttStt tt 或 【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与 x 轴的交点，再判断出 BOC 和 BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出 QF=1，再分两种情况，当点 P 在点 M 上方和下方，分别计算即可 试题解析：解（1）2+430 xx，11x ，23x ，m，n 是一元二次方程2+430 xx 的两个实数根，且|m|n|，m=1，n=3，抛物线223yxx的图象经过点 A（m，0），B（0，n），103bcc，23bc ，抛物线解析式为223yxx；（2）令 y=0，则2230 xx，11x ，23x，C（3，0），223yxx=2(1)4x，顶点坐标 D（1，4），过点 D 作 DEy 轴，OB=OC=3，BE=DE=1，BOC 和 BED 都是等腰直角三角形，OBC=DBE=45，CBD=90，BCD 是直角三角形；（3）如图，B（0，3），C（3，0），直线 BC 解析式为 y=x3，点 P 的横坐标为t，PMx 轴，点 M 的横坐标为 t，点 P 在直线 BC 上，点 M 在抛物线上，P（t，t3），M（t，223tt），过点 Q 作 QFPM，PQF 是等腰直角三角形，PQ=2，QF=1 当点 P 在点 M 上方时，即 0t3 时，PM=t3（223tt）=23tt，S=12PMQF=21(3)2tt=21322tt，如图 3，当点 P 在点 M 下方时，即 t0 或 t3 时，PM=223tt（t3）=23tt，S=12PMQF=12（23tt）=21322tt 综上所述，S=2213(03)2213 (03)22ttttttt或 考点：二次函数综合题；分类讨论 4如图，已知抛物线经过点 A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点 D 与点 C 关于x 轴对称，点 P 是线段 AB 上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0），过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q，交直线 BD 于点 M （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点 P 运动过程中，是否存在点 Q，使得 BQM 是直角三角形？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接 AC，将 AOC 绕平面内某点 H 顺时针旋转 90，得到 A1O1C1，点 A、O、C 的对应点分别是点 A、O1、C1、若 A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点 A1的横坐标【答案】（1）y=-21x2+32x+2；（2）存在，Q（3，2）或 Q（-1，0）；（3）两个和谐点，A1的横坐标是 1，12.【解析】【分析】（1）把点 A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）分两种情况分别讨论，当 QBM=90或 MQB=90，即可求得 Q 点的坐标 （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设 A1（x，y），则 C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），当 A1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是 1；当 O1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是 2；【详解】解：（1）设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，将点 A（-1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，0abc016a4bc2c，1a23b2，y=-21x2+32x+2；（2）点 C 与点 D 关于 x 轴对称，D（0，-2）设直线 BD 的解析式为 y=kx-2 将（4，0）代入得：4k-2=0，k=12 直线 BD 的解析式为 y=12x-2 当 P 点与 A 点重合时，BQM 是直角三角形，此时 Q（-1，0）；当 BQBD 时，BQM 是直角三角形，则直线 BQ 的直线解析式为 y=-2x+8，-2x+8=-21x2+32x+2，可求 x=3 或 x=4（舍）x=3；Q（3，2）或 Q（-1，0）；（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设 A1（x，y），则 C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），当 A1、C1在抛物线上时，2213yxx22213y 1(x2)x2222 ，x1y3，A1的横坐标是 1；当 O1、C1在抛物线上时，2213y 1xx22213y 1(x2)x2222 ，1x221y8，A1的横坐标是12；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键 5温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以 3 万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为 1 万元/吨，它的平均销售价格 y（单位：万元/吨）与销售数量x（2x10，单位：吨）之间的函数关系如图所示（1）若杨梅的销售量为 6 吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润销售总收入进价总成本包装总费用）（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为 12 万元/吨深加工费用 y（单位：万元）与加工数量 x（单位：吨）之间的函数关系是 y12x+3（2x10）当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？该公司买入杨梅吨数在 范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？【答案】（1）杨梅的销售量为 6 吨时，它的平均销售价格是每吨 10 万元；（2）当 x8时，此时 W最大值40 万元；（3）该公司买入杨梅 3 吨；3x8【解析】【分析】（1）设其解析式为 ykx+b，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；（2）根据题意得，w（y4）x（12x+134）x12x2+9x，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）根据题意列方程，即可得到结论；根据题意即可得到结论【详解】（1）由图象可知，y 是关于 x 的一次函数 设其解析式为 ykx+b，图象经过点（2，12），（8，9）两点，21289kbkb，解得 k12，b13，一次函数的解析式为 y12x+13，当 x6 时，y10，答：若杨梅的销售量为 6 吨时，它的平均销售价格是每吨 10 万元；（2）根据题意得，w（y4）x（12x+134）x12x2+9x，当 x2ba9 时，x9 不在取值范围内，当 x8 时，此时 W最大值12x2+9x40 万元；（3）由题意得：12x2+9x9x（12x+3）解得 x2（舍去），x3，答该公司买入杨梅 3 吨；当该公司买入杨梅吨数在 3x8 范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些 故答案为：3x8【点睛】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系 6若三个非零实数 x，y，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 x，y，z 构成“和谐三组数”(1)实数 1，2，3 可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；(2)若 M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数 ykx(k 为常数，k0)的图象上，且这三点的纵坐标 y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数 t 的值；(3)若直线 y2bx+2c(bc0)与 x 轴交于点 A(x1，0)，与抛物线 yax2+3bx+3c(a0)交于 B(x2，y2)，C(x3，y3)两点 求证：A，B，C 三点的横坐标 x1，x2，x3构成“和谐三组数”；若 a2b3c，x21，求点 P(ca，ba)与原点 O 的距离 OP 的取值范围【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t 的值为4、2 或 2；(3)证明见解析；22OP102且 OP1【解析】【分析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；（2）把 M、N、R 三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用 t 和 k 分别表示出 y1、y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值；（3）由直线解析式可求得 x1cb，联立直线和抛物线解析式消去 y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得 x2+x3ba，x2x3ca，再利用和谐三数组的定义证明即可；由条件可得到 a+b+c0，可得 c(a+b)，由 a2b3c 可求得ba的取值范围，令 mba，利用两点间距离公式可得到 OP2关于 m 的二次函数，利用二次函数的性质可求得 OP2的取值范围，从而可求得 OP 的取值范围【详解】（1）不能，理由如下：1、2、3 的倒数分别为 1、12、13，12+131，1+1213，1+1312，实数 1，2，3 不可以构成“和谐三组数”；（2）M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数kx(k 为常数，k0)的图象上，y1、y2、y3均不为 0，且 y1kt，y21kt，y33kt，11ytk，21y1tk，31y3tk，y1，y2，y3构成“和谐三组数”，有以下三种情况：当11y21y+31y时，则tk1tk+3tk，即 tt+1+t+3，解得 t4；当21y11y+31y时，则1tktk+3tk，即 t+1t+t+3，解得 t2；当31y11y+21y时，则3tktk+1tk，即 t+3t+t+1，解得 t2；t 的值为4、2 或 2；（3）a、b、c 均不为 0，x1，x2，x3都不为 0，直线 y2bx+2c(bc0)与 x 轴交于点 A(x1，0)，02bx1+2c，解得 x1cb，联立直线与抛物线解析式，消去 y 可得 2bx+2cax2+3bx+3c，即 ax2+bx+c0，直线与抛物线交与 B(x2，y2)，C(x3，y3)两点，x2、x3是方程 ax2+bx+c0 的两根，x2+x3ba，x2x3ca，21x+31x2323xxx xbacabc11x，x1，x2，x3构成“和谐三组数”；x21，a+b+c0，cab，a2b3c，a2b3(ab)，且 a0，整理可得253abba，解得35ba12，P(ca，ba)，OP2(ca)2+(ba)2(aba)2+(ba)22(ba)2+2ba+12(ba+12)2+12，令 mba，则35m12且 m0，且 OP22(m+12)2+12，20，当35m12时，OP2随 m 的增大而减小，当 m35时，OP2有最大临界值1325，当 m12时，OP2有最小临界值12，当12m12时，OP2随 m 的增大而增大，当 m12时，OP2有最小临界值12，当 m12时，OP2有最大临界值52，12OP252且 OP21，P 到原点的距离为非负数，22OP102且 OP1【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识在(1)中注意利用和谐三数组的定义，在(2)中由和谐三数组得到关于 t 的方程是解题的关键，在(3)中用 a、b、c 分别表示出 x1，x2，x3是解题的关键，在(3)中把 OP2表示成二次函数的形式是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大 7已知：如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与坐标轴分别交于点 A（0，6），B（6，0），C（2，0），点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点 P 运动到什么位置时，PAB 的面积有最大值？（3）过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AB 于点 D，再过点 P 做 PE x 轴交抛物线于点 E，连结 DE，请问是否存在点 P 使 PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 【答案】（1）抛物线解析式为 y=12x2+2x+6；（2）当 t=3 时，PAB 的面积有最大值；（3）点 P（4，6）【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作 PMOB 与点 M，交 AB 于点 N，作 AGPM，先求出直线 AB 解析式为 y=x+6，设 P（t，12t2+2t+6），则 N（t，t+6），由S PAB=S PAN+S PBN=12PNAG+12PNBM=12PNOB 列出关于 t 的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由 PHOB 知 DH AO，据此由 OA=OB=6 得 BDH=BAO=45，结合 DPE=90知若 PDE 为等腰直角三角形，则 EDP=45，从而得出点 E 与点 A 重合，求出 y=6 时 x 的值即可得出答案【详解】（1）抛物线过点 B（6，0）、C（2，0），设抛物线解析式为 y=a（x6）（x+2），将点 A（0，6）代入，得：12a=6，解得：a=12，所以抛物线解析式为 y=12（x6）（x+2）=12x2+2x+6；（2）如图 1，过点 P 作 PMOB 与点 M，交 AB 于点 N，作 AGPM 于点 G，设直线 AB 解析式为 y=kx+b，将点 A（0，6）、B（6，0）代入，得：660bkb，解得：16kb，则直线 AB 解析式为 y=x+6，设 P（t，12t2+2t+6）其中 0t6，则 N（t，t+6），PN=PMMN=12t2+2t+6（t+6）=12t2+2t+6+t6=12t2+3t，S PAB=S PAN+S PBN=12PNAG+12PNBM=12PN（AG+BM）=12PNOB=12（12t2+3t）6=32t2+9t=32（t3）2+272，当 t=3 时，PAB 的面积有最大值；（3）如图 2，PHOB 于 H，DHB=AOB=90，DH AO，OA=OB=6，BDH=BAO=45，PE x 轴、PDx 轴，DPE=90，若 PDE 为等腰直角三角形，则 EDP=45，EDP 与 BDH 互为对顶角，即点 E 与点 A 重合，则当 y=6 时，12x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或 x=4，即点 P（4，6）【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.8（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数（）的图象与 x 轴交于 A（2，0）、B（8，0）两点，与 y 轴交于点 B，其对称轴与 x 轴交于点 D （1）求该二次函数的解析式；（2）如图 1，连结 BC，在线段 BC 上是否存在点 E，使得 CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，若点 P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中 m0，n0），连结 PB，PD，BD，求 BDP 面积的最大值及此时点 P 的坐标【答案】（1）；（2）E 的坐标为（，）、（0，4）、（，）；（3），（，）【解析】试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；（2）先求得直线 BC 的解析式为，则可设 E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；（3）利用 PBD 的面积即可求得 试题解析：（1）二次函数（）的图象与 x 轴交于 A（2，0）、C（8，0）两点，解得：，该二次函数的解析式为；（2）由二次函数可知对称轴 x=3，D（3，0），C（8，0），CD=5，由二次函数可知 B（0，4），设直线 BC 的解析式为，解得：，直线 BC 的解析式为，设 E（m，），当 DC=CE 时，即，解得，（舍去），E（，）；当 DC=DE 时，即，解得，（舍去），E（0，4）；当 EC=DE 时，解得=，E（，）综上，存在点 E，使得 CDE 为等腰三角形，所有符合条件的点 E 的坐标为（，）、（0，4）、（，）；（3）过点 P 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 F，P 点的横坐标为 m，P 点的纵坐标为：，PBD 的面积=，当 m=时，PBD 的最大面积为，点 P 的坐标为（，）考点：二次函数综合题 9如图，某足球运动员站在点 O 处练习射门，将足球从离地面 0.5m 的 A 处正对球门踢出(点 A 在 y 轴上)，足球的飞行高度 y(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间满足函数关系 yat25tc，已知足球飞行 0.8s 时，离地面的高度为 3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离 x(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系 x10t，已知球门的高度为 2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为 28m，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s 时，足球离地面最高，最大高度是 4.5m；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数 y=at2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=t2+5t+，当 t=时，y最大=4.5；（2）把 x=28 代入 x=10t 得 t=2.8，当 t=2.8 时，y=2.82+52.8+=2.252.44，于是得到他能将球直接射入球门 解：（1）由题意得：函数 y=at2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），解得：，抛物线的解析式为：y=t2+5t+，当 t=时，y最大=4.5；（2）把 x=28 代入 x=10t 得 t=2.8，当 t=2.8 时，y=2.82+52.8+=2.252.44，他能将球直接射入球门 考点：二次函数的应用 10（12 分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12 m，宽是 4 m按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用 y=16x2+bx+c 表示，且抛物线上的点 C 到OB 的水平距离为 3 m，到地面 OA 的距离为172m.（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6m，宽为 4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为 y=16x2+2x+4，拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10 m；(2)两排灯的水平距离最小是 43 m【解析】【详解】试题分析：根据点 B 和点 C 在函数图象上，利用待定系数法求出 b 和 c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面 OA 的交点为（2,0）（或（10,0），然后求出当 x=2 或 x=10 时 y 的值，与 6 进行比较大小，比6 大就可以通过，比 6 小就不能通过；将 y=8 代入函数，得出 x 的值，然后进行做差得出最小值 试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2BC在抛物线上 所以41719326cbc ，解得24bc，所以21246yxx 所以，当62bxa 时，10ty 答：21246yxx，拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10 米（2）由题知车最外侧与地面 OA 的交点为（2,0）（或（10,0）当 x=2 或 x=10 时，2263y，所以可以通过（3）令8y，即212486xx，可得212240 xx，解得1262 3,62 3xx 124 3xx 答：两排灯的水平距离最小是4 3 考点：二次函数的实际应用 11如图，二次函数245yxx 图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数215yx的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B （1）点D的坐标是 _；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P，Q，使得DPQ与DAB相似 当275n 时，求DP的长；若对于每一个确定的n的值，有且只有一个DPQ与DAB相似，请直接写出n的取值范围 _【答案】（1）2,9；（2）9 5DP；92155n.【解析】【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点 C（2，95），A（-52，0），点 A 关于对称轴对称的点（132，0），借助 AD 的直线解析式求得 B（5，3）；当 n=275时，N（2，275），可求DA=9 52，DN=185，CD=365，当 PQ AB 时，DPQ DAB，DP=95；当 PQ 与 AB 不平行时，DP=95；当 PQ AB，DB=DP 时，DB=35，DN=245，所以 N（2，215），则有且只有一个 DPQ 与 DAB 相似时，95n215.【详解】（1）顶点为2,9D；故答案为2,9；（2）对称轴2x，9(2,)5C，由已知可求5(,0)2A，点A关于2x 对称点为13(,0)2，则AD关于2x 对称的直线为213yx，(5,3)B，当275n 时，27(2,)5N，9 52DA，182DN，365CD 当PQAB时，PDQDAB，DACDPN，DPDNDADC，9 5DP；当PQ与AB不平行时，DPQDBA，DNQDCA，DPDNDBDC，9 5DP；综上所述9 5DP；当PQAB，DBDP时，3 5DB，DPDNDADC，245DN，21(2,)5N，有且只有一个DPQ与DAB相似时，92155n；故答案为92155n；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键 12如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为1,0，且4OAOCOB，抛物线20yaxbxc a图象经过,A B C三点（1）求,A C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PDAC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值 【答案】解：（1）点 A、C 的坐标分别为（4，0）、（0，4）；（2）抛物线的表达式为：234yxx ；（3）PD 有最大值，当 x2 时，其最大值为2 2，此时点 P（2，6）【解析】【分析】（1）OAOC4OB4，即可求解；（2）抛物线的表达式为：234yxxa（x+1）(x-4)=a()，即可求解；（3）224342（）PDxxx，即可求解【详解】解：（1）OAOC4OB4，故点 A、C 的坐标分别为（4，0）、（0，4）；（2）抛物线的表达式为：234yxxa（x+1）(x-4)=a()，即4a4，解得：a1，故抛物线的表达式为：234yxx；（3）直线 CA 过点 C，设其函数表达式为：4ykx，将点 A 坐标代入上式并解得：k1，故直线 CA 的表达式为：yx4，过点 P 作 y 轴的平行线交 AC 于点 H，OAOC4，45OACOCA，/PHy轴，45PHDOCA，设点234P xxx（，），则点 H（x，x4），222434222 22（）=-PDxxxxx 22 0，PD 有最大值，当 x2 时，其最大值为2 2，此时点 P（2，6）【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示 PD，是本题解题的关键 13（14 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=mx28mx+4m+2（m2）与 y 轴的交点为 A，与 x 轴的交点分别为 B（x1，0），C（x2，0），且 x2x1=4，直线 AD x 轴，在 x 轴上有一动点 E（t，0）过点 E 作平行于 y 轴的直线 l 与抛物线、直线 AD 的交点分别为 P、Q （1）求抛物线的解析式；（2）当 0t8 时，求 APC 面积的最大值；（3）当 t2 时，是否存在点 P，使以 A、P、Q 为顶点的三角形与 AOB 相似？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）12；（3）t=或 t=或 t=14【解析】试题分析：（1）首先利用根与系数的关系得出：，结合条件求出的值，然后把点 B，C 的坐标代入解析式计算即可；（2）（2）分 0t6 时和 6t8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）（3）分 2t6 时和 t6 时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解 试题解析：解：（1）由题意知 x1、x2是方程 mx28mx+4m+2=0 的两根，x1+x2=8，由 解得：B（2，0）、C（6，0）则 4m16m+4m+2=0，解得：m=，该抛物线解析式为：y=；（2）可求得 A（0，3）设直线 AC 的解析式为：y=kx+b，直线 AC 的解析式为：y=x+3，要构成 APC，显然 t6，分两种情况讨论：当 0t6 时，设直线 l 与 AC 交点为 F，则：F（t，），P（t，），PF=，S APC=S APF+S CPF=，此时最大值为：，当 6t8 时，设直线 l 与 AC 交点为 M，则：M（t，），P（t，），PM=，S APC=S APFS CPF=，当 t=8 时，取最大值，最大值为：12，综上可知，当 0t8 时，APC 面积的最大值为 12；（3）如图，连接 AB，则 AOB 中，AOB=90，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），当 2t6 时，AQ=t，PQ=，若：AOB AQP，则：，即：，t=0（舍），或 t=，若 AOB PQA，则：，即：，t=0（舍）或 t=2（舍），当 t6 时，AQ=t，PQ=，若：AOB AQP，则：，即：，t=0（舍），或 t=，若 AOB PQA，则：，即：，t=0（舍）或 t=14，t=或 t=或 t=14 考点：二次函数综合题 14已知抛物线27yx3x4的顶点为点 D，并与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B的左侧），与 y 轴相交于点 C （1）求点 A、B、C、D 的坐标；（2）在 y 轴的正半轴上是否存在点 P，使以点 P、O、A 为顶点的三角形与 AOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）取点 E（34，0）和点 F（0，），直线 l 经过 E、F 两点，点 G 是线段 BD 的中点 点 G 是否在直线 l 上，请说明理由；在抛物线上是否存在点 M，使点 M 关于直线 l 的对称点在 x 轴上？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）D（32，4）（2）P（0，74）或（0，17）（3）详见解析【解析】【分析】（1）令 y=0，解关于 x 的一元二次方程求出 A、B 的坐标，令 x=0 求出点 C 的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点 D 的坐标（2）根据点 A、C 的坐标求出 OA、OC 的长，再分 OA 和 OA 是对应边，OA 和 OC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出 OP 的长，从而得解（3）设直线 l 的解析式为 y=kx+b（k0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l 的解析式，再利用中点公式求出点 G 的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可 设抛物线的对称轴与 x 轴交点为 H，求出 OE、OF、HD、HB 的长，然后求出 OEF 和 HDB 相似，根据相似三角形对应角相等求出 OFE=HBD，然后求出 EGBD，从而得到直线 l 是线段 BD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点 D 关于直线 l 的对称点就是B，从而判断出点 M 就是直线 DE 与抛物线的交点再设直线 DE 的解析式为 y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线 DE 的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点 M【详解】解：（1）在27yx3x4中，令 y=0，则27x3x04，整理得，4x212x7=0，解得 x1=12，x2=72 A（12，0），B（72，0）在27yx3x4中，令 x=0，则 y=74 C（0，74）2274 13b33 4acb442a2 124a4 1 ，顶点 D（32，4）（2）在 y 轴正半轴上存在符合条件的点 P 设点 P 的坐标为（0，y），A（12，0），C（0，74），OA=12