高中数学-椭圆与双曲线的几何性质2210.pdf

1 2.3.2 双曲线的简单几何性质（一）一、温故知新 定义 图象 方程 焦点 cba,的关系 二、双曲线)0,0(12222babyax的简单几何性质 1.范围：由122ax 2.对称性：是双曲线的对称轴，是对称中心，又叫做双曲线的 3.顶点：（1）双曲线与 的交点，叫做双曲线的顶点，顶点坐标为 （2）叫做双曲线的实轴，实轴长为 ，实半轴长为 叫做双曲线的虚轴，虚轴长为 ，虚半轴长为 （3）和 相等的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的方程为 4.渐近线：（1）双曲线)0,0(12222babyax的渐近线方程为 等轴双曲线)0(22mmyx的渐近线方程为 （2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 2（3）渐近线对双曲线的开口的影响 5.离心率：（1）双曲线的 与 的比值 叫做双曲线的离心率，即a （2）双曲线的离心率的取值范围 （3）双曲线的离心率e的含义：离心率e反应了焦点离开中心的程度，双曲线的开口大小与离心率e的关系：双曲线的离心率是一个表示双曲线开口大小的量，e越大开口越 （4）等轴双曲线的离心率e ，反之也成立 三、双曲线)0,0(12222babyax和)0,0(12222babxay的几何性质比较 双曲线)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 例 1.求双曲线14416922xy 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐进线方程 例 2.已知双曲线顶点间的距离是16，离心率45e，焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标 3 例 3.一个双曲线的渐近线的方程为xy43，它的离心率为 练习：（1）双曲线1422 yx的渐近线方程为 （2）双曲线4422 yx的渐近线方程为 （3）双曲线1422 yx的渐近线方程为 （4）双曲线4422 yx的渐近线方程为 小结：双曲线)0,0(12222babyax的渐近线方程为 即 例 4.求下列双曲线的标准方程（1）与双曲线116922yx有共同渐近线，且过点)32,3(（2）与双曲线116922yx有公共焦点，且过点)2,23(4 小结：（1）与)0,0(12222babyax共渐近线的双曲线方程为 当 时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；当 时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；当 时，方程表示双曲线的渐近线方程（2）与椭圆)0(12222babyax共焦点的双曲线系方程为 （3）与双曲线)0,0(12222babyax共焦点的双曲线系方程为 四、共轭双曲线 1.共轭双曲线的概念：如果双曲线1C的实轴是双曲线2C的虚轴，虚轴是双曲线2C的实轴，则称双曲线1C和2C互为共轭双曲线 注：双曲线)0,0(12222babyax的共轭双曲线方程为 2.共轭双曲线有如下的性质：（1）共轭双曲线有相同的 （2）共轭双曲线的四个焦点 （3）设共轭双曲线的离心率分别为21,ee，则222111ee ；21ee 五、等轴双曲线 1.等轴双曲线的概念：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的方程为 2.等轴双曲线的性质：（1）等轴双曲线的离心率为 ，反之 （2）等轴双曲线的渐近线 ，反之 ；反比例函数 等轴双曲线（3）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的等比中项 5 注：椭圆与双曲线性质比较 椭 圆 双曲线 图象 方程 cba,关系 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 准线 6 双曲线的简单几何性质（二）例 5.点),(yxM与定点)0,5(F的距离和它到直线l：516x的距离的比是常数45，求点M轨迹 变式 1：点),(yxM与定点)0,(cF的距离和它到直线l：cax2的距离的比是常数ac)0(ac，求点M轨迹 探究：我们知道双曲线的定义：平面内与两定点)0,(),0,(21cFcF 的距离之差的绝对值为定值)20(221FFaa的点的轨迹方程也为122222acyax，你能发现其中的原因吗？7 变式 2：点),(yxM与定点)0,(cF 的距离和它到直线l：cax2的距离的比是常数ac)0(ac，求点M轨迹 注：.双曲线的定义：（1）双曲线的第一定义：平面内与两个定点21,FF的距离之差的绝对值等于常数（大于0且小于21FF）的点的轨迹叫做双曲线.定点21,FF叫做椭圆的焦点（2）双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线l)(lF 的距离之 为 的点的轨迹叫做双曲线，其中定点F叫做双曲线的 ，定直线l叫做双曲线的 ，常数e叫做双曲线的 结论：双曲线的焦点、准线、离心率及其关系 1.（1）双曲线)0,0(12222babyax中：相应于左焦点)0,(1cF 的准线方程为 ，叫双曲线的 相应于右焦点)0,(2cF的准线方程为 ，叫双曲线的 （2）双曲线)0,0(12222babxay中：相应于下焦点)0,(1cF 的准线方程为 ，叫双曲线的 相应于上焦点)0,(2cF的准线方程为 ，叫双曲线的 2.（1）双曲线上的任意一点到左焦点)0,(cF 的距离与它到左准线cax2的距离之比等于双曲线的 8（2）双曲线上的任意一点到右焦点)0,(cF的距离与它到右准线cax2的距离之比等于双曲线的 即双曲线上的点到焦点的距离与到 准线的距离之比等于双曲线的 3.双曲线的焦半径公式：（1）设点),(00yxP是双曲线)0,0(12222babyax上任意一点，21,FF是左右焦点，则 当点P位于双曲线的右支上时，1PF ，2PF 当点P位于双曲线的左支上时，1PF ，2PF （2）设点),(00yxP是双曲线)0,0(12222babxay上任意一点，21,FF是其下上焦点，则当点P位于双曲线的下支上时，1PF ，2PF 当点P位于双曲线的上支上时，1PF ，2PF 4.双曲线上的点到焦点的距离的最小值为 ，最大值为 双曲线上的点到中心的距离的最小值 ，最大值为 例 6.已知21,FF是双曲线191622yx的左右焦点，点)2,9(A在曲线上求一点M，使254MFMA 最小，并求最小值 9 双曲线的简单几何性质（三）1.点),(00yxP与双曲线)0,0(12222babyax的位置关系：点P在双曲线上 点P在双曲线外 点P在双曲线内 2.直线与双曲线的位置关系 相离：直线与双曲线有 公共点 相切：直线与双曲线有 公共点 相交：直线与双曲线有 公共点 3.直线与双曲线的位置关系的判定 已知不过原点的直线)0(mmkxy与双曲线)0,0(12222babyax，联立方程组得 02)(222222222bamaxkmaxbka（1）若abk，则直线与渐近线 ，方程 个解，此时直线与双曲线 （个交点）（2）若abk，则 当0时，方程有 解，直线与双曲线 （个交点）当0时，方程有 解，直线与双曲线 当0时，方程 解，直线与双曲线 注:（1）若直线与双曲线相交，设两交点),(),(2211yxyx，则 当 时，直线与双曲线交于同支两点 当 时，直线与双曲线交于异支两点 当 时，直线与双曲线交于右支两点 1 0 当 时，直线与双曲线交于左支两点 特别注意：1.不过中心的直线若与渐近线平行，则直线与双曲线 ，只有 个交点 2.直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的 条件 例 8.已知直线1 kxy与双曲线422 yx，试讨论实数k的取值范围，使直线与双曲线（1）没有公共点；（2）有两个公共点；（3）只有一个公共点；（4）交于异支两点；（5）与左支交于两点 即学即练 1.过点)1,1(P与双曲线116922yx只有一个公共点的直线共有_条 2.过点)4,3(A与双曲线116922yx只有一个公共点的直线共有_条 3.过点)0,3(B与双曲线116922yx只有一个公共点的直线共有_条 4.过点)0,4(C与双曲线116922yx只有一个公共点的直线共有_条 5.过点)0,0(D与双曲线116922yx只有一个公共点的直线共有_条 1 1 三.弦长问题 设斜率为k的直线与双曲线交于),(),(2211yxByxA两点，则弦长 AB 斜率为k的直线上两点间的距离公式 弦长公式 例 9.如图所示，过双曲线16322yx的右焦点2F，倾斜角为030的直线交双曲线于BA,两点，求AB 注：设过双曲线)0,0(12222babyax右焦点)0,(2cF的弦AB的倾斜角为，渐近线xaby 的倾斜角为，则（1）当 时，焦点弦AB在右支上，此时2AF ，2BF ，AB 可知焦点弦AB在双曲线一支上时，焦点弦最短为 （2）当 时，焦点弦AB在两支上，此时2AF ，2BF ，AB 可知焦点弦AB在双曲线两支上时，焦点弦最短为 1 2 例 10.设2F是双曲线)0,0(12222babyax的右焦点，过2F且倾斜角为060的直线交双曲线于BA,两点，若FBAF4，则双曲线的离心率为 例 11.求证：以双曲线的焦点弦为直径的圆与双曲线的相应的准线相交 四、中点弦问题 例 12.已知双曲线方程为3322 yx，求：（1）以2为斜率的弦的中点轨迹（2）过定点)1,2(P的弦的中点轨迹（3）以定点)1,2(P为中点的弦所在的直线方程（4）以定点)1,1(R为中点的弦存在吗？说明理由 1 3 注：双曲线中点差法结论（1）设直线l与双曲线)0,0(12222babyax相交于点),(),(2211yxByxA，AB 的中点为P，则OPABkk （2）设直线l与双曲线)0,0(12222babxay相交于点),(),(2211yxByxA，AB 的中点为P，则OPABkk 注：（1）与弦的中点有关的问题（中点弦问题）都可以考虑用点差法（2）有些中点弦问题不存在，但用点差法可以形式上求出一条直线方程，而这条直线与圆锥曲线没有交点，所以用点差法求解中点弦问题时，需检验，一般地，若点P在双曲线内部，以该点为中点的弦一定存在，若点P在双曲线外部，以该点为中点的弦可能存在，所以我们用点差法时需检验中点弦问题是否存在 练习：已知双曲线方程为1222 yx，试问是否存在被点)1,1(P平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由 1 4 五、以弦为直径的圆过定点问题 例 13.直线l：1 kxy与双曲线C：1222 yx的右支交于不同的两点BA,（1）求实数k的取值范围（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点2F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由 六、双曲线的焦点三角形的内切圆问题 例 15.设21,FF是双曲线12222byax的左右焦点，点P为右支上任意一点，求21FPF的内切圆圆心的横坐标 1 5 七、对称问题 例 14.已知双曲线1322yx，上存在关于直线l：4 kxy对称的相异两点，求实数k的取值范围 例 15.已 知M是 双 曲 线12222byax右 支 上 一 点，21,FF为 其 左 右 焦 点，若1221,FMFFMF，求证：双曲线的离心率sinsin)sin(e 1 6 例 16.设点21,AA为双曲线12222byax的左右顶点，点P为其上不与21,AA重合的任意一点，求证：2221abkkPAPA 例 17.设点BA,为双曲线12222byax上关于中心对称的两点，点P为其上不与BA,重合的任意一点，若PBPA,的斜率存在，求证：22abkkPBPA 例 18.求证：过双曲线12222byax上一点),(00yxP的双曲线的切线方程为12020byyaxx 1 7 例 19.求证：过双曲线12222byax外一点),(00yxP作双曲线的切线PBPA,切点弦AB所在直线的方程为12020byyaxx 例 20.（1）过椭圆12222byax上一定点),(00yxP任作两条倾斜角互补的直线交椭圆于BA,两点，则直线AB有定向，且0202yaxbkAB（定值）（2）过双曲线12222byax上一定点),(00yxP任作两条倾斜角互补的直线交双曲线于BA,两点，则直线AB有定向，且0202yaxbkAB（定值）1 8 例 21.（1）设BA,为椭圆12222byax的长轴上，短轴一侧的两点，其中A在椭圆内，B在椭圆外，过点A的直线交椭圆于QP,两点，则2axxQBAPBABA（2）设BA,为椭圆12222byax的短轴上，长轴一侧的两点，其中A在椭圆内，B在椭圆外，过点 A 的直线交椭圆于QP,两点，则2byyQBAPBABA 例 22.设BA,为双曲线12222byax实轴上，虚轴一侧的两点，其中A在双曲线内，B在双曲线外，过点A的直线交双曲线的一支于QP,两点，则2axxQBAPBABA（2）设BA,为双曲线12222byax虚轴上两点，过点A的直线交双曲线的两支于QP,两点，则2byyQBAPBABA 1 9 例 23.（1）设椭圆12222byax的左右顶点为21,AA垂直于长轴的弦为21PP，则直线11PA与22PA的交点P的轨迹方程为双曲线12222byax（2）设双曲线12222byax的左右顶点为21,AA，垂直于实轴的弦为21PP，则直线11PA与22PA的交点P的轨迹方程为12222byax 2 0 例 23.（1）设点QP,是椭圆12222byax上两点，且OQOP，则 22221111baOQOP；2222224)(babaOQOP；2222min)(babaSOPQ（2）设点QP,是双曲线12222byax上两点，且OQOP，则 22221111baOQOP；2222224)(abbaOQOP；2222min)(abbaSOPQ