人教版二次根式全章教案142.pdf

第 1 页 第十六章 二次根式 教材内容 本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式 教学目标 1知识及技能 （1）理解二次根式的概念 （2）理解a（a0）是一个非负数，（a）2=a（a0），2a=a（a0）（3）掌握abab（a0，b0），ab=ab；ab=ab（a0，b0），ab=ab（a0，b0）（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减 2过程及方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念 再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算与化简 （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算 （3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简 （4）通过分析前面的计算与化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算与化简的目的 第 2 页 3情感、态度及价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算与化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力 教学重点 1二次根式a（a0）的内涵a（a0）是一个非负数；（a）2a（a0）；2a=a（a0）及其运用 2二次根式乘除法的规定及其运用 3最简二次根式的概念 4二次根式的加减运算 教学难点 1对a（a0）是一个非负数的理解；对等式（a）2a（a0）及2a=a（a0）的理解及应用 2二次根式的乘法、除法的条件限制 3利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式 单元课时划分 本单元教学时间约需 11 课时，具体分配如下：161 二次根式 3 课时 162 二次根式的乘法 3 课时 163 二次根式的加减 3 课时 教学活动、习题课、小结 2 课时 161 二次根式 第一课时 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 第 3 页 理解二次根式的概念，并利用a（a0）的意义解答具体题目 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题 教学重难点关键 1重点：形如a（a0）的式子叫做二次根式的概念；2难点及关键：利用“a（a0）”解决具体问题 教学过程 一、复习引入 活动 1、填空，完成课本思考 1：活动 2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义.活动 3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法.活动 4、思考下列问题：9的运算结果是 3，9是不是二次根式？3 是不是？定义中为什么要加a0？若 a0 时，a表示什么？可不可能为负数？a(a0)是什么样的数呢？可由学生思考后进行讨论，然后教师订正，最后师生共同归纳得出性质 1：a(a0)是一个非负数 二、探索新知 例 1 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x0）、0、42、-2、1xy、xy（x0，第 4 页 y 0）分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或 0 解：二次根式有：2、x（x0）、0、-2、xy（x0，y0）；不是二次根式的有：33、1x、42、1xy 例 2当 x 是多少时，31x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以 3x-10，31x才能有意义 解：由 3x-10，得：x13 当 x13时，31x在实数范围内有意义 三、巩固练习 教材 P3 练习 1、2 四、应用拓展 例 3当 x 是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？分析：要使23x+11x在实数范围内有意义，必须同时满足23x中的0 与11x中的 x+10 解：依题意，得 由得：x-32 由得：x-1 第 5 页 当 x-32且 x-1 时，23x+11x在实数范围内有意义 例 4(1)已知 y=2x+2x+5，求xy的值(答案:2)(2)若1a+1b=0，求 a2004+b2004的值(答案:25)五、归纳小结（学生活动，教师点评）本节课要掌握：1形如a（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号 2要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数 六、布置作业 习题 16.1 第 1、5 题 16.1 二次根式(2)第二课时 教学内容 1a（a0）是一个非负数；2（a）2=a（a0）教学目标 理解a（a0）是一个非负数与（a）2=a（a0），并利用它们进行计算与化简 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a0）；最后运用结论严谨解题 教学重难点关键 1重点：a（a0）是一个非负数；（a）2=a（a0）第 6 页 及其运用 2难点、关键：用分类思想的方法导出a（a0）是一个非负数；用探究的方法导出（a）2=a（a0）教学过程 一、复习引入 （学生活动）口答 1什么叫二次根式？2当 a0 时，a叫什么？当 a0；（2）a20；（3）a2+2a+1=（a+1）0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）20 所以上面的 4 题都可以运用（a）2=a（a0）的重要结论解题 解：（1）因为 x0，所以 x+10 （1x）2=x+1 （2）a20，（2a）2=a2 （3）a2+2a+1=（a+1）2 又 （a+1）2 0，a2+2a+1 0，第 8 页 221aa=a2+2a+1 （4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2 又（2x-3）20 4x2-12x+90，（24129xx）2=4x2-12x+9 例 3 在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3)2x2-3 分析：(略)五、归纳小结 本节课应掌握：1a（a0）是一个非负数；2（a）2=a（a0）;反之:a=（a）2（a0）六、布置作业 习题 16.1 第 2（1）-（4）、4、7 题 16.1 二次根式(3)第三课时 教学内容 2aa（a0）教学目标 理解2a=a（a0）并利用它进行计算与化简 通过具体数据的解答，探究2a=a（a0），并利用这个结论解决具体问题 教学重难点关键 1重点：2aa（a0）2难点：探究结论 3关键：讲清 a0 时，2aa 才成立 教学过程 一、复习引入 第 9 页 教师口述并板收上两节课的重要内容；1形如a（a0）的式子叫做二次根式；2a（a0）是一个非负数；3(a)2a（a0）那么，我们猜想当 a0 时，2a=a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题 二、探究新知 （学生活动）填空：22=_；20.01=_；21()10=_；22()3=_；20=_；23()7=_ （教师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：22=2；20.01=0.01；21()10=110；22()3=23；20=0；23()7=37 因此，一般地：2a=a（a0）例 1 化简 （1）9 （2）2(4)（3）25 （4）2(3)分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用2a=a（a0）去化简 解：（1）9=23=3 （2）2(4)=24=4 （3）25=25=5 （4）2(3)=23=3 三、巩固练习 教材 P4 练习 2 第 10 页 四、应用拓展 例 2 填空：当 a0 时，2a=_；当 aa，则 a 可以是什么数？分析：2a=a（a0），要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当 a0 时，2a=2()a，那么-a0 （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2a=a，而a要大于 a，只有什么时候才能保证呢？aa，即使 aa 所以 a不存在；当 aa，即使-aa，a0 综上，a2，化简2(2)x-2(1 2)x 分析：(略)五、归纳小结 本节课应掌握：2a=a（a0）及其运用，同时理解当 a0时，2aa 的应用拓展 六、布置作业 习题 16.1 第 2（5）-(8）、3、8、9 题 162 二次根式的乘除 第一课时 教学内容 第 11 页 abab（a0，b0），反之ab=ab（a0，b0）及其运用 教学目标 理解abab（a0，b0），ab=ab（a0，b0），并利用它们进行计算与化简 由具体数据，发现规律，导出abab（a0，b0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出ab=ab（a0，b0）并运用它进行解题与化简 教学重难点关键 重点：abab（a0，b0），ab=ab（a0，b0）及它们的运用 难点：发现规律，导出abab（a0，b0）关 键：要 讲 清ab（a0,b、0），反过来ab=ab（a0，b0）及利用它们进行计算与化简 教学目标 理解ab=ab（a0，b0）与ab=ab（a0，b0）及利用它们进行运算 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算与化简 教学重难点关键 1重点：理解ab=ab（a0，b0），ab=ab（a0，b0）及利用它们进行计算与化简 2难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题：1写出二次根式的乘法规定及逆向等式 2填空 （1）916=_，916=_；（2）1636=_，1636=_；（3）416=_，416=_；第 15 页 （4）3681=_，3681=_ 规律：916_916；1636_1636；416_416；3681_3681 3利用计算器计算填空:（1）34=_，（2）23=_，（3）25=_，（4）78=_ 规律：34_34；23_23；25_25；78_78。每组推荐一名学生上台阐述运算结果 （教师点评）二、探索新知 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习与回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：ab=ab（a0，b0），反过来，ab=ab（a0，b0）下面我们利用这个规定来计算与化简一些题目 第 16 页 例 1计算：（1）123 （2）3128 （3）（4）648 分析：上面 4 小题利用ab=ab（a0，b0）便可直接得出答案 解：（1）123=123=4=2 （2）3128=3=23（3）=4=2（4）648=648=8=22 例 2化简：（1）364 （2）22649ba （3）2964xy （4）25169xy 分析：直接利用ab=ab（a0，b0）就可以达到化简之目的 解：（1）364=（2）22649ba=（3）2964xy=（4）25169xy=三、巩固练习 教材 P10 练习 1 第 17 页 四、应用拓展 例 3已知，且 x 为偶数，求（1+x）的值 分析：式子ab=ab，只有 a0，b0 时才能成立 因此得到 9-x0 且 x-60，即 6x9，又因为 x 为偶数，所以 x=8 解：由题意得9060 xx，即96xx 60）与ab=ab（a0，b0）及其运用 六、布置作业 习题 16.2 第 2,3（3）（4),7 题。16.2 二次根式的乘除(3)第三课时 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次第 18 页 根式的化简运算 教学目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求 重难点关键 1重点：最简二次根式的运用 2难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式 教学过程 一、复习引入 1计算（1）35，（2）3 227，（3）82a 教师点评：35=155，3 227=63，82a=2 aa 2现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是 h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是_ 它们的比是1222RhRh 二、探索新知 观察上面计算题 1 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式 第 19 页 学生分组讨论，推荐 34 个人到黑板上板书 教师点评：不是 例 1(1)5312;(2)2442x yx y;(3)238x y 三、巩固练习 教材 P10 练习 2、3 四、应用拓展 例 3观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=2-1，同理可得：143=4-3，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （121+132+143+）（2002+1）的值 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的 解：原式=（2-1+3-2+4-3+2002-2001）（2002+1）=（2002-1）（2002+1）=2002-1=2001 五、归纳小结 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用 六、布置作业 习题 16.2 第 5,8,9,10 题 16.3 二次根式的加减(1)第 20 页 第一课时 教学内容 二次根式的加减 教学目标 理解与掌握二次根式加减的方法 先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解 再总结经验，用它来指导根式的计算与化简 重难点关键 1重点：二次根式化简为最简根式 2难点关键：会判定是否是最简二次根式 教学过程 一、复习引入 学生活动：计算下列各式 （1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并同类项合并就是字母不变，系数相加减 二、探索新知 学生活动：计算下列各式（1）22+32 （2）28-38+58 （3）7+27+39 7 （4）33-23+2 教师点评：（1）如果我们把2当成 x，不就转化为上面的问题吗？22+32=（2+3）2=52 （2）把8当成 y；28-38+58=（2-3+5）8=48=82 第 21 页 （3）把7当成 z；7+27+97 =27+27+37=（1+2+3）7=67 （4）3看为 x，2看为 y 33-23+2 =（3-2）3+2 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如 22及8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的 （板书）32+8=32+22=52 33+27=33+33=63 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 例 1计算 （1）8+18 （2）16x+64x 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并 解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52 （2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x 例 2计算 （1）348-913+312 （2）（48+20）+（12-5）解：（1）348-913+312=123-33+63=（12-3+6）3=153 （2）（48+20）+（12-5）=48+20+12-5 =43+25+23-5=63+5 第 22 页 三、巩固练习 教材 P13 练习 1、2 四、应用拓展 例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（293xx+y23xy）-（x21x-5xyx）的值 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即 x=12，y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值 解：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 （2x-1）2+（y-3）2=0 x=12，y=3 原式=293xx+y23xy-x21x+5xyx =2xx+xy-xx+5xy =xx+6xy 当 x=12，y=3 时，原式=1212+632=24+36 五、归纳小结 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二第 23 页 次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并 六、布置作业 习题 16.3 第 1,2,3 题。16.3 二次根式的加减(2)第二课时 教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题 教学目标 运用二次根式、化简解应用题 通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题 重难点关键 讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点 教学过程 一、复习引入 上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并 二、探索新知 例 1如图所示的 RtABC 中，B=90，点 P 从点 B开始沿 BA 边以 1 厘米/秒的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米/秒的速度向点 C 移动问：几秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米？（结果用最简二次根式表示）分析：设 x 秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米，那么 PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出 x 的值 第 24 页 解：设 x 后PBQ 的面积为 35 平方厘米 则有 PB=x，BQ=2x 依题意，得：12x2x=35 x2=35 x=35 所以35秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米 答：35秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米 三、巩固练习 教材 P13 练习 3 四、应用拓展 例 3 若最简根式343a bab及根式23226abbb是同类二次根式，求 a、b 的值（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式23226abbb不是最简二次根式，因此把23226abbb化简成|b|26ab，才由同类二次根式的定义得 3a-b=2，2a-b+6=4a+3b 解：首先把根式23226abbb化为最简二次根式：23226abbb=2(21 6)ba=|b|26ab 由题意得 a=1，b=1 五、归纳小结 本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题 六、布置作业 习题 16.3 第 5,7 题。16.3 二次根式的加减(3)第三课时 第 25 页 教学内容 含有二次根式的单项式及单项式相乘、相除；多项式及单项式相乘、相除；多项式及多项式相乘、相除；乘法公式的应用 教学目标 含有二次根式的式子进行乘除运算与含有二次根式的多项式乘法公式的应用 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算 重难点关键 重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题:1计算 （1）（2x+y）zx （2）（2x2y+3xy2）xy 2计算 （1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2 二、探索新知 如果把上面的 x、y、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？例 1计算:（1）（6+8）3 （2）（46-32）22 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律 解：（1）（6+8）3=63+83 =18+24=32+26 第 26 页 解：（46-32）22=4622-3222 =23-32 例 2计算 （1）（5+6）（3-5）（2）（10+7）（10-7）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立 解：（1）（5+6）（3-5）=35-（5）2+18-65 =13-35 （2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2 =10-7=3 三、巩固练习 课本 P14 练习 1、2 四、应用拓展 例 3化简 例 4.当 x=121时，求+的值（结果用最简二次根式表示）五、归纳小结 本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算 六、布置作业 习题 16.3 第 4,6,8 题