初三数学一模试题分类汇编——平行四边形综合附答案.pdf

初三数学一模试题分类汇编平行四边形综合附答案 一、平行四边形 1（1）、动手操作：如图：将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在点处，折痕为 EF，若 ABE20，那么的度数为 .（2）、观察发现：小明将三角形纸片 ABC（ABAC）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为AD，展开纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为 EF，展平纸片后得到 AEF（如图）小明认为 AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由 （3）、实践与运用：将矩形纸片 ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕 EF，折痕与 AD 边交于点 E，与 BC边交于点 F；将矩形 ABFE 与矩形 EFCD 分别沿折痕 MN 和 PQ 折叠，使点 A、点 D 都与点 F重合，展开纸片，此时恰好有 MPMNPQ（如图），求 MNF 的大小.【答案】（1）125；（2）同意；（3）60【解析】试题分析：（1）根据直角三角形的两个锐角互余求得 AEB=70，根据折叠重合的角相等，得 BEF=DEF=55，根据平行线的性质得到 EFC=125，再根据折叠的性质得到 EFC=EFC=125；（2）根据第一次折叠，得 BAD=CAD；根据第二次折叠，得 EF 垂直平分 AD，根据等角的余角相等，得 AEG=AFG，则 AEF 是等腰三角形；（3）由题意得出：NMF=AMN=MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，进而得出 MNF MPF，得出 3 MNF=180求出即可 试题解析：（1）、在直角三角形 ABE 中，ABE=20，AEB=70，BED=110，根据折叠重合的角相等，得 BEF=DEF=55 AD BC，EFC=125，再根据折叠的性质得到 EFC=EFC=125；（2）、同意，如图，设 AD 与 EF 交于点 G 由折叠知，AD 平分 BAC，所以 BAD=CAD 由折叠知，AGE=DGE=90，所以 AGE=AGF=90，所以 AEF=AFE 所以 AE=AF，即 AEF 为等腰三角形（3）、由题意得出：NMF AMN MNF，MFNF，由折叠可知，MFPF，NFPF，而由题意得出：MPMN，又 MFMF，MNF MPF，PMF NMF，而 PMF NMF MNF180，即 3 MNF180，MNF60.考点：1.折叠的性质；2.等边三角形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.等腰三角形的判定 2已知，在矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b，动点 M 从点 A 出发沿边 AD 向点 D 运动 （1）如图 1，当 b=2a，点 M 运动到边 AD 的中点时，请证明 BMC=90；（2）如图 2，当 b2a 时，点 M 在运动的过程中，是否存在 BMC=90，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图 3，当 b2a 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析;（3）不成立理由如下见解析.【解析】试题分析：（1）由 b=2a，点 M 是 AD 的中点，可得 AB=AM=MD=DC=a，又由四边形 ABCD是矩形，即可求得 AMB=DMC=45，则可求得 BMC=90；（2）由 BMC=90，易证得 ABM DMC，设 AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2bx+a2=0，由 b2a，a0，b0，即可判定 0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；（3）由（2），当 b2a，a0，b0，判定方程 x2bx+a2=0 的根的情况，即可求得答案 试题解析：（1）b=2a，点 M 是 AD 的中点，AB=AM=MD=DC=a，又 在矩形 ABCD 中，A=D=90，AMB=DMC=45，BMC=90（2）存在，理由：若 BMC=90，则 AMB+DMC=90，又 AMB+ABM=90，ABM=DMC，又 A=D=90，ABM DMC，AMABCDDM，设 AM=x，则xaabx，整理得：x2bx+a2=0，b2a，a0，b0，=b24a20，方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，当 b2a 时，存在 BMC=90，（3）不成立 理由：若 BMC=90，由（2）可知 x2bx+a2=0，b2a，a0，b0，=b24a20，方程没有实数根，当 b2a 时，不存在 BMC=90，即（2）中的结论不成立 考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质 3如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB，CD 边于点E，F（1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形；（2）当四边形 BEDF 是菱形时，求 EF 的长 【答案】（1）证明见解析；（2）4 133【解析】分析：（1）根据平行四边形 ABCD 的性质，判定 BOE DOF（ASA），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在 Rt ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 BE，由勾股定理求出 BD，得出OB，再由勾股定理求出 EO，即可得出 EF 的长.详解：（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点，A=90，AD=BC=4，AB DC，OB=OD，OBE=ODF，在 BOE 和 DOF 中，OBEODFOBODBOEDOF BOE DOF（ASA），EO=FO，四边形 BEDF 是平行四边形；（2）当四边形 BEDF 是菱形时，BDEF，设 BE=x，则 DE=x，AE=6-x，在 Rt ADE 中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6-x）2，解得：x=133，BD=22ADAB=213，OB=12BD=13，BDEF，EO=22BEOB=2 133，EF=2EO=4 133 点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 4如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AO=CO，BO=DO，且 ABC+ADC=180（1）求证：四边形 ABCD 是矩形（2）若 ADF：FDC=3：2，DFAC，求 BDF 的度数 【答案】(1)见解析；（2）18.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形 ABCD 是平行四边形，求出 ABC=90，根据矩形的判定得出即可；（2）求出 FDC 的度数，根据三角形内角和定理求出 DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出 CDO，即可求出答案【详解】（1）证明：AO=CO，BO=DO 四边形 ABCD 是平行四边形，ABC=ADC，ABC+ADC=180，ABC=ADC=90，四边形 ABCD 是矩形；（2）解：ADC=90，ADF：FDC=3：2，FDC=36，DFAC，DCO=9036=54，四边形 ABCD 是矩形，OC=OD，ODC=54 BDF=ODC FDC=18【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形 5如图，四边形 ABCD 中，BCD=D=90，E 是边 AB 的中点.已知 AD=1，AB=2.（1）设 BC=x，CD=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当 B=70时，求 AEC 的度数；（3）当 ACE 为直角三角形时，求边 BC 的长.【答案】（1）22303yxxx；（2）AEC=105；（3）边 BC 的长为2 或1172.【解析】试题分析：（1）过 A 作 AHBC 于 H，得到四边形 ADCH 为矩形在 BAH 中，由勾股定理即可得出结论（2）取 CD 中点 T，连接 TE，则 TE 是梯形中位线，得 ET AD，ETCD，AET=B=70 又 AD=AE=1，得到 AED=ADE=DET=35由 ET 垂直平分 CD，得 CET=DET=35，即可得到结论 （3）分两种情况讨论：当 AEC=90时，易知 CBE CAE CAD，得 BCE=30，解 ABH 即可得到结论 当 CAE=90时，易知 CDA BCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论 试题解析：解：（1）过 A 作 AHBC 于 H由 D=BCD=90，得四边形 ADCH 为矩形 在 BAH 中，AB=2，BHA=90，AH=y，HB=1x，22221yx，则22303yxxx（2）取 CD 中点 T，联结 TE，则 TE 是梯形中位线，得 ET AD，ETCD，AET=B=70 又 AD=AE=1，AED=ADE=DET=35由 ET 垂直平分 CD，得 CET=DET=35，AEC=7035=105 （3）分两种情况讨论：当 AEC=90时，易知 CBE CAE CAD，得 BCE=30，则在 ABH 中，B=60，AHB=90，AB=2，得 BH=1，于是 BC=2 当 CAE=90时，易知 CDA BCA，又2224ACBCABx，则221411724ADCAxxACCBxx（舍负）易知 ACE90，所以边 BC 的长为1172 综上所述：边 BC 的长为 2 或1172 点睛：本题是四边形综合题考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法 6在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且 EAF=CEF=45.(1)将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG(如图)，求证：AEG AEF；(2)若直线 EF 与 AB，AD 的延长线分别交于点 M，N(如图)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图)，请你直接写出线段 EF，BE，DF 之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知 AF=AG，EAF=GAE=45，故可证 AEG AEF；（2）将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG，连结 GM由（1）知 AEG AEF，则 EG=EF再由 BME、DNF、CEF 均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明 GME=90，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明 EF2=ME2+NF2；（3）将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG，根据旋转的性质可以得到 ADF ABG，则 DF=BG，再证明 AEG AEF，得出 EG=EF，由 EG=BG+BE，等量代换得到 EF=BE+DF 试题解析：（1）ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG，AF=AG，FAG=90，EAF=45，GAE=45，在 AGE 与 AFE 中，AGE AFE（SAS）；（2）设正方形 ABCD 的边长为 a 将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG，连结 GM 则 ADF ABG，DF=BG 由（1）知 AEG AEF，EG=EF CEF=45，BME、DNF、CEF 均为等腰直角三角形，CE=CF，BE=BM，NF=DF，aBE=aDF，BE=DF，BE=BM=DF=BG，BMG=45，GME=45+45=90，EG2=ME2+MG2，EG=EF，MG=BM=DF=NF，EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2 如图所示，延长 EF 交 AB 延长线于 M 点，交 AD 延长线于 N 点，将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 AGH，连结 HM，HE 由（1）知 AEH AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BMGM）2=EH2 又 EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BEGH）2=EF2，即 2（DF2+BE2）=EF2 考点：四边形综合题 7如图，ABCD 是正方形，点 G 是 BC 上的任意一点，DEAG 于 E，BF DE，交 AG 于F 求证：AF=BF+EF 【答案】详见解析.【解析】【分析】由四边形 ABCD 为正方形，可得出 BAD 为 90，AB=AD，进而得到 BAG 与 EAD 互余，又 DE 垂直于 AG，得到 EAD 与 ADE 互余，根据同角的余角相等可得出 ADE=BAF，利用 AAS 可得出 ABF DAE；利用全等三角的对应边相等可得出 BF=AE，由 AF-AE=EF，等量代换可得证.【详解】ABCD 是正方形，AD=AB，BAD=90 DEAG，DEG=AED=90 ADE+DAE=90 又 BAF+DAE=BAD=90，ADE=BAF BF DE，AFB=DEG=AED 在 ABF 与 DAE 中，AFBAEDADEBAFADAB ，ABF DAE（AAS）BF=AE AF=AE+EF，AF=BF+EF 点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键 8（感知）如图，四边形 ABCD、CEFG 均为正方形可知 BE=DG（拓展）如图，四边形 ABCD、CEFG 均为菱形，且 A=F求证：BE=DG（应用）如图，四边形 ABCD、CEFG 均为菱形，点 E 在边 AD 上，点 G 在 AD 延长线上若 AE=2ED，A=F，EBC 的面积为 8，菱形 CEFG 的面积是_（只填结果）【答案】见解析【解析】试题分析：探究：由四边形 ABCD、四边形 CEFG 均为菱形，利用 SAS 易证得 BCE DCG，则可得 BE=DG；应用：由 AD BC，BE=DG，可得 S ABE+S CDE=S BEC=S CDG=8，又由 AE=3ED，可求得 CDE的面积，继而求得答案 试题解析：探究：四边形 ABCD、四边形 CEFG 均为菱形，BC=CD，CE=CG，BCD=A，ECG=F A=F，BCD=ECG BCD-ECD=ECG-ECD，即 BCE=DCG 在 BCE 和 DCG 中，BCCDBCEDCGCECG BCE DCG（SAS），BE=DG 应用：四边形 ABCD 为菱形，AD BC，BE=DG，S ABE+S CDE=S BEC=S CDG=8，AE=3ED，S CDE=1824,S ECG=S CDE+S CDG=10 S菱形CEFG=2S ECG=20.9定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等 理解：如图，在 ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，那么 ACD 和 BCD 是“友好三角形”，并且 S ACD=S BCD 应用：如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上，AE=BF，AF与 BE 交于点 O（1）求证：AOB 和 AOE 是“友好三角形”；（2）连接 OD，若 AOE 和 DOE 是“友好三角形”，求四边形 CDOF 的面积 探究：在 ABC 中，A=30，AB=4，点 D 在线段 AB 上，连接 CD，ACD 和 BCD 是“友好三角形”，将 ACD 沿 CD 所在直线翻折，得到 ACD，若 ACD 与 ABC 重合部分的面积等于 ABC 面积的，请直接写出 ABC 的面积 【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2 或 2【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形 ABFE 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得 OE=OB，即可证得 AOE 和 AOB 是友好三角形；（2）AOE 和 DOE 是“友好三角形”，即可得到 E 是 AD 的中点，则可以求得 ABE、ABF 的面积，根据 S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S ABF即可求解 探究：画出符合条件的两种情况：求出四边形 ADCB 是平行四边形，求出 BC 和 AD 推出 ACB=90，根据三角形面积公式求出即可；求出高 CQ，求出 ADC 的面积即可求出 ABC 的面积 试题解析：（1）四边形 ABCD 是矩形，AD BC，AE=BF，四边形 ABFE 是平行四边形，OE=OB，AOE 和 AOB 是友好三角形（2）AOE 和 DOE 是友好三角形，S AOE=S DOE，AE=ED=AD=3，AOB 与 AOE 是友好三角形，S AOB=S AOE，AOE FOB，S AOE=S FOB，S AOD=S ABF，S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S ABF=46-2 43=12 探究：解：分为两种情况：如图 1，S ACD=S BCD AD=BD=AB，沿 CD 折叠 A 和 A重合，AD=AD=AB=4=2，ACD 与 ABC 重合部分的面积等于 ABC 面积的，S DOC=S ABC=S BDC=S ADC=S ADC，DO=OB，AO=CO，四边形 ADCB 是平行四边形，BC=AD=2，过 B 作 BMAC 于 M，AB=4，BAC=30，BM=AB=2=BC，即 C 和 M 重合，ACB=90，由勾股定理得：AC=，ABC 的面积是 BCAC=22=2；如图 2，S ACD=S BCD AD=BD=AB，沿 CD 折叠 A 和 A重合，AD=AD=AB=4=2，ACD 与 ABC 重合部分的面积等于 ABC 面积的，S DOC=S ABC=S BDC=S ADC=S ADC，DO=OA，BO=CO，四边形 ABDC 是平行四边形，AC=BD=2，过 C 作 CQAD 于 Q，AC=2，DAC=BAC=30，CQ=AC=1，S ABC=2S ADC=2S ADC=2 ADCQ=2 21=2；即 ABC 的面积是 2 或 2 考点：四边形综合题 10在ABC中，ABC90，BD 为 AC 边上的中线，过点 C 作CEBD于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取FGBD，连接 BG，DF 1求证：BDDF；2求证：四边形 BDFG 为菱形；3若AG5，CF7，求四边形 BDFG 的周长 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】1利用平行线的性质得到90CFA，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，2利用平行四边形的判定定理判定四边形 BDFG 为平行四边形，再利用 1得结论即可得证，3设GFx，则5AFx，利用菱形的性质和勾股定理得到 CF、AF 和 AC 之间的关系，解出 x 即可【详解】1证明：AG/BD，CFBD，CFAG，又D为 AC 的中点，1DFAC2，又1BDAC2，BDDF，2证明：BD/GF，BDFG，四边形 BDFG 为平行四边形，又BDDF，四边形 BDFG 为菱形，3解：设GFx，则AF5x，AC2x，在Rt AFC中，222(2x)(7)(5x)，解得：1x2，216x(3 舍去)，GF2，菱形 BDFG 的周长为 8【点睛】本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键 11如图，AB 为O 的直径，点 E 在O 上，过点 E 的切线与 AB 的延长线交于点 D，连接 BE，过点 O 作 BE 的平行线，交O 于点 F，交切线于点 C，连接 AC（1）求证：AC 是O 的切线；（2）连接 EF，当 D=时，四边形 FOBE 是菱形 【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出OCAOCE，根据圆的位置关系证得 AC 是O 的切线.（2）根据四边形 FOBE 是菱形，得到 OF=OB=BF=EF，得证OBE为等边三角形，而得出60BOE，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：CD 与O 相切于点 E，OECD，90CEO，又OCBE，COEOEB，OBE=COA OE=OB，OEBOBE，COECOA，又 OC=OC，OA=OE，OCAOCE SAS（），90CAOCEO，又 AB 为O 的直径，AC 为O 的切线；（2）解：四边形 FOBE 是菱形，OF=OB=BF=EF，OE=OB=BE，OBE为等边三角形，60BOE，而OECD，30D 故答案为 30【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.12如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将该矩形沿 AE 折叠，使点 D 落在边 BC 上的点 F 处，过点 F 作 FG CD，交 AE 于点 G，连接 DG （1）求证：四边形 DEFG 为菱形；（2）若 CD=8，CF=4，求的值【答案】（1）证明见试题解析；（2）【解析】试题分析：（1）由折叠的性质，可以得到 DG=FG，ED=EF，1=2，由 FG CD，可得 1=3，再证明 FG=FE，即可得到四边形 DEFG 为菱形；（2）在 Rt EFC 中，用勾股定理列方程即可 CD、CE，从而求出的值 试题解析：（1）由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，1=2，FG CD，2=3，FG=FE，DG=GF=EF=DE，四边形 DEFG 为菱形；（2）设 DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8x，在 Rt EFC 中，即，解得：x=5，CE=8x=3，=考点：1翻折变换（折叠问题）；2勾股定理；3菱形的判定与性质；4矩形的性质；5综合题 13如图 1，若分别以 ABC 的 AC、BC 两边为边向外侧作的四边形 ACDE 和 BCFG 为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形（1）发现：如图 2，当 C=90时，求证：ABC 与 DCF 的面积相等（2）引申：如果 C90时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图 1 给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图 3，分别以 ABC 的三边为边向外侧作的四边形 ACDE、BCFG 和 ABMN 为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形已知 ABC 中，AC=3，BC=4当 C=_时，图中阴影部分的面积和有最大值是_ 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为 AC=DC，ACB=DCF=90，BC=FC，所以 ABC DFC，从而 ABC 与 DFC 的面积相等；（2）延长 BC 到点 P，过点 A 作 APBP 于点 P；过点 D 作 DQFC 于点 Q得到四边形ACDE，BCFG 均为正方形，AC=CD，BC=CF，ACP=DCQ所以 APC DQC 于是 AP=DQ又因为 S ABC=12BCAP，S DFC=12FCDQ，所以 S ABC=S DFC；（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是 ABC 的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形 ABC 的面积最大，当 ABC 是直角三角形，即 C 是 90 度时，阴影部分的面积和最大所以 S阴影部分面积和=3S ABC=31234=18（1）证明：在 ABC 与 DFC 中，ACDCACBDCFBCFC，ABC DFC ABC 与 DFC 的面积相等；（2）解：成立理由如下：如图，延长 BC 到点 P，过点 A 作 APBP 于点 P；过点 D 作 DQFC 于点 Q APC=DQC=90 四边形 ACDE，BCFG 均为正方形，AC=CD，BC=CF，ACP+PCD=90，DCQ+PCD=90，ACP=DCQ APCDQCACPDCQACCD，APC DQC（AAS），AP=DQ 又 S ABC=12BCAP，S DFC=12FCDQ，S ABC=S DFC；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是 ABC 的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形 ABC 的面积最大，当 ABC 是直角三角形，即 C 是 90 度时，阴影部分的面积和最大 S阴影部分面积和=3S ABC=31234=18 考点：四边形综合题 14正方形 ABCD 的边长为 1，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 是 AB 边上的一个动点（点 E 不与点 A、B 重合），CE 与 BD 相交于点 F，设线段 BE 的长度为 x （1）如图 1，当 AD=2OF 时，求出 x 的值；（2）如图 2，把线段 CE 绕点 E 顺时针旋转 90，使点 C 落在点 P 处，连接 AP，设 APE的面积为 S，试求 S 与 x 的函数关系式并求出 S 的最大值【答案】（1）x=1；（2）S=（x）2+（0 x1），当 x=时，S 的值最大，最大值为，【解析】试题分析：（1）过 O 作 OM AB 交 CE 于点 M，如图 1，由平行线等分线段定理得到CM=ME，根据三角形的中位线定理得到 AE=2OM=2OF，得到 OM=OF，于是得到 BF=BE=x，求得 OF=OM=解方程，即可得到结果；（2）过 P 作 PGAB 交 AB 的延长线于 G，如图 2，根据已知条件得到 ECB=PEG，根据全等三角形的性质得到 EB=PG=x，由三角形的面积公式得到 S=（1x）x，根据二次函数的性质即可得到结论 试题解析：（1）过 O 作 OM AB 交 CE 于点 M，如图 1，OA=OC，CM=ME，AE=2OM=2OF，OM=OF，BF=BE=x，OF=OM=，AB=1，OB=，x=1；（2）过 P 作 PGAB 交 AB 的延长线于 G，如图 2，CEP=EBC=90，ECB=PEG，PE=EC，EGP=CBE=90，在 EPG 与 CEB 中，EPG CEB，EB=PG=x，AE=1x，S=（1x）x=x2+x=（x）2+，（0 x1），0，当 x=时，S 的值最大，最大值为，考点：四边形综合题 15如图，在菱形 ABCD 中，AB=6，ABC=60，AHBC 于点 H动点 E 从点 B 出发，沿线段 BC 向点 C 以每秒 2 个单位长度的速度运动过点 E 作 EFAB，垂足为点 F点 E 出发后，以 EF 为边向上作等边三角形 EFG，设点 E 的运动时间为 t 秒，EFG 和 AHC 的重合部分面积为 S（1）CE=（含 t 的代数式表示）（2）求点 G 落在线段 AC 上时 t 的值（3）当 S0 时，求 S 与 t 之间的函数关系式（4）点 P 在点 E 出发的同时从点 A 出发沿 A-H-A 以每秒 2个单位长度的速度作往复运动，当点 E 停止运动时，点 P 随之停止运动，直接写出点 P 在 EFG 内部时 t 的取值范围 【答案】（1）6-2t；（2）t=2；（3）当 t2 时，S=t2+t-3；当 2t3 时，S=-t2+t-；（4）t【解析】试题分析:（1）由菱形的性质得出 BC=AB=6 得出 CE=BC-BE=6-2t 即可；（2）由菱形的性质和已知条件得出 ABC 是等边三角形，得出 ACB=60，由等边三角形的性质和三角函数得出 GEF=60，GE=EF=BEsin60=t，证出 GEC=90，由三角函数求出 CE=t，由 BE+CE=BC 得出方程，解方程即可；（3）分两种情况：当 t2 时，S=EFG 的面积-NFN 的面积，即可得出结果；当 2t3 时，由的结果容易得出结论；（4）由题意得出 t=时，点 P 与 H 重合，E 与 H 重合，得出点 P 在 EFG 内部时，t 的不等式，解不等式即可 试题解析：（1）根据题意得：BE=2t，四边形 ABCD 是菱形，BC=AB=6，CE=BC-BE=6-2t；（2）点 G 落在线段 AC 上时，如图 1 所示：四边形 ABCD 是菱形，AB=BC，ABC=60，ABC 是等边三角形，ACB=60，EFG 是等边三角形，GEF=60，GE=EF=BEsin60=t，EFAB，BEF=90-60=30，GEB=90，GEC=90，CE=t，BE+CE=BC，2t+t=6，解得：t=2；（3）分两种情况：当 t2 时，如图 2 所示：S=EFG 的面积-NFN 的面积=（t）2-（-+2）2=t2+t-3，即 S=t2+t-3；当 2t3 时，如图 3 所示：S=t2+t-3-（3t-6）2，即 S=-t2+t-；（4）AH=ABsin60=6=3，32=，32=，t=时，点 P 与 H 重合，E 与 H 重合，点 P 在 EFG 内部时，-（t-）2t-（2t-3）+（2t-3），解得：t；即点 P 在 EFG 内部时 t 的取值范围为：t 考点：四边形综合题