几何概型优质课.ppt
复习题：在复习题：在0至至10中，任意取出一整数，中，任意取出一整数，则该整数小于则该整数小于5的概率的概率.问题问题2 2（转盘游戏）：（转盘游戏）：图中有两个转盘图中有两个转盘.甲乙两甲乙两人玩转盘游戏人玩转盘游戏,规定当指针指向规定当指针指向B B区域时区域时,甲获胜甲获胜,否则乙获胜否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少是多少?问题问题1：在：在0至至10中，任意取出一实数，中，任意取出一实数，则该数小于则该数小于5的概率的概率.定义：定义：如果每个事件发生的概率只与构如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成该事件区域的长度(面积或体积面积或体积)成比例，成比例，则称这样的概率模型为则称这样的概率模型为几何概率模型几何概率模型(geometric models of probability)，简称，简称几何概型几何概型。特征：特征：（1）、）、无限性无限性：基本事件的个数无限：基本事件的个数无限（2）、）、等可能性等可能性：基本事件出现的可能性相同：基本事件出现的可能性相同P(A)=构成事件构成事件A的测度的测度(区域长度、面积或体积区域长度、面积或体积)试验的全部结果所构成的测度试验的全部结果所构成的测度(区域长度、面积或体积区域长度、面积或体积)记为：记为：几何概型的概率公式几何概型的概率公式：有限性有限性有限性有限性等可能性等可能性等可能性等可能性几何概型几何概型几何概型几何概型古典概型古典概型古典概型古典概型同同异异等可能性等可能性等可能性等可能性无限性无限性无限性无限性判断以下各题的是何种概率模型，并求相应概率判断以下各题的是何种概率模型，并求相应概率（1 1）在集合）在集合 A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取一个中任取一个元素元素 ,则则 的概率为的概率为 （2 2）已知点）已知点O O（0 0，0 0），点），点M M（6060，0 0），在线段），在线段OMOM上任取一上任取一 点点P P，则，则 的概率为的概率为 （1）为古典概率模型）为古典概率模型,P（）=7/10（2）为几何概率模型）为几何概率模型,P（）=1/6 是与长度有关的几何概型问题是与长度有关的几何概型问题 口答：口答：1.1.长度问题：长度问题：取一根长度为取一根长度为3m3m的绳子，的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于的长度都不小于1m1m的概率有多大？的概率有多大？基础训练：基础训练：解：解：由题意可得由题意可得故由几何概型的知识可知，事件故由几何概型的知识可知，事件A A发生的概率为：发生的概率为：设设“剪得两段绳长都不小于剪得两段绳长都不小于1m1m”为事件为事件A A。则把线段三等分，当剪断中间一段时，事件则把线段三等分，当剪断中间一段时，事件A A发生发生3m1m1m2.2.面积问题：面积问题：如右下图所示的单位圆如右下图所示的单位圆,假假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分分别计算它落到阴影部分的概率别计算它落到阴影部分的概率.解：解：由题意可得由题意可得从而：基本事件的全体从而：基本事件的全体 对应的几何区域为对应的几何区域为面积为的单位圆面积为的单位圆 事件事件A A对应的几何区域为对应的几何区域为第一个图形的阴影部分面积第一个图形的阴影部分面积 事件事件B B对应的几何区域为对应的几何区域为第二个图形的阴影部分面积第二个图形的阴影部分面积故几何概型的知识可知，事件故几何概型的知识可知，事件A A、B B发生的概率分别为：发生的概率分别为：设设“豆子落在第一个图形的阴影部分豆子落在第一个图形的阴影部分”为事件为事件A A，“豆子落在第二个图形的阴影部分豆子落在第二个图形的阴影部分”为事件为事件B B。思考思考:在单位圆内有一点在单位圆内有一点A A，现在随，现在随 机向圆内扔一颗小豆子。机向圆内扔一颗小豆子。（1 1）求小豆子落点正好为点）求小豆子落点正好为点A A的概率。的概率。（2 2）求小豆子落点不为点）求小豆子落点不为点A A的概率。的概率。结论：结论：若若A A是不可能事件，则是不可能事件，则P(A)=0P(A)=0；反之不成立反之不成立 即：概率为即：概率为0 0的事件不一定是不可能事件。的事件不一定是不可能事件。若若A A是必然事件，则是必然事件，则P(A)=1P(A)=1；反之不成立反之不成立 即：概率为即：概率为1 1的事件不一定是必然事件。的事件不一定是必然事件。A链接链接3.3.体积问题：体积问题：有一杯有一杯1 1升的水升的水,其中含有其中含有1 1个细菌个细菌,用一个小杯从这杯水中取出用一个小杯从这杯水中取出0.10.1升升,求小杯水中含有这个细菌的概率求小杯水中含有这个细菌的概率.解：解：由题意可得由题意可得则：基本事件的全体则：基本事件的全体 对应的几何区域为对应的几何区域为体积为体积为1 1升的水升的水 事件事件A A对应的几何区域为对应的几何区域为体积为体积为0.1升的水升的水故由几何概型的知识可知，事件故由几何概型的知识可知，事件A A发生的概率为：发生的概率为：设设“取出的取出的0.10.1升水中含有细菌升水中含有细菌”为事件为事件A A。1.1.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于机，想听电台报时，求他等待的时间不多于1010分钟的概率。分钟的概率。(电台整点报时电台整点报时)解：设解：设A=A=等待的时间不多于等待的时间不多于1010分钟分钟，事件事件A A恰好是打开收音机的时刻位于恰好是打开收音机的时刻位于5050，60 60 内内 因此由几何概型的求概率公式得：因此由几何概型的求概率公式得：P P（A A）=（60-5060-50）/60=1/6/60=1/6 “等待报时的时间不超过等待报时的时间不超过1010分钟分钟”的概率为的概率为1/61/6提升训练：提升训练：析：析：如图所示如图所示,这是长度型几何概型问题这是长度型几何概型问题,当硬币中心当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰,故由几何概型的知识可知所求概率为：故由几何概型的知识可知所求概率为：2.2.平面上有一组平行线平面上有一组平行线,且相邻平行线间的且相邻平行线间的距离为距离为3 cm,3 cm,把一枚半径为把一枚半径为1 cm1 cm的硬币任意的硬币任意平抛在这个平面上平抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平求硬币不与任何一条平行线碰的概率。行线碰的概率。课堂小结课堂小结1.1.几何概型的特征：无限性、等可能性、可区域化几何概型的特征：无限性、等可能性、可区域化2.2.几何概型主要用于解决与测度有关的题目几何概型主要用于解决与测度有关的题目3.3.注意理解几何概型与古典概型的区别。注意理解几何概型与古典概型的区别。4.4.如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解。何概型公式求解。1.1.在区间在区间1,31,3上任取一数上任取一数,则这个数大于则这个数大于1.51.5的概率为的概率为 ()()A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75 A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75D当堂检测：当堂检测：A.B.C.D.A.B.C.D.无法计算无法计算B2.2.如图所示如图所示,边长为边长为2 2的正方形中有一封闭曲线围成的的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区它落在阴影区域内的概率为域内的概率为 则阴影区域的面积为则阴影区域的面积为 ()()3.3.在在RtABCRtABC中中,A=30,A=30,过直角顶点过直角顶点C C作射线作射线CMCM交交线段线段ABAB于于M,M,求求|AM|AC|AM|AC|的概率的概率.1/6 析析:如图所示如图所示,因为过一点作射线是均匀的因为过一点作射线是均匀的,因而应把在因而应把在ACBACB内作射内作射线线CMCM看做是等可能的看做是等可能的,基本基本事件是射线事件是射线CMCM落在落在ACBACB内内任一处任一处,使使|AM|AC|AM|AC|的概的概率只与率只与BCCBCC的大小有关的大小有关,这符合几何概型的条件这符合几何概型的条件.1/6检测检测3 3：题组一：与长度有关的几何概型题组一：与长度有关的几何概型1、当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为、当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为秒，绿灯的时间为45秒，你看到黄灯的概率是多少秒，你看到黄灯的概率是多少_.2、在单位圆、在单位圆 O的一条直径的一条直径MN上随机地取一上随机地取一点点Q，过点，过点Q作弦与作弦与MN垂直且弦的长度超过垂直且弦的长度超过1的概率是的概率是_.题组二：与角度有关的几何概型题组二：与角度有关的几何概型变变1:在等腰直角在等腰直角ABC中中,在斜边在斜边AB上任取一上任取一点点M,求使求使ACM为钝角三角形的概率为钝角三角形的概率.变变2:在等腰直角在等腰直角ABC中中,在斜边在斜边AB上任取一上任取一点点M,求求AM小于小于AC的概率的概率.在等腰直角在等腰直角ABC中中,过直角顶点过直角顶点C任作一条任作一条射线射线L与斜边与斜边AB交于点交于点M,求求AM小于小于AC的概的概率率.题组三：与体积有关的几何概型题组三：与体积有关的几何概型1、已知棱长为、已知棱长为2的正方体，内切球的正方体，内切球O，若在，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为率为_.2、用橡皮泥做成一个直径为、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾，试求这设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾，试求这个沙砾距离球心不小于个沙砾距离球心不小于1cm的概率的概率.例例2:2:假设你家订了一份报纸假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上送报人可能在早上6:307:306:307:30之间把报纸送到你家之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作你父亲离开家去工作的时间在早上的时间在早上7:008:007:008:00之间之间,问你父亲在离开家前能问你父亲在离开家前能得到报纸得到报纸(称为事件称为事件A)A)的概率是多少的概率是多少?问题问题1：如果用如果用X表示报纸送到时间表示报纸送到时间,用用Y表示父亲离表示父亲离家时间家时间,请问请问X与与Y的取值范围分别是什么？的取值范围分别是什么？问题问题2：父亲要想在离开家之前拿到报纸，请问父亲要想在离开家之前拿到报纸，请问x与与y 除了要满足上述范围之外，还要满足什么关系？除了要满足上述范围之外，还要满足什么关系？例例2:2:假设你家订了一份报纸假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上送报人可能在早上6:307:306:307:30之间把报纸送到你家之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作你父亲离开家去工作的时间在早上的时间在早上7:008:007:008:00之间之间,问你父亲在离开家前能问你父亲在离开家前能得到报纸得到报纸(称为事件称为事件A)A)的概率是多少的概率是多少?问题问题3：这是一个几何概型吗？那么事件这是一个几何概型吗？那么事件A的概率与的概率与什么有关系？长度、面积、还是体积？什么有关系？长度、面积、还是体积？问题问题4：怎么求总区域面积？怎么求事件怎么求总区域面积？怎么求事件A包含的区包含的区域面积？域面积？我们画一个与x、y有关系的图像例例2:2:假设你家订了一份报纸假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上送报人可能在早上6:307:306:307:30之间把报纸送到你家之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作你父亲离开家去工作的时间在早上的时间在早上7:008:007:008:00之间之间,问你父亲在离开家前能问你父亲在离开家前能得到报纸得到报纸(称为事件称为事件A)A)的概率是多少的概率是多少?解：解：设送报人到达的时间为设送报人到达的时间为x,父亲离开家的时间为父亲离开家的时间为yABCD试验的全部结果构成的区域为正方形试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD事件事件A包含的区域为阴影部分包含的区域为阴影部分S S阴影部分阴影部分=这是一个几何概型这是一个几何概型则，则，P(A)=
