西电计算方法大作业.pdf
切触有理插值函数的新算法切触有理插值函数的新算法一、新算法优点一、新算法优点切触有理插值函数的算法大都是基于连分式进行的，其算法的可行性大都是有条件的，且有理函数次数较高，计算量较大。本文利用拉格朗日插值的性质和分段组合的方法，给出了一种新的切触有理插值算法，并给出误差估计且将其推广到向量值切触有理插值情形。较之其他算法具有有理函数次数较低、计算量较小、算法无条件性、无极点、满足高阶导数插值条件等优点。二、算法分析二、算法分析给定n 1个互异的节点xia x0 x1 x2.xn b（1.1）所谓的切触有理插值问题，就是寻求有理函 d dxkp(x)使之满足下列条件q(x)p(x)k f,k 0,1,.,si1;i 0,1,.,n（1.2）iq(x)xxi所谓的向量值切触有理插值问题，就是寻求向量值有理函数r(x)使得 d dxkN(x)(n1(x),n2(x),.,nd(x)Q(x)Q(x)N(x)(k)V,k 0,1,.,si1;i 0,1,.,n（1.3）iQ(x)xxi其中Q(x)和nj(x)(j 0,1,.,n)是实系数多项式。利用拉格朗日插值的性质和分段组合方法，构造出一种计对si 3的切触有理插值算法并将其推广到向量值切触有理插值情形，既解决了切触有理插值函数的存在性问题，又降低了切触有理插值函数的次数且计算量较低。三、切触有理插值公式三、切触有理插值公式为了建立si3的切触有理插值公式利用文间中的方法，引入非负整数d(0dn)将节点（1.1）按xi,xi 1,.,xi d,i0,1,.,nd（2.1）进行分组，对每组节点（2.1）和函数值fi及导数值fi(k1,2;ji,i 1,.,i d)所做的插值多项式记为pi,d(x)。根据定理1可知多项式pi,d(x)是唯一确定的且次数为3d2，对剩下的节点x0,x1,.,xi 1,xi d 1,xi d 2,.,xn做如下形式的3n3d次代数多项式i(x)(xxi)j 0i 13kk i d 1(xnkx)（2.2）令q(x)i(x)(2.3)i 0n d记i(x)i(x)q(x),i0,1,.,nd（2.4）3nd显然i(x)是型有理函数。利用i(x)和pi,d(x)做线性组合3ndr(x)i(x)pi,d(x)i 0n dn di 0i(x)pi,d(x)n di 0i(x)（2.5）3n2不难看出r(x)型有理函数。3nd定理定理1 1 对所有的非负整数d(0dn)，由式（2.5）给出的r(x)是满足下列插值条件r(k)(xi)fi(k)(k0,1,2;i0,1,.,n)且分母多项式q(x)0。证 设被插值的函数为f(x)，则f(x)r(x)f(x)i0i(x)i0i(x)pi,d(x)ndndndi0i(x)ndi0i(x)f(x)pi,d(x)ndi0i(x)（2.6）当k i,i 1,.,d时，i(xk)0，否则f(xk)pi,d(xk)0，所以在节点（1.1）处式（2.6）的值为零，故可得r(xi)fi(i 0,1,.,n)。设f(x)pi,d(x)i(x),1ndioi(x)D(x)并根据求导公式得dddi(x)i(x)D(x)i(x)i(x)D(x)D(x)i(x)i(x)（2.7）dxdxdxdi(x)i(x)i(x)i(x)i(x)i(x)（2.8）dx当k i,i 1,.,d时，i(xk)i(xk)0，否则，i(xk)i(xk)0，所以在节点（1.1）处式（2.7），（2.8）的值为零，故可得ri(xi)fi(i 0,1,.,n)。i(x)i(x)D(x)C2ji(x)i(x)(j)D(2 j)(x)（2.9）nj0(j)2i(x)i(x)Ctji(x)i(t)t0j(jt)（2.10）(x)当k i,i 1,.,d时，i(xk)0，否则，i(t)(jt)(x)0，所以在节点（1.1）处式（2.9），（2.10）的值为零，故可得r(x)满足r(xi)fi(i 0,1,.,n)利用i(x)和Ni,d(x)做线性组合r(x)i(x)Ni,di0nd(x)ndi0i(x)Ni,d(x)ndi0i(x)（2.11）定理定理2 2 对所有非负整数d(0 d n)，由式（2.11）给出的向量值有理函数r(x)满足插值条件r(k)(xi)Vi(k)(k 0,1,2;i 0,1,.,n)且分母多项式q(x)0事实上，将文中定理中的函数换成向量，采用类似的方法即可证明。式（2.5）和（2.11）就是计对si 3的数量值和向量值切触有理插值公式。通过选取不同的非负整数d。可以得到不同次数类型的切触有理插值函数，且分母多项式是恒大于零的。这样既解决了有理插值函数的存在性问题，又降低了有理插值函数的次数。四、误差估计四、误差估计定理定理3 3 设r(x)是由式（2.5）给出的满足插值条件的有理函数，若f(x)C3d2a,b,f(3d3)(x)在(a,b)内存在，则对于任意点的xa,b，有下面的误差公式f(x)r(x)f(3d3)()(n d 1)(d!)3h3d3(3d 3)!（3.1）其中h max0in1(xi1 xi),f(3d3)()maxxa,bf(3d3)(x)五、总结五、总结本文利用分段组合方法，构造的只是一种针对si 3的切触有理插值算法。虽然解决了切触有理插值函数的存在性问题（有理插值函数的分母多项式无实根，又降低了切触有理插值函数的次数（分母多项式的次数可以降低到任意低）且计算量较低。但是对于si等于任意正整数情况的切触有理插值的情况并没有解决，且本文的构造方法并不能降低分子多项式的次数这些问题值得进一步研究。对于本文的方法，如何选取d的值则需要视情况而定。特别是如果插值节点的数量较大时，本文方法的简便性更能体现。
