(课件1)13空间几何体的表面积与体积.ppt

1.3.1 1.3.1 柱体、锥体、台柱体、锥体、台体的表面积和体积体的表面积和体积 在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积空间问题空间问题平面问题平面问题一、一、多面体的展开图和表面积多面体的展开图和表面积引入新课引入新课 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？何计算它们的表面积？1、棱柱的展开图棱柱的展开图直三直三棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？的表面积？h正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图棱柱的表面积棱柱的表面积正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？2 2、棱锥的展开图棱锥的展开图侧面展开正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？3 3、棱棱台台的展开图的展开图侧面展开hh正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和面面积之和h 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 D 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成组成,因此只要求因此只要求.因为因为SB=a，所以：所以：因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积 交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作典型例题典型例题BCASa1 1、圆柱的表面积圆柱的表面积O圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形2 2、圆锥的表面积圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形O3 3、圆台的表面积圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么的侧面展开图是什么 OO圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环4 4、三者之间关系三者之间关系OOOO 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？什么关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？rrr0 例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm20 cm，盆，盆底直径为底直径为1 10 0cmcm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为2 2cmcm，盆壁长，盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取取3.143.14，结果精确到结果精确到1 1 ）？）？解：由圆台的表面积公式得解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是10961096 典型例题典型例题柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和各面面积之和知识小结知识小结展开图展开图 圆台圆台圆柱圆柱圆锥圆锥几何体占有空间部分的大小叫做它的几何体占有空间部分的大小叫做它的体体积积二、柱体、椎体与台体的体积二、柱体、椎体与台体的体积公理公理1 1、长方体的体积等于它的长、宽、高的长方体的体积等于它的长、宽、高的积积。V长方体长方体=abc推论推论1 1、长方体的体积等于它的底面积长方体的体积等于它的底面积s s和高和高h h的积的积。V长方体长方体=sh推论推论2 2、正方体的体积等于它的棱长正方体的体积等于它的棱长a a 的立方。的立方。V正方体正方体=a3公理公理2 2、夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。PQ祖暅原理祖暅原理公式公式1 1：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积的底面积 s s 和高和高 h h 的积。的积。V柱体柱体=sh1 1、柱体的体积柱体的体积推论推论1 1：底面半径为底面半径为r r，高为高为h h圆柱的体积是圆柱的体积是V圆柱圆柱=r2h2 2、锥体体积锥体体积如图：三棱柱如图：三棱柱ADAD1 1C C1 1-BDC,-BDC,底面积为底面积为S,S,高为高为h.h.ABD C D1C1CDA BCD1ADCC1D1A答答:可分成可分成棱锥棱锥A-DA-D1 1DCDC,棱锥棱锥A-DA-D1 1C C1 1C C,棱锥棱锥A-BCDA-BCD.问：（问：（1 1）从）从A A点出发棱柱能分割成几个三棱锥？点出发棱柱能分割成几个三棱锥？注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离公式公式2 2如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面 积是，高是，那么它的体积是：积是，高是，那么它的体积是：推论推论2 2：如果圆锥的底面半径是：如果圆锥的底面半径是，高是，高是，那么它的体积是：那么它的体积是：hSS锥体锥体 圆锥圆锥 Shss/ss/hx3 3、台体的体积台体的体积V V台体台体=公式公式3 3：上下底面积分别是上下底面积分别是s s/,s,s,高是高是h h，则，则推论推论3 3：如果圆台的上：如果圆台的上,下底面半径是下底面半径是r r1 1.r.r2,2,高高是是，那么它的体积是：，那么它的体积是：圆台圆台 h三、三、柱体、锥体、台体的体积公式之间柱体、锥体、台体的体积公式之间 的的关系关系S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高S分别为上、下分别为上、下底面底面面积，面积，h 为台体高为台体高S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小 例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？V2956（mm3）=2.956（cm3）5.81007.82.956 252（个）解答：1 1求空间几何体的体积除利用公式法外，求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法方法几何体的体积小结几何体的体积小结2 2计算柱体、锥体、台体的体积关键是计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分根据条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题间问题转化为平面问题 设球的半径为设球的半径为R R，则有体积公式和表面积公式，则有体积公式和表面积公式R球体的体积与表面积球体的体积与表面积例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积.例题讲解例题讲解解解:设球的半径为设球的半径为R R，则圆柱的底面半径为，则圆柱的底面半径为R R，高，高为为2R.2R.例例2 2 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（径，求证：（1 1）球的体积等于圆柱体积的）球的体积等于圆柱体积的 ；（2 2）球的表面积等于圆柱的侧面积）球的表面积等于圆柱的侧面积.1)1)因为因为2)2)因为因为例例3 3.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a a,它的各个顶点都在球它的各个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表的表面积面积和体积和体积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O小结：1.1.正棱柱的中心是正棱柱外接球，正棱柱的中心是正棱柱外接球，内切球的球心；内切球的球心；2 2、正棱锥的外接球，内切球的球、正棱锥的外接球，内切球的球 心在正棱锥底面的高上。心在正棱锥底面的高上。例例4 4 已知已知A A、B B、C C为球面上三点，为球面上三点，AC=BC=6AC=BC=6，AB=4AB=4，球心，球心O O与与ABCABC的外心的外心M M的距离等于球半径的的距离等于球半径的一半，求这个球的表面积和体积一半，求这个球的表面积和体积.ABCOM2.2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它它 的棱长是的棱长是4cm,4cm,这个球的体积为这个球的体积为cmcm3 3.81.1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2 2倍倍,体积变体积变 为原来的倍为原来的倍.练习一练习提升练习提升A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O3.3.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一一球切于球切于此此正方体的各侧棱正方体的各侧棱,一球过一球过此此正方正方体的各顶点体的各顶点,求这三个球的体积之比求这三个球的体积之比_._.4.4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_._.练习二练习二1.1.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的_倍倍.2.2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍.3.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是_._.练习提升练习提升7.7.将半径为将半径为1 1和和2 2的两个铅球，熔成一个大的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是铅球，那么这个大铅球的表面积是_._.5 5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为_.6.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为4848,它们大圆周长它们大圆周长 之和为之和为1212,则两球的直径之差为则两球的直径之差为_.练习二练习二练习提升练习提升