反证法 教学设计.docx

反证法教学目标：知识与技能：结合己经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法一 反证法；了解反证法的思考过程、特点。过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们 的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学重点：了解反证法的思考过程、特点教学难点：反证法的思考过程、特点教学过程：1.反证法证明命题“设夕为正整数，如果或 是偶数，则夕也是偶数”，我们可以 不去直接证明是偶数，而是否定"是偶数，然后得到矛盾，从而肯定夕是偶数。具体证明步骤如 下：假设夕不是偶数，可令片2代1, A为整数。可得22=4A2+44+l,此式表明，P2是奇数，这与假设矛盾，因此假设夕不 是偶数不成立，从而证明夕为偶数。一般地，由证明p=q,转向证明：p=r = =3 t与假设矛盾，或与某 个真命题矛盾，从而判定下为假，推出q为真的方法，叫做反证法。例1.求证：正是无理数。证明：假设正是有理数，则存在互质的正整数也，使得收=%,从而有 n?=也，因此所以/为偶数，于是可设? = 2女（A是正整数），从 而有4左2 =2n2,即2 =2抬，所以也为偶数。这与他"互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而也是无理数从上例看出，反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的 基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性。2.反证法的主要步骤（1）反设：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表 述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/ 不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/ 一个也没有；至少有个/至多有（一 1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/ 至少有两个。（2）归谬：归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须 从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾 有如下几种类型：与已知条件矛盾；与己知的公理、定义、定理、公式矛盾；与 反设矛盾；自相矛盾。所谓矛盾，主要指：（a）与假设矛盾（上述两例就是导 致了与假设矛盾）；（b）与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；（c）与公认的简单事实矛盾（例如导出0二1, 00等之类的矛盾）（3）结论：由前两步，得到正确的结论，一点要在前面的基础上肯定结论的 真实性。例2：证明质数有无穷多个跟踪练习：如果4 + 1为无理数，求证Q是无理数.提示：假设。为有理数，则a可表示为p/夕（p,q为整数），即。= p/q.由a + l = （p + g）% ,则+ 1也是有理数，这与己知矛盾./. a是无理数.例3.证明1, V3 , 2不能为同一等差数列的三项。证明：假设1, V3 , 2是某一等差数列中的三项，设这一等差数列的公差为d,则1= V3 nd 2= 6+nd,其中加，n为某两个正整数，由上两式中消去，得到加2产（/升/） VI ,因为，+2勿为有理数，（册玲也 为无理数，所以加2必（加/）道,因此假设不成立，1,石，2不能为同一等差数 列中的三项。例4.平面上有四个点，没有三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可 能都是锐角三角形。证明：假设以每三点为顶点的四个三珀形都是锐角三加形，记这四个点为4 B, G D,考虑/厉。，点在力回之内或之外两种情况。（1）如果点在/仍。之内，根据假设，围绕点的三个角都是锐角，其 和小于270° ,这与一个周角等于360°矛盾；（2）如果点。在力肥之外，根据假设四边形力四的四个内角分别是某 锐角三角形的内角，即N4 /反ZG 都小于90° ,这和四边形内角和等 于360°矛盾,综上所述，原题的结论正确。例5、设依+力3=2,求证a+Z<2证明：假设护2,则有苏2 6,从而a3>8 126力203, 3+63>6。2 128=6（力- 1）2+2.因为6（。- 1）2+222,所以a3+b3>2,这与题设条件尔+。3=2矛盾，所以，原不等式a+5W2成立。例 6、已知 a + Z? + c > 0, ab + be + ca > 0, abc > 0,求证：a, b, c > 0证明：设 a < 0, V abc > 0, A be < 0又由 a+b+c>0,则 6+c =-a>0