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zmj新湘教版八年级数学第二章三角形复习基本概念1、叙述什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？2、命题的题设和结论？改写命题3、命题的逆命题4、定理的逆定理1、可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。、可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。2、在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事、在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项项推出的事项3、要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例、要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为种方法称为“举反例举反例”4、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理真命题叫做公理,不用证明，也无法用推理进行证明不用证明，也无法用推理进行证明5、数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假、数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理的依据，这样的真命题叫做定理6、边角边公理：如果两个三角形有两边和其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等简写成、边角边公理：如果两个三角形有两边和其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等简写成“边角边边角边”或或简记为（简记为（S.A.S.）7、角边角公理：如果两个三角形的两个角和其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为、角边角公理：如果两个三角形的两个角和其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为“角边角边角角”或简记为或简记为(A.S.A.)。8、角角边定理：如果两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等简写成：、角角边定理：如果两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等简写成：“角角角边角边”或简记为或简记为(A.A.S.)。9、边边边公理：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等简写为、边边边公理：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等简写为“边边边边边边”，或简记为，或简记为（S.S.S.）。）。注意：边边角不能判定三角形全等，如：注意：边边角不能判定三角形全等，如：边边边边角角(S.S.A.)三角形不一定全等三角形不一定全等边1边1边2边2角角另一种情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角（简称另一种情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角（简称S.S.A.）不一定全等不一定全等一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题设，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题但是原命题正每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题但是原命题正确，它的逆命题未必正确例如真命题确，它的逆命题未必正确例如真命题“对顶角相等对顶角相等”的逆命题为的逆命题为“相等的角是对顶角相等的角是对顶角”，此命题就是假命题，此命题就是假命题如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理 原命题：题设原命题：题设+结论结论互逆命题互逆命题逆命题：题设逆命题：题设+结论结论逆定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成逆定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边等角对等边”）性质定理：性质定理：等腰三角形的底角相等等腰三角形的底角相等（简称：等边对等角）（简称：等边对等角）等腰三角形等腰三角形角平分线定理和逆定理角平分线定理和逆定理 角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线性质定理的逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上角平分线性质定理的逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上线段的垂直平分线定理和逆定理线段的垂直平分线定理和逆定理性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 逆定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上逆定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上注意：判断就是命题判断就是命题.命题可能正确命题可能正确,也可能错误也可能错误.命题一般用陈述句叙述，疑问句、祈使句、感叹句等不是命题。命题一般用陈述句叙述，疑问句、祈使句、感叹句等不是命题。所有命题都有逆命题，原命题正确，它的逆命题不一定正确；所有定理都是真命题，它的逆命题不一定是真命题。所有命题都有逆命题，原命题正确，它的逆命题不一定正确；所有定理都是真命题，它的逆命题不一定是真命题。所有定理不一定都有逆定理，只有定理的逆命题是真命题才有逆定理。所有定理不一定都有逆定理，只有定理的逆命题是真命题才有逆定理。命题构成：1)1)在数学中，许多命题都是由（在数学中，许多命题都是由（）（或条件）（或条件）和（和（）两部分组成）两部分组成.（）是已知事项，（）是已知事项，（）是由已知事项推出的事项）是由已知事项推出的事项2)2)命题常写成命题常写成“如果如果那么那么”的形式的形式.其中，用其中，用“如果如果”开始的部分是题设，用开始的部分是题设，用“那么那么”开始的部分是结论开始的部分是结论题设结论题设结论例例1把把命命题题“在在一一个个三三角角形形中中，等等角角对对等等边边”改改写写成成“如如果果那那么么”的的形形式式，并并分分别别指指出命题的题设与结论出命题的题设与结论例题例题解解 这个命题可以写成：这个命题可以写成：“如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.”这里的题设是这里的题设是“在一个三角形中有两个角相等在一个三角形中有两个角相等”，结论是，结论是“这两个角所对的边也相等这两个角所对的边也相等”.请你试试看命题的改写把下列命题改写成把下列命题改写成“如果如果那么那么”的形式的形式1、正方形的两条对角线相等、正方形的两条对角线相等如果一个四边形是正方形，那么这个正方形的两条对角线相等如果一个四边形是正方形，那么这个正方形的两条对角线相等2、四个角相等的菱形是正方形、四个角相等的菱形是正方形 如果菱形的四个角相等，那么这个菱形是正方形如果菱形的四个角相等，那么这个菱形是正方形3、全等的两个三角形，三条对应边相等、全等的两个三角形，三条对应边相等如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等请你试试看命题与逆命题，定理与逆定理写出下列命题的逆命题并判定真假写出下列命题的逆命题并判定真假1、正方形的两条对角线相等、正方形的两条对角线相等两条对角线相等的四边形是正方形（两条对角线相等的四边形是正方形（）2、两直线平行，同位角相等、两直线平行，同位角相等 同位角相等，两直线平行（同位角相等，两直线平行（）3、全等的两个三角形，三条对应边相等、全等的两个三角形，三条对应边相等三条对应边相等的两个三角形全等（三条对应边相等的两个三角形全等（）假命题假命题真命题真命题真命题真命题练习练习1：指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题。：指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题。1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的、如果一个三角形是直角三角形，那么它的 两个锐角互余两个锐角互余.一个三角形是直角三角形一个三角形是直角三角形.结论：结论：逆命题：逆命题：题设：题设：它的两个锐角互余它的两个锐角互余.如果一个三角形的两个锐角互余，如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.2、等边三角形的每个角都等于、等边三角形的每个角都等于60题设：一个三角形是等边三角形题设：一个三角形是等边三角形.结论：它的每个角都等于结论：它的每个角都等于60逆命题：如果一个三角形的每个角都等于逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60，那么这个三角形是等边三角形那么这个三角形是等边三角形.3、全等三角形的对应角相等、全等三角形的对应角相等.题设：两个三角形是全等三角形题设：两个三角形是全等三角形.结论：它们的对应角相等结论：它们的对应角相等.逆命题：如果两个三角形的对应角相等，逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等那么这两个三角形全等.4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上平分线上.题设：一个点到一个角的两边距离相等题设：一个点到一个角的两边距离相等.结论：它在这个角的平分线上结论：它在这个角的平分线上.逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.5、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个 端点的距离相等端点的距离相等.题设：一个点在一条线段的垂直平分线上题设：一个点在一条线段的垂直平分线上.结论：它到这条线段的两个端点的距离相等结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.6、直角三角形中，如果一个锐角等于直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半，那么它所对的直角边等于斜边的一半 题设：题设：直角三角形中，一个锐角等于直角三角形中，一个锐角等于30结论：结论：30角所对的直角边等于斜边的一半角所对的直角边等于斜边的一半逆命题：逆命题：直角三角形中，如果一个锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个角等于直角三角形中，如果一个锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个角等于307、直角三角形中，、直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方题设：题设：直角三角形中直角三角形中结论：结论：两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方逆命题：逆命题：三角形两边的平方和等于另一边的平方，这个三角形是直角三角形三角形两边的平方和等于另一边的平方，这个三角形是直角三角形对应边相等对应边相等AB=DEBC=EFCA=FD对应角对应角A=DB=EC=FABCDEF1、什么叫全等三角形？什么叫全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。全等三角形。2、全等三角形有什么性质？全等三角形有什么性质？想一想：两个三角形全等，通常需要两个三角形全等，通常需要3个条件，其中至少要有个条件，其中至少要有1组组对应相等。分为：对应相等。分为：3、三角形全等的判定条件、三角形全等的判定条件边边两边一角两边一角两角一边两角一边三条边三条边三个角三个角两个三角形全等的条件是：应该具备三组对应的元素（边或角）；如果只有一组或者两组对应的元素（边或角），这两个三角形不一定全等知识点知识点三角形全等的证题思路：三角形全等的证题思路：问题：如果要证明两个三角形全等，题中只给出两个条件，现在又不允许添加条件，你有办法证明两个三角问题：如果要证明两个三角形全等，题中只给出两个条件，现在又不允许添加条件，你有办法证明两个三角形全等吗？形全等吗？例：如图例：如图AB=AC，AD=AE,你能指出图中哪些三角形全等？你能指出图中哪些三角形全等？ABEDC缺什么条件，题中能找到吗？缺什么条件，题中能找到吗？公共角AABCD例：如图例：如图AB=AC，BD=CD,你能指出图中哪些三角形全等？你能指出图中哪些三角形全等？公共边AD例例:已知，如图，已知，如图，求证：，求证：有一同学证法如下：有一同学证法如下：证：连结证：连结AB在在ABC和和ABD中中BC=BDC=DAB=ABABCABD(S.A.S.)AC=AD你认为这位同学的证法对吗？如果错误，你认为这位同学的证法对吗？如果错误，错在哪里，应怎样证明？错在哪里，应怎样证明？答：证法错误。答：证法错误。S.A.S.定理应用错误。定理应用错误。基本作图在几何里在几何里,把限定用直尺和圆规来画图把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图称为尺规作图.最基本最基本,最常用的尺规作图最常用的尺规作图,通常称基本作图通常称基本作图.其中其中,直尺是没有刻度的直尺是没有刻度的;一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.以前学过的以前学过的”作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段”,就是一种基本作图就是一种基本作图.下面介绍几种基本作图下面介绍几种基本作图:已知三角形的三边求作三角形已知三角形的三边求作三角形设置疑问设置疑问已知已知:线段线段a,b,cabc求作求作:ABC,使使BCa,ACb,ABc作法示范作法示范作法作法(1)做线段做线段BCa,BMAC(2)以以C为圆心为圆心,b为半径画弧为半径画弧(3)以以B为圆心为圆心,C为半径画弧为半径画弧两弧相交于点两弧相交于点A(4)连接连接AB,AC则则ABC为所求作的三角形为所求作的三角形示范示范已知底边和底边上的高，求作等腰三角形。已知底边和底边上的高，求作等腰三角形。已知：线段已知：线段a，h求作：求作：ABC，使，使AB=AC，且且BC=a，高，高AD=hahBCA4、连接、连接AB，ACBCAah作法：作法：1、作线段、作线段BC=a2、作、作BC的垂直平分线的垂直平分线MN，垂足为垂足为D3、在垂直平分线、在垂直平分线MN上取一上取一点点A，使，使AD=hDABC即为所求作的等腰三角形。即为所求作的等腰三角形。MN1已知三角形的两边和其夹角，求作这个三角形已知三角形的两边和其夹角，求作这个三角形已知：线段已知：线段a,c,.求作：求作：ABC，使，使BC=aAB=c,ABC=.ac作法作法示范示范（1）作一条线段）作一条线段BC=a；（2）以）以B为顶点，以为顶点，以BC为一边，作为一边，作BCBCBCBC（3）在射线）在射线BD上截取线段上截取线段BA=c；（4）连接）连接ACABC就是所求作的三角形就是所求作的三角形ADDA2已知三角形的两角和其夹边，求作这个三角形已知三角形的两角和其夹边，求作这个三角形已知：已知：，线段，线段cc求作：求作：ABC，使，使A=，B=，AB=c.请按照给出的作法作出相应的图形请按照给出的作法作出相应的图形作法作法示范示范（1）作）作AF（2）在射线）在射线AF上截取线段上截取线段AB=c；CDBADFABDF（3）以）以B为顶点，以为顶点，以BA为一边，作为一边，作，BE交交AD于点于点C则则ABC就是所求作的三角形就是所求作的三角形E（1 1）如图，）如图，ACB=90ACB=90，AC=CBAC=CB，BECEBECE，ADCEADCE于于D D，AD=2.5cm,DE=1.7cmAD=2.5cm,DE=1.7cm。求：。求：BEBE的长。的长。练习：练习：解：解：BCE=ACB-ACD=90-ACDDACADC-ACD=90-ACDBCE=DAC 又又AC=CB,ADC=CEBCEB ADC(A.A.S.)AD=CE=2.5cm BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm（2）如图）如图,在在ABC中中,ACB=90,AO是角平分线是角平分线,点点D在在AC的延长线上的延长线上,DE过点过点O且且DEAB,垂足为垂足为E.(1)请你找出图中一对相等的线段请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等的理由并说明它们相等的理由;解：解：ACB=90BCACAO平分平分BAC又又DEABBCACOE=OC（角平分线上的点到角两边的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等（2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来，）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来，并说明理由并说明理由ACDOBE练习：练习：3、如图，、如图，B=C=90度，度，M是是BC的中点，的中点，DM平分平分ADC，求证：，求证：AM平分平分DABADCBME证明：过点证明：过点M作作MEAD,C=90度度ME=MC（角平分线性质定理）（角平分线性质定理）又又B=90度度MC=MB（M是是BC的中点）的中点）ME=MB（等量代换）（等量代换）AM平分平分DAB（角平分线性质定理（角平分线性质定理的逆定理）的逆定理）求作：以求作：以m为边长的等边三角形。为边长的等边三角形。试根据下面的作图语言完成作图：试根据下面的作图语言完成作图：（1）作线段）作线段AB=m,（2）分别以）分别以A、B为圆心，为圆心，m长为半长为半径画弧，两弧在射线径画弧，两弧在射线AB同侧相交于同侧相交于C;则则ABC就是所要求作的等边三角形。就是所要求作的等边三角形。4、已知：线段、已知：线段m.（3）连接）连接AC、BC；m练习：练习：1805年，拿破仑率领大军与德军在莱茵河畔激战，德俄联军在河的北岸设防，而法军则在南岸集结，中间隔一条很宽的莱茵河，法军要使炮弹准确落到对方阵地，就必须知道河有多宽，当时双方剑拔弩张，坐船测量河宽是根本不可能的。拿破仑为解决这个难题在南岸观望，一时束手无策忽然，他发现河水与北岸的边线，在视野里恰好擦着自己的帽舌边缘，于是他眉头一皱计上心来，他先一步一步向后退去，一直退到莱茵河与南岸的边线正好擦着他的帽舌时，便立定，叫人把这个地方到莱茵河南岸水边的距离测一下他知道，量得的距离一定等于河的宽度，于是他命令部下根据量得的距离确定射击目标，向北岸的德俄联军发起炮击，果然炮弹像长了眼睛，每发都击中了目标士兵们不仅仅是佩服拿破仑的知识，更重要的是拿破仑运用数学知识的能力拿破仑测莱茵河河宽拿破仑测莱茵河河宽试一试试一试已知：已知：A A、B B两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量A A、B B间的距离，请给出一个适合可行的方案，间的距离，请给出一个适合可行的方案，画出设计图，说明依据。画出设计图，说明依据。ECDCDCD试一试试一试,你准行你准行已知：已知：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交的延长线交BC于于D，试说明：试说明：BD=CDABDCE解解：在在ABE和和ACE中中AB=AC，EB=EC，AE=AEABEACE(S.S.S.)BAECAE在在ABD和和ACD中中AB=ACBAE=CAEAD=ADABD ACD(S.A.S.)BD=CD做一做做一做做一做做一做 1、如图，要识别、如图，要识别ABCADE，除公共角，除公共角A外，把还需要的两个条件和其根据写在横线上。外，把还需要的两个条件和其根据写在横线上。ABCED（1），（）（2），（）（3），（）（4），（）（5），（）（6），（）（7），（）S.A.S.AB=ADAB=ADAE=ACAE=ACAE=ACAE=AC1=2B=CAB=ADAB=ADA.S.A.12AB=ADAB=ADA.A.S.B=CAE=ACAE=ACA.A.S.1=2A.S.A.1=2ED=CBED=CBA.A.S.B=CED=CBED=CBA.A.S.2 2、如图，、如图，D为为BC中点，中点，DFAC，且，且DE=DF，B与与C相等吗？为什么？相等吗？为什么？ADCBFEEFDBAC无法证明无法证明B与与C3、如图，如图，AB=AC，BD、CE是是ABC的角平分线，的角平分线，ABDBCE吗？为什么？吗？为什么？BACDE无法证明无法证明ABDBCE4、如图，、如图，AB=AD，AC=AE，EAB=CAD，ABC与与ADE全等吗？全等吗？BACDE证明：证明：EABEABCADCAD（已知）（已知）EABEABEAEACCADEAC即即EADCAB在在ABC和和ADEADE中中ABCADEABCADE（S S.A A.S S.）课后作业完成创优作业本课时对应习题谢谢观赏谢谢观赏