2013年上海市春季高考数学试卷.doc

第 1 页（共 24 页）2013 年上海市春季高考数学试卷年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，要求直接填写结果，每题题，要求直接填写结果，每题填对得填对得 3 分，否则一律得分，否则一律得 0 分分1 （3 分）函数 y=log2（x+2）的定义域是 2 （3 分）方程 2x=8 的解是 3 （3 分）抛物线 y2=8x 的准线方程是 4 （3 分）函数 y=2sinx 的最小正周期是 5 （3 分）已知向量，若，则实数 k= 6 （3 分）函数 y=4sinx+3cosx 的最大值是 7 （3 分）复数 2+3i（i 是虚数单位）的模是 8 （3 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则 b= 9 （3 分）正方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 10 （3 分）从 4 名男同学和 6 名女同学中随机选取 3 人参加某社团活动，选出的 3 人中男女同学都有的概率为 （结果用数值表示） 11 （3 分）若等差数列的前 6 项和为 23，前 9 项和为 57，则数列的前 n 项和Sn= 12 （3 分）36 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 36=22×32，所以 36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22） （1+3+32）=91，参照上述方法，可求得 2000 的所有正约数之和为 第 2 页（共 24 页）二选择题（本大题满分二选择题（本大题满分 36 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，每题都给出四个结论，其题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，中有且只有一个结论是正确的考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得选对得 3 分，否则一律得分，否则一律得 0 分分13 （3 分）展开式为 adbc 的行列式是（ ）ABCD14 （3 分）设 f1（x）为函数 f（x）=的反函数，下列结论正确的是（ ）Af1（2）=2Bf1（2）=4Cf1（4）=2Df1（4）=415 （3 分）直线 2x3y+1=0 的一个方向向量是（ ）A （2，3）B （2，3）C （3，2）D （3，2）16 （3 分）函数 f（x）=的大致图象是（ ）ABCD17 （3 分）如果 ab0，那么下列不等式成立的是（ ）ABabb2Caba2D18 （3 分）若复数 z1，z2满足 z1=，则 z1，z2在复数平面上对应的点 Z1，Z2（ ）A关于 x 轴对称B关于 y 轴对称C关于原点对称D关于直线 y=x 对称19 （3 分） （1+x）10的二项展开式中的一项是（ ）A45x B90x2C120x3D252x420 （3 分）既是偶函数又在区间（0，）上单调递减的函数是（ ）Ay=sinxBy=cosxCy=sin2x Dy=cos2x第 3 页（共 24 页）21 （3 分）若两个球的表面积之比为 1：4，则这两个球的体积之比为（ ）A1：2B1：4C1：8D1：1622 （3 分）设全集 U=R，下列集合运算结果为 R 的是（ ）AZUN BNUN CU（u）DU023 （3 分）已知 a，b，cR， “b24ac0”是“函数 f（x）=ax2+bx+c 的图象恒在 x轴上方”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件24 （3 分）已知 A，B 为平面内两个定点，过该平面内动点 m 作直线 AB 的垂线，垂足为 N若=，其中 为常数，则动点 m 的轨迹不可能是（ ）A圆B椭圆C双曲线 D抛物线三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 78 分）本大题共有分）本大题共有 7 题，解答下列各题必须写出必要题，解答下列各题必须写出必要的步骤的步骤25 （7 分）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1=6，异面直线 BC1与 AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积26 （7 分）如图，某校有一块形如直角三角形 ABC 的空地，其中B 为直角，AB 长 40 米，BC 长 50 米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且 B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积第 4 页（共 24 页）27 （8 分）已知数列an的前 n 项和为 S，数列bn满足 b，求28 （13 分）已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1（1，0） 、F2（1，0） ，短轴的两个端点分别为 B1，B2（1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆 C 的方程；（2）若椭圆 C 的短轴长为 2，过点 F2的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，且，求直线 l 的方程29 （12 分）已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1）点 A，P 满足当点 A 在抛物线 C 上运动时，求动点 P 的轨迹方程；（2）在 x 轴上是否存在点 Q，使得点 Q 关于直线 y=2x 的对称点在抛物线 C 上？如果存在，求所有满足条件的点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由30 （13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 y 轴正半轴上，点 Pn在 x 轴上，其横坐标为 xn，且xn 是首项为 1、公比为 2 的等比数列，记PnAPn+1=n，nN*（1）若，求点 A 的坐标；（2）若点 A 的坐标为（0，8） ，求 n的最大值及相应 n 的值31 （18 分）已知真命题：“函数 y=f（x）的图象关于点 P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数 y=f（x+a）b 是奇函数”（1）将函数 g（x）=x33x2的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数 g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数 h（x）= 图象对称中心的坐标；第 5 页（共 24 页）（3）已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数 a 和 b，使得函数 y=f（x+a）b 是偶函数”判断该命题的真假如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明） 第 6 页（共 24 页）2013 年上海市春季高考数学试卷年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，要求直接填写结果，每题题，要求直接填写结果，每题填对得填对得 3 分，否则一律得分，否则一律得 0 分分1 （3 分）函数 y=log2（x+2）的定义域是 （2，+） 【分析】要使函数有意义，只需令 x+20 即可【解答】解：欲使函数有意义，须有 x+20，解得 x2，所以函数的定义域为（2，+） 故答案为：（2，+） 【点评】本题考查函数定义域的求法，属基础题2 （3 分）方程 2x=8 的解是 3 【分析】由已知条件 2x=8=23，可得 x=3，由此可得此方程的解【解答】解：由 2x=8=23，可得 x=3，即此方程的解为 3，故答案为 3【点评】本题主要考查指数方程的解法，属于基础题3 （3 分）抛物线 y2=8x 的准线方程是 x=2 【分析】根据抛物线方程的标准形式，可得抛物线以原点为顶点，开口向右，由 2p=8 算出=2，即可得到抛物线的准线方程【解答】解：抛物线的方程为 y2=8x抛物线以原点为顶点，开口向右由 2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为 F（2，0） ，准线方程为 x=2故答案为：x=2【点评】本题给出抛物线的标准方程，求抛物线的准线方程，着重考查了抛物第 7 页（共 24 页）线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题4 （3 分）函数 y=2sinx 的最小正周期是 2 【分析】根据函数 y=2sinx 的最小正周期是 ，运算可得结果【解答】解：函数 y=2sinx 的最小正周期是 =2，故答案为 2【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题5 （3 分）已知向量，若，则实数 k= 【分析】根据向量平行的充要条件可得关于 k 的方程，解出即可【解答】解：由，得 1×（k6）9k=0，解得 k=，故答案为：【点评】本题考查向量共线的充要条件，若，则x1y2x2y1=06 （3 分）函数 y=4sinx+3cosx 的最大值是 5 【分析】利用辅助角公式把所给的函数解析式化为 y=5sin（x+） ，再根据正弦函数的值域，求得它的最大值【解答】解：函数 y=4sinx+3cosx=5（sinx+cosx）=5sin（x+） ， （其中，cos=，sin=） 故函数的最大值为 5，故答案为 5【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题7 （3 分）复数 2+3i（i 是虚数单位）的模是 【分析】利用模长公式|z|=，代入计算即可得出复数 2+3i（i 是虚数单第 8 页（共 24 页）位）的模【解答】解：复数 2+3i，2+3i 的模 =故答案为：【点评】本题考查复数的概念及模长计算公式，是一道基础题8 （3 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则 b= 7 【分析】根据余弦定理 b2=a2+c22accosB，代入题中的数据得b2=25+642×5×8×cos60°=49，解之即可得到 b=7【解答】解：在ABC 中，a=5，c=8，B=60°，根据余弦定理，得b2=a2+c22accosB=25+642×5×8×cos60°=49解之得 b=7（舍负）故答案为：7【点评】本题给出ABC 两条边长及其夹角大小，求第三边的长度着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题9 （3 分）正方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 60° 【分析】连接 A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得BA1D 即为异面直线 A1B 与 B1C 所成的角，连接 BD 后，解三角形 BA1D 即可得到异面直线 A1B 与 B1C 所成的角第 9 页（共 24 页）【解答】解：连接 A1D，由正方体的几何特征可得：A1DB1C，则BA1D 即为异面直线 A1B 与 B1C 所成的角，连接 BD，易得：BD=A1D=A1B故BA1D=60°故答案为：60°【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出BA1D 即为异面直线 A1B 与 B1C 所成的角，是解答本题的关键10 （3 分）从 4 名男同学和 6 名女同学中随机选取 3 人参加某社团活动，选出的 3 人中男女同学都有的概率为 （结果用数值表示） 【分析】先求对立事件“选出的 3 人中只有男同学或只有女同学”的概率，然后根据对立事件的概率和为 1 可得答案【解答】解：从 10 人中选出的 3 人中只有男同学或只有女同学的概率为：=，则选出的 3 人中男女同学都有的概率为：1=故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，属基础题11 （3 分）若等差数列的前 6 项和为 23，前 9 项和为 57，则数列的前 n 项和Sn= 【分析】设等差数列的前 n 项和 Sn=an2+bn，则由题意可得 ，解得a、b 的值，即可求得数列的前 n 项和 Sn的解析式【解答】解：设等差数列的前 n 项和 Sn=an2+bn，则由题意可得 ，第 10 页（共 24 页）解得 ，故数列的前 n 项和 Sn=，故答案为 【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式的结构特征，用待定系数法函数的解析式，属于基础题12 （3 分）36 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 36=22×32，所以 36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22） （1+3+32）=91，参照上述方法，可求得 2000 的所有正约数之和为 4836 【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，2000 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 2000=24×53，所以 2000 的所有正约数之和为（1+2+22+23+24） （1+5+52+53） ，即可得出答案【解答】解：类比 36 的所有正约数之和的方法，有：2000 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 2000=24×53，所以 2000 的所有正约数之和为（1+2+22+23+24） （1+5+52+53）=4836可求得 2000 的所有正约数之和为 4836故答案为：4836【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）二选择题（本大题满分二选择题（本大题满分 36 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，每题都给出四个结论，其题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，中有且只有一个结论是正确的考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得选对得 3 分，否则一律得分，否则一律得 0 分分13 （3 分）展开式为 adbc 的行列式是（ ）第 11 页（共 24 页）ABCD【分析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：adbc，再根据所给的式子即可得出答案【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：adbc，由题意得，=adbc故选：B【点评】本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键14 （3 分）设 f1（x）为函数 f（x）=的反函数，下列结论正确的是（ ）Af1（2）=2Bf1（2）=4Cf1（4）=2Df1（4）=4【分析】本题的关键是求函数 f（x）=的反函数，欲求原函数的反函数，即从原函数式 f（x）=中反解出 x，后再进行 x，y 互换，即得反函数的解析式【解答】解：f1（x）为函数 f（x）=的反函数，f1（x）=x2， （x0） ，f1（2）=4，f1（4）=16，故选：B【点评】本题考查反函数的求法及不等关系，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系15 （3 分）直线 2x3y+1=0 的一个方向向量是（ ）A （2，3）B （2，3）C （3，2）D （3，2）【分析】题意可得首先求出直线的斜率为：k=，即可得到它的一个方向向量（1，k） ，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案第 12 页（共 24 页）【解答】解：由题意可得：直线 2x3y+1=0 的斜率为 k=，所以直线 2x3y+1=0 的一个方向向量 =（1，） ，或（3，2）故选：D【点评】本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，是基础题16 （3 分）函数 f（x）=的大致图象是（ ）ABCD【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案【解答】解：因为0，所以 f（x）在（0，+）上单调递减，排除选项B、C；又 f（x）的定义域为（0，+） ，故排除选项 D，故选：A【点评】本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握17 （3 分）如果 ab0，那么下列不等式成立的是（ ）ABabb2Caba2D【分析】由于 ab0，不妨令 a=2，b=1，代入各个选项检验，只有 D 正确，从而得出结论第 13 页（共 24 页）【解答】解：由于 ab0，不妨令 a=2，b=1，可得 =1，故 A 不正确可得 ab=2，b2=1，abb2，故 B 不正确可得ab=2，a2=4，aba2，故 C 不正确故选：D【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题18 （3 分）若复数 z1，z2满足 z1=，则 z1，z2在复数平面上对应的点 Z1，Z2（ ）A关于 x 轴对称B关于 y 轴对称C关于原点对称D关于直线 y=x 对称【分析】由题意可得 z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故 z1，z2在复数平面上对应的点 Z1，Z2关于 x 轴对称【解答】解：若复数 z1，z2满足 z1=，则 z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故 z1，z2在复数平面上对应的点 Z1，Z2关于 x 轴对称，故选：A【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数与复平面内对应点间的关系，属于基础题19 （3 分） （1+x）10的二项展开式中的一项是（ ）A45x B90x2C120x3D252x4【分析】根据（1+x）10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=xr，即可得出结论【解答】解：（1+x）10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=xr，故当 r=3 时，此项为 120x3，故选：C第 14 页（共 24 页）【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的某一项，属于中档题20 （3 分）既是偶函数又在区间（0，）上单调递减的函数是（ ）Ay=sinxBy=cosxCy=sin2x Dy=cos2x【分析】根据函数的奇偶性排除 A、C，再根据函数的单调性排除 D，经检验 B中的函数满足条件，从而得出结论【解答】解：由于函数 y=sinx 和 y=sin2x 都是奇函数，故排除 A、C由于函数 y=cosx 是偶函数，周期等于 2，且在（0，）上是减函数，故满足条件由于函数 y=cos2x 是偶函数，周期等于 ，在（0，）上是减函数，在（，）上是增函数，故不满足条件故选：B【点评】本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题21 （3 分）若两个球的表面积之比为 1：4，则这两个球的体积之比为（ ）A1：2B1：4C1：8D1：16【分析】设两个球的半径分别为 r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=，解之得=，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比【解答】解：设两个球的半径分别为 r1、r2，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为 S1=4，S2=4两个球的表面积之比为 1：4，=，解之得=（舍负）因此，这两个球的体积之比为=（）3=第 15 页（共 24 页）即两个球的体积之比为 1：8故选：C【点评】本题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题22 （3 分）设全集 U=R，下列集合运算结果为 R 的是（ ）AZUN BNUN CU（u）DU0【分析】根据题目中条件“全集 U=R”，对各个选项一一进行集合的运算，即可得出答案【解答】解：全集 U=R，ZUN=R，NUN=，U（u）=，U0=xR|x0故选：A【点评】本题主要考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题23 （3 分）已知 a，b，cR， “b24ac0”是“函数 f（x）=ax2+bx+c 的图象恒在 x轴上方”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【分析】根据充要条件的定义可知，只要看“b24ac0”与“函数 f（x）=ax2+bx+c的图象恒在 x 轴上方”能否相互推出即可【解答】解：若 a0，欲保证函数 f（x）=ax2+bx+c 的图象恒在 x 轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与 x 轴无交点；则 a0 且=b24ac0但是，若 a=0 时，如果 b=0，c0，则函数 f（x）=ax2+bx+c=c 的图象恒在 x 轴上方，不能得到=b24ac0；反之， “b24ac0”并不能得到“函数 f（x）=ax2+bx+c 的图象恒在 x 轴上方”，如a0 时第 16 页（共 24 页）从而， “b24ac0”是“函数 f（x）=ax2+bx+c 的图象恒在 x 轴上方”的既非充分又非必要条件故选：D【点评】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次函数的性质，难度一般学生要熟记二次函数的性质方能得心应手的解题24 （3 分）已知 A，B 为平面内两个定点，过该平面内动点 m 作直线 AB 的垂线，垂足为 N若=，其中 为常数，则动点 m 的轨迹不可能是（ ）A圆B椭圆C双曲线 D抛物线【分析】建立直角坐标系，设出 A、B 坐标，以及 M 坐标，通过已知条件求出M 的方程，然后判断选项【解答】解：以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中垂线为 y 轴，建立坐标系，设 M（x，y） ，A（a，0） 、B（a，0） ；因为=，所以 y2=（x+a） （ax） ，即 x2+y2=a2，当 =1 时，轨迹是圆当 0 且 1 时，是椭圆的轨迹方程；当 0 时，是双曲线的轨迹方程当 =0 时，是直线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的方程故选：D【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 78 分）本大题共有分）本大题共有 7 题，解答下列各题必须写出必要题，解答下列各题必须写出必要的步骤的步骤25 （7 分）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1=6，异面直线 BC1与 AA1所成第 17 页（共 24 页）角的大小为，求该三棱柱的体积【分析】因为 CC1AA1根据异面直线所成角的定义得BC1C 为异面直线 BC1与 AA1所成的角，从而BC1C=在 RtBC1C 中，求得 BC，从而求出 SABC，最后利用柱体的体积公式即可求出该三棱柱的体积【解答】解：因为 CC1AA1所以BC1C 为异面直线 BC1与 AA1所成的角，即BC1C=在 RtBC1C 中，BC=CC1tanBC1C=6×=2，从而 SABC=3，因此该三棱柱的体积为 V=SABC×AA1=3×6=18【点评】本题考查三棱柱体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题26 （7 分）如图，某校有一块形如直角三角形 ABC 的空地，其中B 为直角，AB 长 40 米，BC 长 50 米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且 B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积【分析】设出矩形的边 FP 的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可【解答】解：如图，设矩形为 EBFP，FP 长为 x 米，其中 0x40，健身房占地面积为 y 平方米因为CFPCBA，第 18 页（共 24 页）以，求得 BF=50，从而 y=BFFP=（50）x=500当且仅当 x=20 时，等号成立答：该健身房的最大占地面积为 500 平方米【点评】本题考查函数的实际应用，表示出函数的表达式是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力27 （8 分）已知数列an的前 n 项和为 S，数列bn满足 b，求【分析】先由 Sn求出 an，进而得到 bn，由 bn的表达式可判断数列bn是无穷等比数列，从而可得答案【解答】解：当 n2 时，=2n+2，且 a1=S1=0，所以 an=2n+2因为=，所以数列bn是首项为 1、公比为的无穷等比数列故=【点评】本题考查数列的极限、等差数列的前 n 项和，解答本题的关键是根据Sn与 an的关系求出 an第 19 页（共 24 页）28 （13 分）已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1（1，0） 、F2（1，0） ，短轴的两个端点分别为 B1，B2（1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆 C 的方程；（2）若椭圆 C 的短轴长为 2，过点 F2的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，且，求直线 l 的方程【分析】 （1）由F1B1B2为等边三角形可得 a=2b，又 c=1，集合 a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆 C 的方程可求；（2）由给出的椭圆 C 的短轴长为 2，结合 c=1 求出椭圆方程，分过点 F2的直线l 的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于 0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线 l 的方程可求【解答】解：（1）设椭圆 C 的方程为根据题意知，解得，故椭圆 C 的方程为（2）由 2b=2，得 b=1，所以 a2=b2+c2=2，得椭圆 C 的方程为当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x=1，不符合题意；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=k（x1） 由，得（2k2+1）x24k2x+2（k21）=0设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则，第 20 页（共 24 页）因为，所以，即=，解得，即 k=故直线 l 的方程为或【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目29 （12 分）已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1）点 A，P 满足当点 A 在抛物线 C 上运动时，求动点 P 的轨迹方程；（2）在 x 轴上是否存在点 Q，使得点 Q 关于直线 y=2x 的对称点在抛物线 C 上？如果存在，求所有满足条件的点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由【分析】 （1）设出动点 P 和 A 的坐标，求出抛物线焦点 F 的坐标，由得出 P 点和 A 点的关系，由代入法求动点 P 的轨迹方程；（2）设出点 Q 的坐标，在设出其关于直线 y=2x 的对称点 Q的坐标，由斜率关系及中点在 y=2x 上得到两对称点坐标之间的关系，再由点 Q在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得 Q 点的坐标【解答】解：（1）设动点 P 的坐标为（x，y） ，点 A 的坐标为（xA，yA） ，则，因为 F 的坐标为（1，0） ，所以，由，得（xxA，yyA）=2（xA1，yA） 即，解得第 21 页（共 24 页）代入 y2=4x，得到动点 P 的轨迹方程为 y2=84x（2）设点 Q 的坐标为（t，0） 点 Q 关于直线 y=2x 的对称点为 Q（x，y） ，则，解得若 Q在 C 上，将 Q的坐标代入 y2=4x，得 4t2+15t=0，即 t=0 或所以存在满足题意的点 Q，其坐标为（0，0）和（） 【点评】本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了代入法求曲线方程，考查了存在性问题的求解方法，属中档题30 （13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 y 轴正半轴上，点 Pn在 x 轴上，其横坐标为 xn，且xn 是首项为 1、公比为 2 的等比数列，记PnAPn+1=n，nN*（1）若，求点 A 的坐标；（2）若点 A 的坐标为（0，8） ，求 n的最大值及相应 n 的值【分析】 （1）利用xn 是首项为 1、公比为 2 的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得 A 的坐标；（2）表示出 tann=tan（OAPn+1OAPn） ，利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论【解答】解：（1）设 A（0，t） （t0） ，根据题意，xn=2n1由，知，而 tan3=tan（OAP4OAP3）=，第 22 页（共 24 页）所以，解得 t=4 或 t=8故点 A 的坐标为（0，4）或（0，8） （2）由题意，点 Pn的坐标为（2n1，0） ，tanOAPn=tann=tan（OAPn+1OAPn）=因为，所以 tann=，当且仅当，即 n=4 时等号成立0n，y=tanx 在（0，）上为增函数，当 n=4 时，n最大，其最大值为【点评】本题考查等比数列，考查差角的正切函数，考查基本不等式的运用，正确运用差角的正切公式是关键31 （18 分）已知真命题：“函数 y=f（x）的图象关于点 P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数 y=f（x+a）b 是奇函数”（1）将函数 g（x）=x33x2的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数 g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数 h（x）= 图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数 a 和 b，使得函数 y=f（x+a）b 是偶函数”判断该命题的真假如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明） 【分析】 （1）先写出平移后图象对应的函数解析式为 y=（x+1）33（x+1）2+2，第 23 页（共 24 页）整理得 y=x33x，由于函数 y=x33x 是奇函数，利用题设真命题知，函数 g（x）图象对称中心（2）设 h（x）= 的对称中心为 P（a，b） ，由题设知函数 h（x+a）b是奇函数，从而求出 a，b 的值，即可得出图象对称中心的坐标（3）此命题是假命题举反例说明：函数 f（x）=x 的图象关于直线 y=x 成轴对称图象，但是对任意实数 a 和 b，函数 y=f（x+a）b，即 y=x+ab 总不是偶函数修改后的真命题：“函数 y=f（x）的图象关于直线 x=a 成轴对称图象”的充要条件是“函数 y=f（x+a）是偶函数”【解答】解：（1）平移后图象对应的函数解析式为 y=（x+1）33（x+1）2+2，整理得 y=x33x，由于函数 y=x33x 是奇函数，由题设真命题知，函数 g（x）图象对称中心的坐标是（1，2） （2）设 h（x）= 的对称中心为 P（a，b） ，由题设知函数 h（x+a）b 是奇函数设 f（x）=h（x+a）b，则 f（x）=b，即 f（x）=由不等式的解集关于原点对称，则a+（4a）=0，得 a=2此时 f（x）=b，x（2，2） 任取 x（2，2） ，由 f（x）+f（x）=0，得 b=1，所以函数 h（x）= 图象对称中心的坐标是（2，1） （3）此命题是假命题举反例说明：函数 f（x）=x 的图象关于直线 y=x 成轴对称图象，但是对任意实数 a 和 b，函数 y=f（x+a）b，即 y=x+ab 总不是偶函数第 24 页（共 24 页）修改后的真命题：“函数 y=f（x）的图象关于直线 x=a 成轴对称图象”的充要条件是“函数 y=f（x+a）是偶函数”【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的对称性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于中档题