2014年山东省高考数学试卷（理科）.doc

第 1 页（共 27 页）2014 年山东省高考数学试卷（理科）年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 50 分）分）1 （5 分）已知 a，bR，i 是虚数单位，若 ai 与 2+bi 互为共轭复数，则（a+bi）2=（ ）A54i B5+4i C34i D3+4i2 （5 分）设集合 A=x|x1|2，B=y|y=2x，x0，2，则 AB=（ ）A0，2 B （1，3）C1，3） D （1，4）3 （5 分）函数 f（x）=的定义域为（ ）A （0，）B （2，+）C （0，）（2，+）D （0，2，+）4 （5 分）用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A方程 x3+ax+b=0 没有实根B方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根C方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根D方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根5 （5 分）已知实数 x，y 满足 axay（0a1） ，则下列关系式恒成立的是（ ）ABln（x2+1）ln（y2+1）CsinxsinyDx3y36 （5 分）直线 y=4x 与曲线 y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A2B4C2D47 （5 分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志第 2 页（共 27 页）愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12，13） ，13，14） ，14，15） ，15，16） ，16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A6B8C12D188 （5 分）已知函数 f（x）=丨 x2 丨+1，g（x）=kx若方程 f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是（ ）A （0，）B （，1）C （1，2） D （2，+）9 （5 分）已知 x，y 满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a0，b0）在该约束条件下取到最小值 2时，a2+b2的最小值为（ ）A5B4CD210 （5 分）已知 ab0，椭圆 C1的方程为+=1，双曲线 C2的方程为=1，C1与 C2的离心率之积为，则 C2的渐近线方程为（ ）Ax±y=0Bx±y=0Cx±2y=0 D2x±y=0二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 25 分）分）11 （5 分）执行如图程序框图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 n 的值为 第 3 页（共 27 页）12 （5 分）若ABC 中，已知=tanA，当 A=时，ABC 的面积为 13 （5 分）三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥 DABE 的体积为 V1，PABC 的体积为 V2，则= 14 （5 分）若（ax2+）6的展开式中 x3项的系数为 20，则 a2+b2的最小值为 15 （5 分）已知函数 y=f（x） （xR） ，对函数 y=g（x） （xR） ，定义 g（x）关于 f（x）的“对称函数”为函数 y=h（x） （xR） ，y=h（x）满足：对任意 xR，两个点（x，h（x） ） ， （x，g（x） ）关于点（x，f（x） ）对称若 h（x）是 g（x）=关于 f（x）=3x+b 的“对称函数”，且 h（x）g（x）恒成立，则实数 b的取值范围是 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 75 分）分）16 （12 分）已知向量 =（m，cos2x） ， =（sin2x，n） ，函数 f（x）= ，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，2） （）求 m，n 的值；（）将 y=f（x）的图象向左平移 （0）个单位后得到函数 y=g（x）第 4 页（共 27 页）的图象，若 y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为 1，求y=g（x）的单调递增区间17 （12 分）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是等腰梯形，DAB=60°，AB=2CD=2，M 是线段 AB 的中点（）求证：C1M平面 A1ADD1；（）若 CD1垂直于平面 ABCD 且 CD1=，求平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角（锐角）的余弦值18 （12 分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 A，B，乙被划分为两个不相交的区域 C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在 C 上记 3 分，在 D 上记 1分，其它情况记 0 分对落点在 A 上的来球，小明回球的落点在 C 上的概率为，在 D 上的概率为；对落点在 B 上的来球，小明回球的落点在 C 上的概率为，在 D 上的概率为假设共有两次来球且落在 A，B 上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（）两次回球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望19 （12 分）已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）令 bn=（1）n1，求数列bn的前 n 项和 Tn第 5 页（共 27 页）20 （13 分）设函数 f（x）=k（+lnx） （k 为常数，e=2.71828是自然对数的底数） （）当 k0 时，求函数 f（x）的单调区间；（）若函数 f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求 k 的取值范围21 （14 分）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有丨FA 丨=丨 FD 丨当点 A 的横坐标为 3 时，ADF 为正三角形（）求 C 的方程；（）若直线 l1l，且 l1和 C 有且只有一个公共点 E，（）证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标；（）ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由第 6 页（共 27 页）2014 年山东省高考数学试卷（理科）年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 50 分）分）1 （5 分）已知 a，bR，i 是虚数单位，若 ai 与 2+bi 互为共轭复数，则（a+bi）2=（ ）A54i B5+4i C34i D3+4i【分析】由条件利用共轭复数的定义求得 a、b 的值，即可得到（a+bi）2的值【解答】解：ai 与 2+bi 互为共轭复数，则 a=2、b=1，（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位 i 的幂运算性质，属于基础题2 （5 分）设集合 A=x|x1|2，B=y|y=2x，x0，2，则 AB=（ ）A0，2 B （1，3）C1，3） D （1，4）【分析】求出集合 A，B 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论【解答】解：A=x 丨丨 x1 丨2=x 丨1x3，B=y 丨 y=2x，x0，2=y 丨 1y4，则 AB=x 丨 1y3，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合 A，B 是解决本题的关键3 （5 分）函数 f（x）=的定义域为（ ）第 7 页（共 27 页）A （0，）B （2，+）C （0，）（2，+）D （0，2，+）【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，则，即 log2x1 或 log2x1，解得 x2 或 0x，即函数的定义域为（0，）（2，+） ，故选：C【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础4 （5 分）用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A方程 x3+ax+b=0 没有实根B方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根C方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根D方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时，要做的假设是：方程 x3+ax+b=0 没有实根故选：A【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查5 （5 分）已知实数 x，y 满足 axay（0a1） ，则下列关系式恒成立的是（ ）ABln（x2+1）ln（y2+1）第 8 页（共 27 页）CsinxsinyDx3y3【分析】实数 x，y 满足 axay（0a1） ，可得 xy，对于 ABC 分别举反例即可否定，对于 D：由于 y=x3在 R 上单调递增，即可判断出正误【解答】解：实数 x，y 满足 axay（0a1） ，xy，A取 x=2，y=1，不成立；B取 x=0，y=1，不成立C取 x=，y=，不成立；D由于 y=x3在 R 上单调递增，因此正确故选：D【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键6 （5 分）直线 y=4x 与曲线 y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A2B4C2D4【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为 2，积分下限为0 的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为 2，积分下限为 0，曲线 y=x3与直线 y=4x 在第一象限所围成的图形的面积是（4xx3）dx，而（4xx3）dx=（2x2x4）|=84=4，曲边梯形的面积是 4，故选：D第 9 页（共 27 页）【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题7 （5 分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12，13） ，13，14） ，14，15） ，15，16） ，16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A6B8C12D18【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有 20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有 20 人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为 0.24，0.16，所以第一组有 12 人，第二组 8 人，第三组的频率为 0.36，所以第三组的人数：18 人，第三组中没有疗效的有 6 人，第三组中有疗效的有 12 人第 10 页（共 27 页）故选：C【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题8 （5 分）已知函数 f（x）=丨 x2 丨+1，g（x）=kx若方程 f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是（ ）A （0，）B （，1）C （1，2） D （2，+）【分析】画出函数 f（x） 、g（x）的图象，由题意可得函数 f（x）的图象（蓝线）和函数 g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得 k 的范围【解答】解：由题意可得函数 f（x）的图象（蓝线）和函数 g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：KOA=，数形结合可得 k1，故选：B【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题9 （5 分）已知 x，y 满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a0，b0）在该约束条件下取到最小值 2时，a2+b2的最小值为（ ）第 11 页（共 27 页）A5B4CD2【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到 2a+b2=0a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b2=0 的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1） 化目标函数为直线方程得：（b0） 由图可知，当直线过 A 点时，直线在 y 轴上的截距最小，z 最小2a+b=2即 2a+b2=0则 a2+b2的最小值为故选：B【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题10 （5 分）已知 ab0，椭圆 C1的方程为+=1，双曲线 C2的方程为第 12 页（共 27 页）=1，C1与 C2的离心率之积为，则 C2的渐近线方程为（ ）Ax±y=0Bx±y=0Cx±2y=0 D2x±y=0【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出 ab 关系，即可求解双曲线的渐近线方程【解答】解：ab0，椭圆 C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线 C2的方程为=1，C2的离心率为：，C1与 C2的离心率之积为，=，=，C2的渐近线方程为：y=，即 x±y=0故选：A【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 25 分）分）11 （5 分）执行如图程序框图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 n 的值为 3 第 13 页（共 27 页）【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于 0 时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可【解答】解：循环前输入的 x 的值为 1，第 1 次循环，x24x+3=00，满足判断框条件，x=2，n=1，x24x+3=10，满足判断框条件，x=3，n=2，x24x+3=00满足判断框条件，x=4，n=3，x24x+3=30，不满足判断框条件，输出 n：3故答案为：3【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力12 （5 分）若ABC 中，已知=tanA，当 A=时，ABC 的面积为 【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得 ABAC=，再根据ABC的面积为 ABACsinA，计算求得结果【解答】解：ABC 中，=ABACcosA=tanA，当 A=时，有 ABAC=，解得 ABAC=，第 14 页（共 27 页）ABC 的面积为 ABACsinA=××=，故答案为：【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式，属于基础题13 （5 分）三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥 DABE 的体积为 V1，PABC 的体积为 V2，则= 【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比【解答】解：如图，三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，三棱锥 DABE 的体积为 V1，PABC 的体积为 V2，A 到底面 PBC 的距离不变，底面 BDE 底面积是 PBC 面积的=，=故答案为：【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题14 （5 分）若（ax2+）6的展开式中 x3项的系数为 20，则 a2+b2的最小值为 第 15 页（共 27 页）2 【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过 x 幂指数为 3，求出 ab 关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值【解答】解：（ax2+）6的展开式中 x3项的系数为 20，所以 Tr+1=，令 123r=3，r=3，ab=1，a2+b22ab=2，当且仅当 a=b=1 时取等号a2+b2的最小值为：2故答案为：2【点评】本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查15 （5 分）已知函数 y=f（x） （xR） ，对函数 y=g（x） （xR） ，定义 g（x）关于 f（x）的“对称函数”为函数 y=h（x） （xR） ，y=h（x）满足：对任意 xR，两个点（x，h（x） ） ， （x，g（x） ）关于点（x，f（x） ）对称若 h（x）是 g（x）=关于 f（x）=3x+b 的“对称函数”，且 h（x）g（x）恒成立，则实数 b的取值范围是 （2，+） 【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论【解答】解：根据“对称函数”的定义可知，即 h（x）=6x+2b，若 h（x）g（x）恒成立，则等价为 6x+2b，即 3x+b恒成立，设 y1=3x+b，y2=，第 16 页（共 27 页）作出两个函数对应的图象如图，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离 d=，即|b|=2，b=2或2， （舍去） ，即要使 h（x）g（x）恒成立，则 b2，即实数 b 的取值范围是（2，+） ，故答案为：（2，+）【点评】本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 75 分）分）16 （12 分）已知向量 =（m，cos2x） ， =（sin2x，n） ，函数 f（x）= ，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，2） （）求 m，n 的值；（）将 y=f（x）的图象向左平移 （0）个单位后得到函数 y=g（x）的图象，若 y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为 1，求y=g（x）的单调递增区间【分析】 （）由题意可得 函数 f（x）=msin2x+ncos2x，再由 y=f（x）的图象过点（，）和点（，2） ，解方程组求得 m、n 的值第 17 页（共 27 页）（）由（）可得 f（x）=2sin（2x+） ，根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律求得 g（x）=2sin（2x+2+）的图象，再由函数 g（x）的一个最高点在 y 轴上，求得 =，可得 g（x）=2cos2x令 2k2x2k，kZ，求得 x的范围，可得 g（x）的增区间【解答】解：（）由题意可得 函数 f（x）= =msin2x+ncos2x，再由 y=f（x）的图象过点（，）和点（，2） ，可得 解得 m=，n=1（）由（）可得 f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+） 将 y=f（x）的图象向左平移 （0）个单位后，得到函数 g（x）=2sin2（x+）+=2sin（2x+2+）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为 2y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为 1，故函数 g（x）的一个最高点在 y 轴上，2+=2k+，kZ，结合 0，可得 =，故 g（x）=2sin（2x+）=2cos2x令 2k2x2k，kZ，求得 kxk，故 y=g（x）的单调递增区间是k，k，kZ【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题17 （12 分）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是等腰梯形，第 18 页（共 27 页）DAB=60°，AB=2CD=2，M 是线段 AB 的中点（）求证：C1M平面 A1ADD1；（）若 CD1垂直于平面 ABCD 且 CD1=，求平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角（锐角）的余弦值【分析】 （）连接 AD1，易证 AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得 C1M平面 A1ADD1；（）作 CPAB 于 P，以 C 为原点，CD 为 x 轴，CP 为 y 轴，CD1为 z 轴建立空间坐标系，易求 C1（1，0，） ，D1， （0，0，） ，M（，0） ，=（1，1，0） ，=（，） ，设平面 C1D1M 的法向量=（x1，y1，z1） ，可求得=（0，2，1） ，而平面 ABCD 的法向量=（1，0，0） ，从而可求得平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角（锐角）的余弦值【解答】解：（）连接 AD1，ABCDA1B1C1D1为四棱柱，CDC1D1，又 M 为 AB 的中点，AM=1CDAM，CD=AM，AMC1D1，AMC1D1为平行四边形，AD1MC1，又 MC1平面 A1ADD1，AD1平面A1ADD1，C1M平面 A1ADD1；（）解法一：ABA1B1，A1B1C1D1，面 D1C1M 与 ABC1D1共面，第 19 页（共 27 页）作 CNAB，连接 D1N，则D1NC 即为所求二面角，在 ABCD 中，DC=1，AB=2，DAB=60°，CN=，在 RtD1CN 中，CD1=，CN=，D1N=cosD1NC=解法二：作 CPAB 于 P，以 C 为原点，CD 为 x 轴，CP 为 y 轴，CD1为 z 轴建立空间坐标系则 C1（1，0，） ，D1， （0，0，） ，M（，0） ，=（1，0，0） ，=（，） ，设平面 C1D1M 的法向量 =（x1，y1，z1） ，则，=（0，2，1） 显然平面 ABCD 的法向量=（0，0，1） ，cos，|=，显然二面角为锐角，平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角（锐角）的余弦值为【点评】本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置第 20 页（共 27 页）关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力18 （12 分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 A，B，乙被划分为两个不相交的区域 C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在 C 上记 3 分，在 D 上记 1分，其它情况记 0 分对落点在 A 上的来球，小明回球的落点在 C 上的概率为，在 D 上的概率为；对落点在 B 上的来球，小明回球的落点在 C 上的概率为，在 D 上的概率为假设共有两次来球且落在 A，B 上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（）两次回球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望【分析】 （）分别求出回球前落点在 A 上和 B 上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（）两次回球结束后，小明得分之和 的取值有 0，1，2，3，4，6 六种情况，求出随机变量 的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望 E【解答】解：（）小明回球前落点在 A 上，回球落点在乙上的概率为+=，回球前落点在 B 上，回球落点在乙上的概率为+=，故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率 P=×（1）+（1）×=+=（） 的可能取值为 0，1，2，3，4，6其中 P（=0）=（1）×（1）=；P（=1）=×（1）+（1）×=；第 21 页（共 27 页）P（=2）=×=；P（=3）=×（1）+（1）×=；P（=4）=×+×=；P（=6）=×=；故 的分布列为： 0 1 2 3 4 6P故 的数学期望为 E（）=0×+1×+2×+3×+4×+6×=【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大19 （12 分）已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）令 bn=（1）n1，求数列bn的前 n 项和 Tn【分析】 （）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出；（）由（）可得 bn=对 n 分类讨论“裂项求和”即可得出【解答】解：（）等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，Sn=n2n+na1，S1，S2，S4成等比数列，化为，解得 a1=1第 22 页（共 27 页）an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1（）由（）可得 bn=（1）n1=Tn=+当 n 为偶数时，Tn=+=1=当 n 为奇数时，Tn=+=1+=Tn=【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、 “裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题20 （13 分）设函数 f（x）=k（+lnx） （k 为常数，e=2.71828是自然对数的底数） （）当 k0 时，求函数 f（x）的单调区间；（）若函数 f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求 k 的取值范围【分析】 （）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（）函数 f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数 f（x）在（0，2）内有两个不同的零点【解答】解：（）f（x）的定义域为（0，+） ，f（x）=k（）第 23 页（共 27 页）=（x0） ，当 k0 时，kx0，exkx0，令 f（x）=0，则 x=2，当 0x2 时，f（x）0，f（x）单调递减；当 x2 时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）的单调递减区间为（0，2） ，单调递增区间为（2，+） （）由（）知，k0 时，函数 f（x）在（0，2）内单调递减，故 f（x）在（0，2）内不存在极值点；当 k0 时，设函数 g（x）=exkx，x（0，+） g（x）=exk=exelnk，当 0k1 时，当 x（0，2）时，g（x）=exk0，y=g（x）单调递增，故 f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；当 k1 时，得 x（0，lnk）时，g（x）0，函数 y=g（x）单调递减，x（lnk，+）时，g（x）0，函数 y=g（x）单调递增，函数 y=g（x）的最小值为 g（lnk）=k（1lnk）函数 f（x）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当解得：e综上所述，函数 f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k 的取值范围为（e，）第 24 页（共 27 页）【点评】本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想是一道导数的综合应用题属于中档题21 （14 分）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有丨FA 丨=丨 FD 丨当点 A 的横坐标为 3 时，ADF 为正三角形（）求 C 的方程；（）若直线 l1l，且 l1和 C 有且只有一个公共点 E，（）证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标；（）ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由【分析】 （1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的 p 值；（2） （）设出点 A 的坐标，求出直线 AB 的方程，利用直线 l1l，且 l1和 C有且只有一个公共点 E，求出点 E 的坐标，写出直线 AE 的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（） 利用弦长公式求出弦 AB 的长度，再求点 E 到直线 AB 的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值【解答】解：（1）当点 A 的横坐标为 3 时，过点 A 作 AGx 轴于 G，A（3，） ，F（，0） ，ADF 为正三角形，又，p=2C 的方程为 y2=4x第 25 页（共 27 页）当 D 在焦点 F 的左侧时，又|FD|=2|FG|=2（3）=p6，ADF 为正三角形，3+=p6，解得 p=18，C 的方程为 y2=36x此时点 D 在 x 轴负半轴，不成立，舍C 的方程为 y2=4x（2） （）设 A（x1，y1） ，|FD|=|AF|=x1+1，D（x1+2，0） ，kAD=由直线 l1l 可设直线 l1方程为，联立方程，消去 x 得由 l1和 C 有且只有一个公共点得=64+32y1m=0，y1m=2，这时方程的解为，代入得 x=m2，E（m2，2m） 点 A 的坐标可化为，直线 AE 方程为 y2m=（xm2） ，即，第 26 页（共 27 页）直线 AE 过定点（1，0） ；（）直线 AB 的方程为，即联立方程，消去 x 得，=，由（）点 E 的坐标为，点 E 到直线 AB 的距离为：=，ABE 的面积=，当且仅当 y1=±2 时等号成立，ABE 的面积最小值为 16第 27 页（共 27 页）【点评】本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，切线方程的求法，定点问题与最值问题