2013年上海市高考数学试卷（理科）.doc

第 1 页（共 24 页）2013 年上海市高考数学试卷（理科）年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 14 题，满分题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分1 （4 分）计算：= 2 （4 分）设 mR，m2+m2+（m21）i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m= 3 （4 分）若=，x+y= 4 （4 分）已知ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，若3a2+2ab+3b23c2=0，则角 C 的大小是 5 （4 分）设常数 aR，若（x2+）5的二项展开式中 x7项的系数为10，则 a= 6 （4 分）方程+=3x1的实数解为 7 （4 分）在极坐标系中，曲线 =cos+1 与 cos=1 的公共点到极点的距离为 8 （4 分）盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示） 9 （4 分）设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且CBA=，若 AB=4，BC=，则 的两个焦点之间的距离为 10 （4 分）设非零常数 d 是等差数列 x1，x2，x19的公差，随机变量 等可能地取值 x1，x2，x19，则方差 D= 11 （4 分）若 cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则 sin（x+y）= 12 （4 分）设 a 为实常数，y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=9x+7若 f（x）a+1 对一切 x0 成立，则 a 的取值范围为 第 2 页（共 24 页）13 （4 分）在 xOy 平面上，将两个半圆弧（x1）2+y2=1（x1）和（x3）2+y2=1（x3） ，两条直线 y=1 和 y=1 围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分，记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 过（0，y） （|y|1）作 的水平截面，所得截面积为 4+8试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 的体积值为 14 （4 分）对区间 I 上有定义的函数 g（x） ，记 g（I）=y|y=g（x） ，xI已知定义域为0，3的函数 y=f（x）有反函数 y=f1（x） ，且 f1（0，1） ）=1，2） ，f1（2，4）=0，1） 若方程 f（x）x=0 有解 x0，则 x0= 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律分，否则一律得零分得零分15 （5 分）设常数 aR，集合 A=x|（x1） （xa）0，B=x|xa1，若AB=R，则 a 的取值范围为（ ）A （，2）B （，2C （2，+）D2，+）16 （5 分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件17 （5 分）在数列（an）中，an=2n1，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素 cij=aiaj+ai+aj（i=1，2，7；j=1，2，12） ，则该矩阵元素能取到的第 3 页（共 24 页）不同数值的个数为（ ）A18B28C48D6318 （5 分）在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、若 m、M 分别为（+）（+）的最小值、最大值，其中i，j，k1，2，3，4，5，r，s，t1，2，3，4，5，则 m、M 满足（ ）Am=0，M0 Bm0，M0Cm0，M=0 Dm0，M0三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤号的规定区域内写出必要的步骤19 （12 分）如图，在长方体 ABCDABCD中，AB=2，AD=1，AA=1证明直线BC平行于平面 DAC，并求直线 BC到平面 DAC 的距离20 （14 分）甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1x10） ，每小时可获得的利润是 100（5x+1）元（1）要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围；（2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润21 （14 分）已知函数 f（x）=2sin（x） ，其中常数 0（1）若 y=f（x）在，上单调递增，求 的取值范围；（2）令 =2，将函数 y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 y=g（x）的图象，区间a，b（a，bR，且 ab）满足：y=g（x）在a，b上至少含有 30 个零点在所有满足上述条件的a，b中，求第 4 页（共 24 页）ba 的最小值22 （16 分）如图，已知双曲线 C1：，曲线 C2：|y|=|x|+1，P 是平面内一点，若存在过点 P 的直线与 C1，C2都有公共点，则称 P 为“C1C2型点”（1）在正确证明 C1的左焦点是“C1C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证） ；（2）设直线 y=kx 与 C2有公共点，求证|k|1，进而证明原点不是“C1C2型点”；（3）求证：圆 x2+y2=内的点都不是“C1C2型点”23 （18 分）给定常数 c0，定义函数 f（x）=2|x+c+4|x+c|数列a1，a2，a3，满足 an+1=f（an） ，nN*（1）若 a1=c2，求 a2及 a3；（2）求证：对任意 nN*，an+1anc；（3）是否存在 a1，使得 a1，a2，an，成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1；若不存在，说明理由第 5 页（共 24 页）2013 年上海市高考数学试卷（理科）年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 14 题，满分题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分1 （4 分）计算：= 【分析】由数列极限的意义即可求解【解答】解：=，故答案为：【点评】本题考查数列极限的求法，属基础题2 （4 分）设 mR，m2+m2+（m21）i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m= 2 【分析】根据纯虚数的定义可得 m21=0，m210，由此解得实数 m 的值【解答】解：复数 z=（m2+m2）+（m1）i 为纯虚数，m2+m2=0，m210，解得 m=2，故答案为：2【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到 m2+m2=0，m210，是解题的关键，属于基础题3 （4 分）若=，x+y= 0 【分析】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论【解答】解：=，第 6 页（共 24 页）x2+y2=2xy（x+y）2=0x+y=0故答案为 0【点评】本题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，属于基础题4 （4 分）已知ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，若3a2+2ab+3b23c2=0，则角 C 的大小是 【分析】把式子 3a2+2ab+3b23c2=0 变形为，再利用余弦定理即可得出【解答】解：3a2+2ab+3b23c2=0，=C=故答案为【点评】熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的关键5 （4 分）设常数 aR，若（x2+）5的二项展开式中 x7项的系数为10，则 a= 2 【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第 r+1 项，令 x 的指数为 7 求得 x7的系数，列出方程求解即可【解答】解：的展开式的通项为 Tr+1=C5rx102r（）r=C5rx103rar令 103r=7 得 r=1，x7的系数是 aC51x7的系数是10，第 7 页（共 24 页）aC51=10，解得 a=2故答案为：2【点评】本题主要考查了二项式系数的性质二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具6 （4 分）方程+=3x1的实数解为 log34 【分析】化简方程+=3x1为 =3x1，即（3x4） （3x+2）=0，解得 3x=4，可得 x 的值【解答】解：方程+=3x1，即 =3x1，即 8+3x=3x1（ 3x+13） ，化简可得 32x23x8=0，即（3x4） （3x+2）=0解得 3x=4，或 3x=2（舍去） ，x=log34，故答案为 log34【点评】本题主要考查指数方程的解法，指数函数的值域，一元二次方程的解法，属于基础题7 （4 分）在极坐标系中，曲线 =cos+1 与 cos=1 的公共点到极点的距离为 【分析】联立 =cos+1 与 cos=1 消掉 即可求得 ，即为答案【解答】解：由 =cos+1 得，cos=1，代入 cos=1 得 （1）=1，解得 =或 =（舍） ，所以曲线 =cos+1 与 cos=1 的公共点到极点的距离为，第 8 页（共 24 页）故答案为：【点评】本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，属基础题8 （4 分）盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示） 【分析】利用组合知识求出从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从 5 个奇数中任意取出 2 个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率【解答】解：从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 九个球中，任意取出两个球的取法种数为种取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是故答案为【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题9 （4 分）设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且CBA=，若 AB=4，BC=，则 的两个焦点之间的距离为 【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出 C 的坐标，再根据点 C 在椭圆上求得 b 值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案第 9 页（共 24 页）【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2CBA=，BC=，点 C 的坐标为 C（1，1） ，因点 C 在椭圆上，b2=，c2=a2b2=4=，c=，则 的两个焦点之间的距离为 故答案为：【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用10 （4 分）设非零常数 d 是等差数列 x1，x2，x19的公差，随机变量 等可能地取值 x1，x2，x19，则方差 D= 30d2 【分析】利用等差数列的前 n 项和公式可得 x1+x2+x19=和数学期望的计算公式即可得出 E，再利用方差的计算公式即可得出 D=即可得出【解答】解：由题意可得 E=x1+9dxnE=x1+（n1）d（x1+9d）=（n10）d，第 10 页（共 24 页）D=+（d）2+0+d2+（2d）2+（9d）2=30d2故答案为：30d2【点评】熟练掌握等差数列的前 n 项和公式、数学期望和方差的计算公式是解题的关键11 （4 分）若 cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则 sin（x+y）= 【分析】利用两角差的余弦公式及 cosxcosy+sinxsiny=，可得 cos（xy）=，再利用和差化积公式 sin2x+sin2y=，得到 2sin（x+y）cos（xy）=，即可得出sin（x+y） 【解答】解：cosxcosy+sinxsiny=，cos（xy）=sin2x+sin2y=，sin（x+y）+（xy）+sin（x+y）（xy）=，2sin（x+y）cos（xy）=，sin（x+y）=故答案为【点评】熟练掌握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的关键12 （4 分）设 a 为实常数，y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=9x+7若 f（x）a+1 对一切 x0 成立，则 a 的取值范围为 第 11 页（共 24 页）【分析】先利用 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数求出 x0 时函数的解析式，将f（x）a+1 对一切 x0 成立转化为函数的最小值a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出 a 的范围【解答】解：因为 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以当 x=0 时，f（x）=0；当 x0 时，则x0，所以 f（x）=9x+7因为 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以 f（x）=9x+7；因为 f（x）a+1 对一切 x0 成立，所以当 x=0 时，0a+1 成立，所以 a1；当 x0 时，9x+7a+1 成立，只需要 9x+7 的最小值a+1，因为 9x+72=6|a|7，所以 6|a|7a+1，解得，所以故答案为：【点评】本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值13 （4 分）在 xOy 平面上，将两个半圆弧（x1）2+y2=1（x1）和（x3）2+y2=1（x3） ，两条直线 y=1 和 y=1 围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分，记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 过（0，y） （|y|1）作 的水平截面，所得截面积为 4+8试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，第 12 页（共 24 页）得出 的体积值为 22+16 【分析】由题目给出的 的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可【解答】解：因为几何体为 的水平截面的截面积为 4+8，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值 8，看作是截一个底面积为 8，高为 2 的长方体得到的，对于 4，看作是把一个半径为 1，高为 2 的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与 放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即 的体积为 122+28=22+16故答案为 22+16【点评】本题考查了简单的合情推理，解答的关键是由几何体 的水平截面面积想到水平放置的圆柱和长方体的有关量，是中档题14 （4 分）对区间 I 上有定义的函数 g（x） ，记 g（I）=y|y=g（x） ，xI已知定义域为0，3的函数 y=f（x）有反函数 y=f1（x） ，且 f1（0，1） ）=1，2） ，f1（2，4）=0，1） 若方程 f（x）x=0 有解 x0，则 x0= 2 【分析】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当 x0，1）时，x1，2）时 f（x）的值域，进而可判断此时 f（x）=x 无解；由 f（x）在定义第 13 页（共 24 页）域0，3上存在反函数可知：x2，3时，f（x）的取值集合，再根据方程f（x）=x 有解即可得到 x0的值【解答】解：因为 g（I）=y|y=g（x） ，xI，f1（0，1） ）=1，2） ，f1（2，4）=0，1） ，所以对于函数 f（x） ，当 x0，1）时，f（x）（2，4，所以方程 f（x）x=0 即 f（x）=x 无解；当 x1，2）时，f（x）0，1） ，所以方程 f（x）x=0 即 f（x）=x 无解；所以当 x0，2）时方程 f（x）x=0 即 f（x）=x 无解，又因为方程 f（x）x=0 有解 x0，且定义域为0，3，故当 x2，3时，f（x）的取值应属于集合（，0）1，2（4，+） ，故若 f（x0）=x0，只有 x0=2，故答案为：2【点评】本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力，属中档题二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律分，否则一律得零分得零分15 （5 分）设常数 aR，集合 A=x|（x1） （xa）0，B=x|xa1，若AB=R，则 a 的取值范围为（ ）A （，2）B （，2C （2，+）D2，+）【分析】当 a1 时，代入解集中的不等式中，确定出 A，求出满足两集合的并集为 R 时的 a 的范围；当 a=1 时，易得 A=R，符合题意；当 a1 时，同样求出集合 A，列出关于 a 的不等式，求出不等式的解集得到 a 的范围综上，得到满足题意的 a 范围【解答】解：当 a1 时，A=（，1a，+） ，B=a1，+） ，第 14 页（共 24 页）若 AB=R，则 a11，1a2；当 a=1 时，易得 A=R，此时 AB=R；当 a1 时，A=（，a1，+） ，B=a1，+） ，若 AB=R，则 a1a，显然成立，a1；综上，a 的取值范围是（，2故选：B【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键16 （5 分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件【分析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题所以“好货”“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B【点评】本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题17 （5 分）在数列（an）中，an=2n1，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列第 15 页（共 24 页）的元素 cij=aiaj+ai+aj（i=1，2，7；j=1，2，12） ，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）A18B28C48D63【分析】由于该矩阵的第 i 行第 j 列的元素 cij=aiaj+ai+aj=（2i1） （2j1）+2i1+2j1=2i+j1（i=1，2，7；j=1，2，12） ，要使aij=amn（i，m=1，2，7；j，n=1，2，12） 则满足 2i+j1=2m+n1，得到 i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当 i+jm+n 时，aijamn，因此该矩阵元素能取到的不同数值为 i+j 的所有不同和，即可得出【解答】解：该矩阵的第 i 行第 j 列的元素 cij=aiaj+ai+aj=（2i1） （2j1）+2i1+2j1=2i+j1（i=1，2，7；j=1，2，12） ，当且仅当：i+j=m+n 时，aij=amn（i，m=1，2，7；j，n=1，2，12） ，因此该矩阵元素能取到的不同数值为 i+j 的所有不同和，其和为 2，3，19，共 18 个不同数值故选：A【点评】由题意得出：当且仅当 i+j=m+n 时，aij=amn（i，m=1，2，7；j，n=1，2，12）是解题的关键18 （5 分）在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、若 m、M 分别为（+）（+）的最小值、最大值，其中i，j，k1，2，3，4，5，r，s，t1，2，3，4，5，则 m、M 满足（ ）Am=0，M0 Bm0，M0Cm0，M=0 Dm0，M0【分析】利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于 0，从而可结论第 16 页（共 24 页）【解答】解：由题意，以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、，利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于 0，m、M 分别为（+）（+）的最小值、最大值，m0，M0故选：D【点评】本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤号的规定区域内写出必要的步骤19 （12 分）如图，在长方体 ABCDABCD中，AB=2，AD=1，AA=1证明直线BC平行于平面 DAC，并求直线 BC到平面 DAC 的距离【分析】解法一：证明 ABCD为平行四边形，可得 BCAD，再利用直线和平面平行的判定定理证得直线 BC平行于平面 DAC 所求的距离即点 B 到平面DAC 的距离，设为 h，再利用等体积法求得 h 的值解法二：建立空间直角坐标系，求出平面 DAC 的一个法向量为 =（2，1，2） ，再根据 =0，可得 ，可得直线 BC平行于平面 DAC求出点 B到平面 DAC 的距离 d= 的值，即为直线 BC到平面 DAC 的距离【解答】解：解法一：因为 ABCDABCD为长方体，故 ABCD，AB=CD，第 17 页（共 24 页）故 ABCD为平行四边形，故 BCAD，显然 BC不在平面 DAC 内，于是直线 BC平行于平面 DAC 直线 BC到平面 DAC 的距离即为点 B 到平面 DAC 的距离，设为 h，考虑三棱锥 DABC 的体积，以 ABC 为底面，可得三棱锥 DABC 的体积为V=（）=，而ADC 中，AC=DC=，AD=，故CAD的底边 AD上的高为，故CAD的面积 SCAD=，所以，V=h=，即直线 BC到平面 DAC 的距离为解法二：以 DA所在的直线为 x 轴，以 DC所在的直线为 y 轴，以 DD 所在的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系则由题意可得，点 A（1，0，1 ） 、B（1，2，1） 、C（0，2，1） 、C（0，2，0） 、D（0，0，0） 设平面 DAC 的一个法向量为 =（u，v，w） ，则由 ， ，可得，=（1，0，1） ，=（0，2，1） ，解得令 v=1，可得 u=2，w=2，可得 =（2，1，2） 由于=（1，0，1） ，=0，故有 再由 BC不在平面 DAC 内，可得直线 BC平行于平面 DAC 由于=（1，0，0） ，可得点 B 到平面 DAC 的距离 d=，故直线 BC到平面 DAC 的距离为【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，利用向量法证明直线和平面平行，求直线到平面的距离的方法，体现了转化的数学思想，属于中第 18 页（共 24 页）档题20 （14 分）甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1x10） ，每小时可获得的利润是 100（5x+1）元（1）要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围；（2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润【分析】 （1）求出生产该产品 2 小时获得的利润，建立不等式，即可求 x 的取值范围；（2）确定生产 900 千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润【解答】解：（1）生产该产品 2 小时获得的利润为 100（5x+1）×2=200（5x+1）根据题意，200（5x+1）3000，即 5x214x30x3 或 x1x10，3x10；（2）设利润为 y 元，则生产 900 千克该产品获得的利润为 y=100（5x+1）×=90000（）=9×104+1x10，x=6 时，取得最大利润为=457500 元故甲厂应以 6 千克/小时的速度生产，可获得最大利润为 457500 元【点评】本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键21 （14 分）已知函数 f（x）=2sin（x） ，其中常数 0（1）若 y=f（x）在，上单调递增，求 的取值范围；第 19 页（共 24 页）（2）令 =2，将函数 y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 y=g（x）的图象，区间a，b（a，bR，且 ab）满足：y=g（x）在a，b上至少含有 30 个零点在所有满足上述条件的a，b中，求ba 的最小值【分析】 （1）已知函数 y=f（x）在上单调递增，且 0，利用正弦函数的单调性可得，且，解出即可；（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到 g（x）=2令 g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离若 ba 最小，则 a 和 b 都是零点，此时在区间a，m+a（mN*）恰有 2m+1 个零点，所以在区间a，14+a是恰有 29 个零点，从而在区间（14+a，b至少有一个零点，即可得到 a，b 满足的条件进一步即可得出ba 的最小值【解答】解：（1）函数 y=f（x）在上单调递增，且 0，且，解得（2）f（x）=2sin2x，把 y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移 1 个单位，得到，函数 y=g（x）=，令 g（x）=0，得，或 x=（kZ） 相邻两个零点之间的距离为或若 ba 最小，则 a 和 b 都是零点，此时在区间a，+a，a，2+a，a，m+a（mN*）分别恰有 3，5，2m+1 个零点，所以在区间a，14+a是恰有 29 个零点，从而在区间（14+a，b至少有一个零点，第 20 页（共 24 页）另一方面，在区间恰有 30 个零点，因此 ba 的最小值为【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力22 （16 分）如图，已知双曲线 C1：，曲线 C2：|y|=|x|+1，P 是平面内一点，若存在过点 P 的直线与 C1，C2都有公共点，则称 P 为“C1C2型点”（1）在正确证明 C1的左焦点是“C1C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证） ；（2）设直线 y=kx 与 C2有公共点，求证|k|1，进而证明原点不是“C1C2型点”；（3）求证：圆 x2+y2=内的点都不是“C1C2型点”【分析】 （1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（） ，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线 y=kx 与 C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与 C1和 C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线 y=x±1 与 y=x±1 之间，进而说明当|k|1 时过圆内的点且斜率为 k 的直线与 C2无公共点，当第 21 页（共 24 页）|k|1 时，过圆内的点且斜率为 k 的直线与 C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出 k 的范围，结果与|k|1 矛盾从而证明了结论【解答】 （1）解：C1的左焦点为（） ，写出的直线方程可以是以下形式：或，其中（2）证明：因为直线 y=kx 与 C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得若原点是“C1C2型点”，则存在过原点的直线与 C1、C2都有公共点考虑过原点与 C2有公共点的直线 x=0 或 y=kx（|k|1） 显然直线 x=0 与 C1无公共点如果直线为 y=kx（|k|1） ，则由方程组，得，矛盾所以直线 y=kx（|k|1）与 C1也无公共点因此原点不是“C1C2型点”（3）证明：记圆 O：，取圆 O 内的一点 Q，设有经过 Q 的直线 l 与C1，C2都有公共点，显然 l 不与 x 轴垂直，故可设 l：y=kx+b若|k|1，由于圆 O 夹在两组平行线 y=x±1 与 y=x±1 之间，因此圆 O 也夹在直线 y=kx±1 与 y=kx±1 之间，从而过 Q 且以 k 为斜率的直线 l 与 C2无公共点，矛盾，所以|k|1因为 l 与 C1由公共点，所以方程组有实数解，得（12k2）x24kbx2b22=0第 22 页（共 24 页）因为|k|1，所以 12k20，因此=（4kb）24（12k2） （2b22）=8（b2+12k2）0，即 b22k21因为圆 O 的圆心（0，0）到直线 l 的距离，所以，从而，得 k21，与|k|1 矛盾因此，圆内的点不是“C1C2型点”【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法属难题23 （18 分）给定常数 c0，定义函数 f（x）=2|x+c+4|x+c|数列a1，a2，a3，满足 an+1=f（an） ，nN*（1）若 a1=c2，求 a2及 a3；（2）求证：对任意 nN*，an+1anc；（3）是否存在 a1，使得 a1，a2，an，成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1；若不存在，说明理由【分析】 （1）对于分别取 n=1，2，an+1=f（an） ，nN*去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得 f（x）=，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及 c0，得 an+1an，即an为无穷递增数列分以下三种情况讨第 23 页（共 24 页）论：当 a1c4 时，当c4a1c 时，当 a1c 时即可得出 a1的取值范围【解答】解：（1）a2=f（a1）=f（c2）=2|c2+c+4|c2+c|=42=2，a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|2+c|=2（6+c）（c+2）=10+c（2）由已知可得 f（x）=当 anc 时，an+1an=c+8c；当c4anc 时，an+1an=2an+3c+82（c4）+3c+8=c；当 anc4 时，an+1an=2anc82（c4）c8=c对任意 nN*，an+1anc；（3）假设存在 a1，使得 a1，a2，an，成等差数列由（2）及 c0，得 an+1an，即an为无穷递增数列又an为等差数列，所以存在正数 M，当 nM 时，anc，从而 an+1=f（an）=an+c+8，由于an为等差数列，因此公差 d=c+8当 a1c4 时，则 a2=f（a1）=a1c8，又 a2=a1+d=a1+c+8，故a1c8=a1+c+8，即 a1=c8，从而 a2=0，当 n2 时，由于an为递增数列，故 ana2=0c，an+1=f（an）=an+c+8，而 a2=a1+c+8，故当 a1=c8 时，an为无穷等差数列，符合要求；若c4a1c，则 a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，3a1+3c+8=a1+c+8，得 a1=c，应舍去；若 a1c，则由 ana1得到 an+1=f（an）=an+c+8，从而an为无穷等差数列，符合要求第 24 页（共 24 页）综上可知：a1的取值范围为c8c，+） 【点评】本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力