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    2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ).doc

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    2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ).doc

    第 1 页(共 27 页)2014 年全国统一高考数学试卷(理科)年全国统一高考数学试卷(理科) (新课标(新课标)一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求有一个选项符合题目要求.1 (5 分)设集合 M=0,1,2,N=x|x23x+20,则 MN=( )A1 B2 C0,1 D1,22 (5 分)设复数 z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2=( )A5B5C4+i D4i3 (5 分)设向量 , 满足| + |=,| |=,则 =( )A1B2C3D54 (5 分)钝角三角形 ABC 的面积是,AB=1,BC=,则 AC=( )A5BC2D15 (5 分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A0.8 B0.75C0.6 D0.456 (5 分)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )第 2 页(共 27 页)ABCD7 (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入的 x,t 均为 2,则输出的 S=( )A4B5C6D78 (5 分)设曲线 y=axln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( )A0B1C2D3第 3 页(共 27 页)9 (5 分)设 x,y 满足约束条件,则 z=2xy 的最大值为( )A10B8C3D210 (5 分)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则OAB 的面积为( )ABCD11 (5 分)直三棱柱 ABCA1B1C1中,BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )ABCD12 (5 分)设函数 f(x)=sin,若存在 f(x)的极值点 x0满足x02+f(x0)2m2,则 m 的取值范围是( )A (,6)(6,+) B (,4)(4,+) C (,2)(2,+)D (,1)(1,+)二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分分.(第(第 13 题题第第 21 题为必考题,每题为必考题,每个试题考生都必须作答,第个试题考生都必须作答,第 22 题题第第 24 题为选考题,考生根据要求作答)题为选考题,考生根据要求作答)13 (5 分) (x+a)10的展开式中,x7的系数为 15,则 a= 14 (5 分)函数 f(x)=sin(x+2)2sincos(x+)的最大值为 15 (5 分)已知偶函数 f(x)在0,+)单调递减,f(2)=0,若 f(x1)0,则 x 的取值范围是 16 (5 分)设点 M(x0,1) ,若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得OMN=45°,则 x0的取值范围是 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤.17 (12 分)已知数列an满足 a1=1,an+1=3an+1第 4 页(共 27 页)()证明an+是等比数列,并求an的通项公式;()证明:+18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,E为 PD 的中点()证明:PB平面 AEC;()设二面角 DAEC 为 60°,AP=1,AD=,求三棱锥 EACD 的体积19 (12 分)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的数据如表:年份2007200820092010201120122013年份代号 t1234567人均纯收入 y2.93.33.64.44.85.25.9()求 y 关于 t 的线性回归方程;()利用()中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: =, = 20 (12 分)设 F1,F2分别是 C:+=1(ab0)的左,右焦点,M 是 C上一点且 MF2与 x 轴垂直,直线 MF1与 C 的另一个交点为 N第 5 页(共 27 页)(1)若直线 MN 的斜率为,求 C 的离心率;(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b21 (12 分)已知函数 f(x)=exex2x()讨论 f(x)的单调性;()设 g(x)=f(2x)4bf(x) ,当 x0 时,g(x)0,求 b 的最大值;()已知 1.41421.4143,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001) 请考生在第请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号分,作答时请写清题号.【选修选修 4-1:几何证明选讲:几何证明选讲】22 (10 分)如图,P 是O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与O相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交O 于点 E,证明:()BE=EC;()ADDE=2PB2【选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程】23在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 =2cos,0,()求 C 的参数方程;()设点 D 在半圆 C 上,半圆 C 在 D 处的切线与直线 l:y=x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,求直线 CD 的倾斜角及 D 的坐标六、解答题(共六、解答题(共 1 小题,满分小题,满分 0 分)分)24设函数 f(x)=|x+|+|xa|(a0) 第 6 页(共 27 页)()证明:f(x)2;()若 f(3)5,求 a 的取值范围第 7 页(共 27 页)2014 年全国统一高考数学试卷(理科)年全国统一高考数学试卷(理科) (新课标(新课标)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求有一个选项符合题目要求.1 (5 分)设集合 M=0,1,2,N=x|x23x+20,则 MN=( )A1 B2 C0,1 D1,2【分析】求出集合 N 的元素,利用集合的基本运算即可得到结论【解答】解:N=x|x23x+20=x|(x1) (x2)0=x|1x2,MN=1,2,故选:D【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础2 (5 分)设复数 z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2=( )A5B5C4+i D4i【分析】根据复数的几何意义求出 z2,即可得到结论【解答】解:z1=2+i 对应的点的坐标为(2,1) ,复数 z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,(2,1)关于虚轴对称的点的坐标为(2,1) ,则对应的复数,z2=2+i,则 z1z2=(2+i) (2+i)=i24=14=5,故选:A【点评】本题主要考查复数的基本运算,利用复数的几何意义是解决本题的关键,比较基础3 (5 分)设向量 , 满足| + |=,| |=,则 =( )第 8 页(共 27 页)A1B2C3D5【分析】将等式进行平方,相加即可得到结论【解答】解:| + |=,| |=,分别平方得+2 +=10,2 +=6,两式相减得 4 =106=4,即 =1,故选:A【点评】本题主要考查向量的基本运算,利用平方进行相加是解决本题的关键,比较基础4 (5 分)钝角三角形 ABC 的面积是,AB=1,BC=,则 AC=( )A5BC2D1【分析】利用三角形面积公式列出关系式,将已知面积,AB,BC 的值代入求出sinB 的值,分两种情况考虑:当 B 为钝角时;当 B 为锐角时,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosB 的值,利用余弦定理求出 AC 的值即可【解答】解:钝角三角形 ABC 的面积是,AB=c=1,BC=a=,S=acsinB=,即 sinB=,当 B 为钝角时,cosB=,利用余弦定理得:AC2=AB2+BC22ABBCcosB=1+2+2=5,即 AC=,当 B 为锐角时,cosB=,利用余弦定理得:AC2=AB2+BC22ABBCcosB=1+22=1,即 AC=1,此时 AB2+AC2=BC2,即ABC 为直角三角形,不合题意,舍去,则 AC=故选:B【点评】此题考查了余弦定理,三角形面积公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键第 9 页(共 27 页)5 (5 分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A0.8 B0.75C0.6 D0.45【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为 p,则由题意可得0.75×p=0.6,由此解得 p 的值【解答】解:设随后一天的空气质量为优良的概率为 p,则由题意可得0.75×p=0.6,解得 p=0.8,故选:A【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用,属于基础题6 (5 分)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )ABCD【分析】由三视图判断几何体的形状,通过三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解:几何体是由两个圆柱组成,一个是底面半径为 3 高为 2,一个是第 10 页(共 27 页)底面半径为 2,高为 4,组合体体积是:322+224=34底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯的体积为:32×6=54切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为:=故选:C【点评】本题考查三视图与几何体的关系,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力7 (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入的 x,t 均为 2,则输出的 S=( )A4B5C6D7【分析】根据条件,依次运行程序,即可得到结论【解答】解:若 x=t=2,则第一次循环,12 成立,则 M=,S=2+3=5,k=2,第二次循环,22 成立,则 M=,S=2+5=7,k=3,第 11 页(共 27 页)此时 32 不成立,输出 S=7,故选:D【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,比较基础8 (5 分)设曲线 y=axln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( )A0B1C2D3【分析】根据导数的几何意义,即 f(x0)表示曲线 f(x)在 x=x0处的切线斜率,再代入计算【解答】解:,y(0)=a1=2,a=3故选:D【点评】本题是基础题,考查的是导数的几何意义,这个知识点在高考中是经常考查的内容,一般只要求导正确,就能够求解该题在高考中,导数作为一个非常好的研究工具,经常会被考查到,特别是用导数研究最值,证明不等式,研究零点问题等等经常以大题的形式出现,学生在复习时要引起重视9 (5 分)设 x,y 满足约束条件,则 z=2xy 的最大值为( )A10B8C3D2【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分 ABC) 由 z=2xy 得 y=2xz,平移直线 y=2xz,由图象可知当直线 y=2xz 经过点 C 时,直线 y=2xz 的截距最小,第 12 页(共 27 页)此时 z 最大由,解得,即 C(5,2)代入目标函数 z=2xy,得 z=2×52=8故选:B【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法10 (5 分)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则OAB 的面积为( )ABCD【分析】由抛物线方程求出焦点坐标,由直线的倾斜角求出斜率,写出过A,B 两点的直线方程,和抛物线方程联立后化为关于 y 的一元二次方程,由根与系数关系得到 A,B 两点纵坐标的和与积,把OAB 的面积表示为两个小三角形 AOF 与 BOF 的面积和得答案【解答】解:由 y2=2px,得 2p=3,p=,则 F(,0) 过 A,B 的直线方程为 y=(x) ,即 x=y+第 13 页(共 27 页)联立 ,得 4y212y9=0设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=3,y1y2=SOAB=SOAF+SOFB=×|y1y2|=×=故选:D【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查数学转化思想方法,涉及直线和圆锥曲线关系问题,常采用联立直线和圆锥曲线,然后利用一元二次方程的根与系数关系解题,是中档题11 (5 分)直三棱柱 ABCA1B1C1中,BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )ABCD【分析】画出图形,找出 BM 与 AN 所成角的平面角,利用解三角形求出 BM与 AN 所成角的余弦值【解答】解:直三棱柱 ABCA1B1C1中,BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1的中点,如图:BC 的中点为 O,连结 ON,则 MN0B 是平行四边形,BM 与 AN 所成角就是ANO,BC=CA=CC1,设 BC=CA=CC1=2,CO=1,AO=,AN=,MB=,在ANO 中,由余弦定理可得:cosANO=故选:C第 14 页(共 27 页)【点评】本题考查异面直线对称角的求法,作出异面直线所成角的平面角是解题的关键,同时考查余弦定理的应用12 (5 分)设函数 f(x)=sin,若存在 f(x)的极值点 x0满足x02+f(x0)2m2,则 m 的取值范围是( )A (,6)(6,+) B (,4)(4,+) C (,2)(2,+)D (,1)(1,+)【分析】由题意可得,f(x0)=±,且 =k+,kZ,再由题意可得当m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为|m|,可得 m2 m2+3,由此求得 m 的取值范围【解答】解:由题意可得,f(x0)=±,即 =k+,kz,即 x0=m再由 x02+f(x0)2m2,即 x02+3m2,可得当 m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为|m|,m2 m2+3,m24 求得 m2,或 m2,故选:C【点评】本题主要正弦函数的图象和性质,函数的零点的定义,体现了转化的数学思想,属于中档题第 15 页(共 27 页)二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分分.(第(第 13 题题第第 21 题为必考题,每题为必考题,每个试题考生都必须作答,第个试题考生都必须作答,第 22 题题第第 24 题为选考题,考生根据要求作答)题为选考题,考生根据要求作答)13 (5 分) (x+a)10的展开式中,x7的系数为 15,则 a= 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 3,求出 r 的值,即可求得 x7的系数,再根据 x7的系数为 15,求得 a 的值【解答】解:(x+a)10的展开式的通项公式为 Tr+1=x10rar,令 10r=7,求得 r=3,可得 x7的系数为 a3=120a3=15,a=,故答案为:【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题14 (5 分)函数 f(x)=sin(x+2)2sincos(x+)的最大值为 1 【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f(x)=sinx,从而求得函数的最大值【解答】解:函数 f(x)=sin(x+2)2sincos(x+)=sin(x+)+2sincos(x+)=sin(x+)cos+cos(x+)sin2sincos(x+)=sin(x+)coscos(x+)sin=sin(x+)=sinx,故函数 f(x)的最大值为 1,故答案为:1【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用,正弦函数的最值,属于中档题15 (5 分)已知偶函数 f(x)在0,+)单调递减,f(2)=0,若 f(x1)第 16 页(共 27 页)0,则 x 的取值范围是 (1,3) 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为 f(|x1|)f(2) ,即可得到结论【解答】解:偶函数 f(x)在0,+)单调递减,f(2)=0,不等式 f(x1)0 等价为 f(x1)f(2) ,即 f(|x1|)f(2) ,|x1|2,解得1x3,故答案为:(1,3)【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用,将不等式等价转化为 f(|x1|)f(2)是解决本题的关键16 (5 分)设点 M(x0,1) ,若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得OMN=45°,则 x0的取值范围是 1,1 【分析】根据直线和圆的位置关系,画出图形,利用数形结合即可得到结论【解答】解:由题意画出图形如图:点 M(x0,1) ,要使圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得OMN=45°,则OMN 的最大值大于或等于 45°时一定存在点 N,使得OMN=45°,而当 MN 与圆相切时OMN 取得最大值,此时 MN=1,图中只有 M到 M之间的区域满足 MN1,x0的取值范围是1,1第 17 页(共 27 页)【点评】本题考查直线与圆的位置关系,直线与直线设出角的求法,数形结合是快速解得本题的策略之一三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤.17 (12 分)已知数列an满足 a1=1,an+1=3an+1()证明an+是等比数列,并求an的通项公式;()证明:+【分析】 ()根据等比数列的定义,后一项与前一项的比是常数,即=常数,又首项不为 0,所以为等比数列; 再根据等比数列的通项化式,求出an的通项公式;()将进行放大,即将分母缩小,使得构成一个等比数列,从而求和,证明不等式【解答】证明()=3,0,数列an+是以首项为,公比为 3 的等比数列;an+=,即;()由()知,第 18 页(共 27 页)当 n2 时,3n13n3n1,=,当 n=1 时,成立,当 n2 时,+1+=对 nN+时,+【点评】本题考查的是等比数列,用放缩法证明不等式,证明数列为等比数列,只需要根据等比数列的定义就行;数列与不等式常结合在一起考,放缩法是常用的方法之一,通过放大或缩小,使原数列变成一个等比数列,或可以用裂项相消法求和的新数列属于中档题18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,E为 PD 的中点()证明:PB平面 AEC;()设二面角 DAEC 为 60°,AP=1,AD=,求三棱锥 EACD 的体积【分析】 ()连接 BD 交 AC 于 O 点,连接 EO,只要证明 EOPB,即可证明PB平面 AEC;()延长 AE 至 M 连结 DM,使得 AMDM,说明CMD=60°,是二面角的平面角,求出 CD,即可三棱锥 EACD 的体积【解答】 ()证明:连接 BD 交 AC 于 O 点,连接 EO,O 为 BD 中点,E 为 PD 中点,第 19 页(共 27 页)EOPB, (2 分)EO平面 AEC,PB平面 AEC,所以 PB平面 AEC;(6 分)()解:延长 AE 至 M 连结 DM,使得 AMDM,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,CD平面 AMD,CDMD二面角 DAEC 为 60°,CMD=60°,AP=1,AD=,ADP=30°,PD=2,E 为 PD 的中点AE=1,DM=,CD=三棱锥 EACD 的体积为:=【点评】本题考查直线与平面平行的判定,几何体的体积的求法,二面角等指第 20 页(共 27 页)数的应用,考查逻辑思维能力,是中档题19 (12 分)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的数据如表:年份2007200820092010201120122013年份代号 t1234567人均纯收入 y2.93.33.64.44.85.25.9()求 y 关于 t 的线性回归方程;()利用()中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: =, = 【分析】 ()根据所给的数据,利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数,横标和纵标的积的和,与横标的平方和,代入公式求出 b 的值,再求出 a 的值,写出线性回归方程()根据上一问做出的线性回归方程,代入所给的 t 的值,预测该地区 2015年农村居民家庭人均纯收入,这是一个估计值【解答】解:()由题意, =×(1+2+3+4+5+6+7)=4,=×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, =0.5,= =4.30.5×4=2.3y 关于 t 的线性回归方程为=0.5t+2.3;第 21 页(共 27 页)()由()知,b=0.50,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加 0.5 千元将 2015 年的年份代号 t=9 代入=0.5t+2.3,得:=0.5×9+2.3=6.8,故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元【点评】本题考查线性回归分析的应用,本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数,这是整个题目做对的必备条件,本题是一个基础题20 (12 分)设 F1,F2分别是 C:+=1(ab0)的左,右焦点,M 是 C上一点且 MF2与 x 轴垂直,直线 MF1与 C 的另一个交点为 N(1)若直线 MN 的斜率为,求 C 的离心率;(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b【分析】 (1)根据条件求出 M 的坐标,利用直线 MN 的斜率为,建立关于a,c 的方程即可求 C 的离心率;(2)根据直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,以及|MN|=5|F1N|,建立方程组关系,求出 N 的坐标,代入椭圆方程即可得到结论【解答】解:(1)M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直,M 的横坐标为 c,当 x=c 时,y=,即 M(c,) ,若直线 MN 的斜率为,即 tanMF1F2=,即 b2=a2c2,即 c2+a2=0,则,第 22 页(共 27 页)即 2e2+3e2=0解得 e=或 e=2(舍去) ,即 e=()由题意,原点 O 是 F1F2的中点,则直线 MF1与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1的中点,设 M(c,y) , (y0) ,则,即,解得 y=,OD 是MF1F2的中位线,=4,即 b2=4a,由|MN|=5|F1N|,则|MF1|=4|F1N|,解得|DF1|=2|F1N|,即设 N(x1,y1) ,由题意知 y10,则(c,2)=2(x1+c,y1) 即,即代入椭圆方程得,将 b2=4a 代入得,解得 a=7,b=第 23 页(共 27 页)【点评】本题主要考查椭圆的性质,利用条件建立方程组,利用待定系数法是解决本题的关键,综合性较强,运算量较大,有一定的难度21 (12 分)已知函数 f(x)=exex2x()讨论 f(x)的单调性;()设 g(x)=f(2x)4bf(x) ,当 x0 时,g(x)0,求 b 的最大值;()已知 1.41421.4143,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001) 【分析】对第()问,直接求导后,利用基本不等式可达到目的;对第()问,先验证 g(0)=0,只需说明 g(x)在0+)上为增函数即可,从而问题转化为“判断 g(x)0 是否成立”的问题;对第()问,根据第()问的结论,设法利用的近似值,并寻求 ln2,于是在 b=2 及 b2 的情况下分别计算,最后可估计 ln2 的近似值【解答】解:()由 f(x)得 f(x)=ex+ex2,即 f(x)0,当且仅当 ex=ex即 x=0 时,f(x)=0,函数 f(x)在 R 上为增函数()g(x)=f(2x)4bf(x)=e2xe2x4b(exex)+(8b4)x,则 g(x)=2e2x+e2x2b(ex+ex)+(4b2)=2(ex+ex)22b(ex+ex)+(4b4)=2(ex+ex2) (ex+ex+22b) ex+ex2,ex+ex+24,第 24 页(共 27 页)当 2b4,即 b2 时,g(x)0,当且仅当 x=0 时取等号,从而 g(x)在 R 上为增函数,而 g(0)=0,x0 时,g(x)0,符合题意当 b2 时,若 x 满足 2ex+ex2b2 即,得,此时,g(x)0,又由 g(0)=0 知,当时,g(x)0,不符合题意综合、知,b2,得 b 的最大值为 2()1.41421.4143,根据()中 g(x)=e2xe2x4b(exex)+(8b4)x,为了凑配 ln2,并利用的近似值,故将 ln即代入 g(x)的解析式中,得当 b=2 时,由 g(x)0,得,从而;令,得2,当时,由 g(x)0,得,得所以 ln2 的近似值为 0.693【点评】1本题三个小题的难度逐步增大,考查了学生对函数单调性深层次的把握能力,对思维的要求较高,属压轴题2从求解过程来看,对导函数解析式的合理变形至关重要,因为这直接影响到对导数符号的判断,是解决本题的一个重要突破口3本题的难点在于如何寻求 ln2,关键是根据第(2)问中 g(x)的解析式探究 b 的值,从而获得不等式,这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值,达到了估值的目的第 25 页(共 27 页)请考生在第请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号分,作答时请写清题号.【选修选修 4-1:几何证明选讲:几何证明选讲】22 (10 分)如图,P 是O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与O相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交O 于点 E,证明:()BE=EC;()ADDE=2PB2【分析】 ()连接 OE,OA,证明 OEBC,可得 E 是的中点,从而 BE=EC;()利用切割线定理证明 PD=2PB,PB=BD,结合相交弦定理可得ADDE=2PB2【解答】证明:()连接 OE,OA,则OAE=OEA,OAP=90°,PC=2PA,D 为 PC 的中点,PA=PD,PAD=PDA,PDA=CDE,OEA+CDE=OAE+PAD=90°,OEBC,E 是的中点,BE=EC;()PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与O 相交于点 B,C,PA2=PBPC,PC=2PA,第 26 页(共 27 页)PA=2PB,PD=2PB,PB=BD,BDDC=PB2PB,ADDE=BDDC,ADDE=2PB2【点评】本题考查与圆有关的比例线段,考查切割线定理、相交弦定理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题【选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程】23在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 =2cos,0,()求 C 的参数方程;()设点 D 在半圆 C 上,半圆 C 在 D 处的切线与直线 l:y=x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,求直线 CD 的倾斜角及 D 的坐标【分析】 (1)利用即可得出直角坐标方程,利用 cos2t+sin2t=1 进而得出参数方程(2)利用半圆 C 在 D 处的切线与直线 l:y=x+2 垂直,则直线 CD 的斜率与直线 l 的斜率相等,即可得出直线 CD 的倾斜角及 D 的坐标【解答】解:(1)由半圆 C 的极坐标方程为 =2cos,0,即2=2cos,可得 C 的普通方程为(x1)2+y2=1(0y1) 第 27 页(共 27 页)可得 C 的参数方程为(t 为参数,0t) (2)设 D(1+cos t,sin t) ,由(1)知 C 是以 C(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆,直线 CD 的斜率与直线 l 的斜率相等,tant=,t=故 D 的直角坐标为,即(,) 【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题六、解答题(共六、解答题(共 1 小题,满分小题,满分 0 分)分)24设函数 f(x)=|x+|+|xa|(a0) ()证明:f(x)2;()若 f(3)5,求 a 的取值范围【分析】 ()由 a0,f(x)=|x+|+|xa|,利用绝对值三角不等式、基本不等式证得 f(x)2 成立()由 f(3)=|3+|+|3a|5,分当 a3 时和当 0a3 时两种情况,分别去掉绝对值,求得不等式的解集,再取并集,即得所求【解答】解:()证明:a0,f(x)=|x+|+|xa|(x+)(xa)|=|a+|=a+2=2,故不等式 f(x)2 成立()f(3)=|3+|+|3a|5,当 a3 时,不等式即 a+5,即 a25a+10,解得 3a当 0a3 时,不等式即 6a+5,即 a2a10,求得a3综上可得,a 的取值范围(,) 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题

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