2015年安徽省高考数学试卷（理科）.doc

第 1 页（共 22 页）2015 年安徽省高考数学试卷（理科）年安徽省高考数学试卷（理科）一一.选择题（每小题选择题（每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）正确的）1 （5 分）设 i 是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2 （5 分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）Ay=cosxBy=sinxCy=lnxDy=x2+13 （5 分）设 p：1x2，q：2x1，则 p 是 q 成立的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4 （5 分）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=±2x 的是（ ）Ax2=1 By2=1 Cx2=1 Dy2=15 （5 分）已知 m，n 是两条不同直线， 是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面6 （5 分）若样本数据 x1，x2，x10的标准差为 8，则数据2x11，2x21，2x101 的标准差为（ ）A8B15C16D327 （5 分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）第 2 页（共 22 页）A1+B2+C1+2D28 （5 分）ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 ， 满足=2 ，=2 + ，则下列结论正确的是（ ）A| |=1B C =1D （4 + ）9 （5 分）函数 f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c010 （5 分）已知函数 f（x）=Asin（x+） （A， 均为正的常数）的最小正周期为 ，当 x=时，函数 f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（ ）Af（2）f（2）f（0）Bf（0）f（2）f（2）Cf（2）f（0）f（2）Df（2）f（0）f（2）第 3 页（共 22 页）二二.填空题（每小题填空题（每小题 5 分，共分，共 25 分）分）11 （5 分） （x3+）7的展开式中的 x5的系数是 （用数字填写答案）12 （5 分）在极坐标系中，圆 =8sin 上的点到直线 =（R）距离的最大值是 13 （5 分）执行如图所示的程序框图（算法流程图） ，输出的 n 为 14 （5 分）已知数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列an的前 n 项和等于 15 （5 分）设 x3+ax+b=0，其中 a，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）a=3，b=3a=3，b=2a=3，b2a=0，b=2a=1，b=2三三.解答题（共解答题（共 6 小题，小题，75 分）分）16 （12 分）在ABC 中，A=，AB=6，AC=3，点 D 在 BC 边上，AD=BD，求 AD 的长17 （12 分）已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束第 4 页（共 22 页）（）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用（单位：元） ，求 X 的分布列和均值（数学期望）18 （12 分）设 nN*，xn是曲线 y=x2n+2+1 在点（1，2）处的切线与 x 轴交点的横坐标（）求数列xn的通项公式；（）记 Tn=x12x32x2n12，证明：Tn19 （13 分）如图所示，在多面体 A1B1D1DCBA 中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD 均为正方形，E 为 B1D1的中点，过 A1，D，E 的平面交CD1于 F（）证明：EFB1C；（）求二面角 EA1DB1的余弦值20 （13 分）设椭圆 E 的方程为+=1（ab0） ，点 O 为坐标原点，点 A的坐标为（a，0） ，点 B 的坐标为（0，b） ，点 M 在线段 AB 上，满足|BM|=2|MA|，直线 OM 的斜率为（）求 E 的离心率 e；（）设点 C 的坐标为（0，b） ，N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为，求 E 的方程21 （13 分）设函数 f（x）=x2ax+b第 5 页（共 22 页）（）讨论函数 f（sinx）在（，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（）记 f0（x）=x2a0x+b0，求函数|f（sinx）f0（sinx）|在，上的最大值 D；（）在（）中，取 a0=b0=0，求 z=b满足条件 D1 时的最大值第 6 页（共 22 页）2015 年安徽省高考数学试卷（理科）年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一.选择题（每小题选择题（每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）正确的）1 （5 分）设 i 是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论【解答】解：=i（1+i）=1+i，对应复平面上的点为（1，1） ，在第二象限，故选：B【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础2 （5 分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）Ay=cosxBy=sinxCy=lnxDy=x2+1【分析】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择【解答】解：对于 A，定义域为 R，并且 cos（x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于 B，sin（x）=sinx，是奇函数，由无数个零点；对于 C，定义域为（0，+） ，所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于 D，定义域为 R，为偶函数，都是没有零点；故选：A【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断求函数的定义域；如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（x）与 f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与 x 轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的第 7 页（共 22 页）3 （5 分）设 p：1x2，q：2x1，则 p 是 q 成立的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断【解答】解：由 1x2 可得 22x4，则由 p 推得 q 成立，若 2x1 可得 x0，推不出 1x2由充分必要条件的定义可得 p 是 q 成立的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题4 （5 分）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=±2x 的是（ ）Ax2=1 By2=1 Cx2=1 Dy2=1【分析】对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案【解答】解：由 A 可得焦点在 x 轴上，不符合条件；由 B 可得焦点在 x 轴上，不符合条件；由 C 可得焦点在 y 轴上，渐近线方程为 y=±2x，符合条件；由 D 可得焦点在 y 轴上，渐近线方程为 y=x，不符合条件故选：C【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题5 （5 分）已知 m，n 是两条不同直线， 是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面第 8 页（共 22 页）【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答【解答】解：对于 A，若 ， 垂直于同一平面，则 与 不一定平行，例如墙角的三个平面；故 A 错误；对于 B，若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行相交或者异面；故 B 错误；对于 C，若 ， 不平行，则在 内存在无数条与 平行的直线；故 C 错误；对于 D，若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故 D 正确；故选：D【点评】本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理6 （5 分）若样本数据 x1，x2，x10的标准差为 8，则数据2x11，2x21，2x101 的标准差为（ ）A8B15C16D32【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可【解答】解：样本数据 x1，x2，x10的标准差为 8，=8，即 DX=64，数据 2x11，2x21，2x101 的方差为 D（2X1）=4DX=4×64，则对应的标准差为=16，故选：C【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键7 （5 分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）第 9 页（共 22 页）A1+B2+C1+2D2【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；该几何体的表面积为S表面积=SPAC+2SPAB+SABC=×2×1+2××+×2×1=2+故选：B【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目8 （5 分）ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 ， 满足=2 ，=2 + ，则下列结论正确的是（ ）A| |=1B C =1D （4 + ）第 10 页（共 22 页）【分析】由题意，知道，根据已知三角形为等边三角形解之【解答】解：因为已知三角形 ABC 的等边三角形， ， 满足=2 ，=2 + ，又， 的方向应该为的方向所以，所以=2，=1×2×cos120°=1，4=4×1×2×cos120°=4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选：D【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系9 （5 分）函数 f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c0【分析】分别根据函数的定义域，函数零点以及 f（0）的取值进行判断即可【解答】解：函数在 P 处无意义，由图象看 P 在 y 轴右边，所以c0，得c0，f（0）=，b0，第 11 页（共 22 页）由 f（x）=0 得 ax+b=0，即 x=，即函数的零点 x=0，a0，综上 a0，b0，c0，故选：C【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及 f（0）的符号是解决本题的关键10 （5 分）已知函数 f（x）=Asin（x+） （A， 均为正的常数）的最小正周期为 ，当 x=时，函数 f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（ ）Af（2）f（2）f（0）Bf（0）f（2）f（2）Cf（2）f（0）f（2）Df（2）f（0）f（2）【分析】依题意可求 =2，又当 x=时，函数 f（x）取得最小值，可解得，从而可求解析式 f（x）=Asin（2x+） ，利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小【解答】解：依题意得，函数 f（x）的周期为 ，0，=2又当 x=时，函数 f（x）取得最小值，2×+=2k+，kZ，可解得：=2k+，kZ，f（x）=Asin（2x+2k+）=Asin（2x+） f（2）=Asin（4+）=Asin（4+2）0f（2）=Asin（4+）0，第 12 页（共 22 页）f（0）=Asin=Asin0，又4+2，而 f（x）=Asinx 在区间（，）是单调递减的，f（2）f（2）f（0） 故选：A【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题二二.填空题（每小题填空题（每小题 5 分，共分，共 25 分）分）11 （5 分） （x3+）7的展开式中的 x5的系数是 35 （用数字填写答案）【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第 r+1 项，整理成最简形式，令 x 的指数为 5 求得 r，再代入系数求出结果【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，Tr+1=；要求展开式中含 x5的项的系数，214r=5，r=4，可得：=35故答案为：35【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具12 （5 分）在极坐标系中，圆 =8sin 上的点到直线 =（R）距离的最大值是 6 【分析】圆 =8sin 化为 2=8sin，把代入可得直角坐标方程，直线 =（R）化为 y=x利用点到直线的距离公式可得圆心 C（0，4）第 13 页（共 22 页）到直线的距离 d，可得圆 =8sin 上的点到直线 =（R）距离的最大值=d+r【解答】解：圆 =8sin 化为 2=8sin，x2+y2=8y，化为 x2+（y4）2=16直线 =（R）化为 y=x圆心 C（0，4）到直线的距离 d=2，圆 =8sin 上的点到直线 =（R）距离的最大值=d+r=2+4=6故答案为：6【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13 （5 分）执行如图所示的程序框图（算法流程图） ，输出的 n 为 4 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a，n 的值，当 a=时不满足条件|a1.414|=0.002670.005，退出循环，输出 n 的值为 4【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a1.414|0.005，a=，n=2第 14 页（共 22 页）满足条件|a1.414|0.005，a=，n=3满足条件|a1.414|0.005，a=，n=4不满足条件|a1.414|=0.002670.005，退出循环，输出 n 的值为 4故答案为：4【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的 a，n的值是解题的关键，属于基础题14 （5 分）已知数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列an的前 n 项和等于 2n1 【分析】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列an的前 n 项和【解答】解：数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得 a1a4=8，解得 a1=1，a4=8，8=1×q3，q=2，数列an的前 n 项和为：=2n1故答案为：2n1【点评】本题考查等比数列的性质，数列an的前 n 项和求法，基本知识的考查15 （5 分）设 x3+ax+b=0，其中 a，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）a=3，b=3a=3，b=2a=3，b2a=0，b=2a=1，b=2【分析】对五个条件分别分析解答；利用数形结合以及导数，判断单调区间以及极值【解答】解：设 f（x）=x3+ax+b，f'（x）=3x2+a，a=3，b=3 时，令 f'（x）=3x23=0，解得 x=±1，x=1 时 f（1）=5，f（1）第 15 页（共 22 页）=1；并且 x1 或者 x1 时 f'（x）0，所以 f（x）在（，1）和（1，+）都是增函数，所以函数图象与 x 轴只有一个交点，故 x3+ax+b=0 仅有一个实根；如图a=3，b=2 时，令 f'（x）=3x23=0，解得 x=±1，x=1 时 f（1）=0，f（1）=4；如图a=3，b2 时，函数 f（x）=x33x+b，f（1）=2+b0，函数图象形状如图，所以方程 x3+ax+b=0 只有一个根；a=0，b=2 时，函数 f（x）=x3+2，f'（x）=3x20 恒成立，故原函数在 R 上是增函数；故方程方程 x3+ax+b=0 只有一个根；a=1，b=2 时，函数 f（x）=x3+x+2，f'（x）=3x2+10 恒成立，故原函数在 R第 16 页（共 22 页）上是增函数；故方程方程 x3+ax+b=0 只有一个根；综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是故答案为：【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之三三.解答题（共解答题（共 6 小题，小题，75 分）分）16 （12 分）在ABC 中，A=，AB=6，AC=3，点 D 在 BC 边上，AD=BD，求 AD 的长【分析】由已知及余弦定理可解得 BC 的值，由正弦定理可求得 sinB，从而可求cosB，过点 D 作 AB 的垂线 DE，垂足为 E，由 AD=BD 得：cosDAE=cosB，即可求得 AD 的长【解答】解：A=，AB=6，AC=3，在ABC 中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC22ABACcosBAC=90BC=34 分在ABC 中，由正弦定理可得：，sinB=，cosB=8 分过点 D 作 AB 的垂线 DE，垂足为 E，由 AD=BD 得：cosDAE=cosB，RtADE 中，AD=12 分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查第 17 页（共 22 页）17 （12 分）已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束（）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用（单位：元） ，求 X 的分布列和均值（数学期望）【分析】 （）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A，利用古典概型的概率求解即可（）X 的可能取值为：200，300，400求出概率，得到分布列，然后求解期望即可【解答】解：（）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A，则 P（A）=（）X 的可能取值为：200，300，400P（X=200）=P（X=300）=P（X=400）=1P（X=200）P（X=300）=X 的分布列为：X 200 300 400PEX=200×+300×+400×=350【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力18 （12 分）设 nN*，xn是曲线 y=x2n+2+1 在点（1，2）处的切线与 x 轴交点的第 18 页（共 22 页）横坐标（）求数列xn的通项公式；（）记 Tn=x12x32x2n12，证明：Tn【分析】 （1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标；（2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立【解答】解：（1）y'=（x2n+2+1）'=（2n+2）x2n+1，曲线 y=x2n+2+1 在点（1，2）处的切线斜率为 2n+2，从而切线方程为 y2=（2n+2） （x1）令 y=0，解得切线与 x 轴的交点的横坐标为，（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：Tn=x12x32x2n12=，当 n=1 时，当 n2 时，因为 x2n12=，所以 Tn；综上所述，可得对任意的 nN+，均有【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型19 （13 分）如图所示，在多面体 A1B1D1DCBA 中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD 均为正方形，E 为 B1D1的中点，过 A1，D，E 的平面交CD1于 F（）证明：EFB1C；（）求二面角 EA1DB1的余弦值第 19 页（共 22 页）【分析】 （）通过四边形 A1B1CD 为平行四边形，可得 B1CA1D，利用线面平行的判定定理即得结论；（）以 A 为坐标原点，以 AB、AD、AA1所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 Axyz，设边长为 2，则所求值即为平面 A1B1CD 的一个法向量与平面A1EFD 的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可【解答】 （）证明：B1C=A1D 且 A1B1=CD，四边形 A1B1CD 为平行四边形，B1CA1D，又B1C平面 A1EFD，B1C平面 A1EFD，又平面 A1EFD平面 B1CD1=EF，EFB1C；（）解：以 A 为坐标原点，以 AB、AD、AA1所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 Axyz 如图，设边长为 2，AD1平面 A1B1CD，=（0，2，2）为平面 A1B1CD 的一个法向量，设平面 A1EFD 的一个法向量为 =（x，y，z） ，又=（0，2，2） ，=（1，1，0） ，取 y=1，得 =（1，1，1） ，第 20 页（共 22 页）cos ，=，二面角 EA1DB1的余弦值为【点评】本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题20 （13 分）设椭圆 E 的方程为+=1（ab0） ，点 O 为坐标原点，点 A的坐标为（a，0） ，点 B 的坐标为（0，b） ，点 M 在线段 AB 上，满足|BM|=2|MA|，直线 OM 的斜率为（）求 E 的离心率 e；（）设点 C 的坐标为（0，b） ，N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为，求 E 的方程【分析】 （I）由于点 M 在线段 AB 上，满足|BM|=2|MA|，即，可得利用，可得（II）由（I）可得直线 AB 的方程为：=1，利用中点坐标公式可得N设点 N 关于直线 AB 的对称点为 S，线段 NS 的中点 T，又 AB 垂直平分线段 NS，可得 b，解得即可【解答】解：（I）点 M 在线段 AB 上，满足|BM|=2|MA|，第 21 页（共 22 页）A（a，0） ，B（0，b） ，=，a=b=（II）由（I）可得直线 AB 的方程为：=1，N设点 N 关于直线 AB 的对称点为 S，线段 NS 的中点 T，又 AB 垂直平分线段 NS，解得 b=3，a=3椭圆 E 的方程为：【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题21 （13 分）设函数 f（x）=x2ax+b（）讨论函数 f（sinx）在（，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（）记 f0（x）=x2a0x+b0，求函数|f（sinx）f0（sinx）|在，上的最大值 D；（）在（）中，取 a0=b0=0，求 z=b满足条件 D1 时的最大值【分析】 （）设 t=sinx，f（t）=t2at+b（1t1） ，讨论对称轴和区间的关系，第 22 页（共 22 页）即可判断极值的存在；（）结合不等式的性质求得最大值；（）由（）结合不等式的性质求得 z=b的最大值【解答】解：（）设 t=sinx，在 x（，）递增，即有 f（t）=t2at+b（1t1） ，f（t）=2ta，当 a2 时，f（t）0，f（t）递减，即 f（sinx）递减；当 a2 时，f（t）0，f（t）递增，即 f（sinx）递增即有 a2 或 a2 时，不存在极值当2a2 时，1t，f（t）0，f（sinx）递减；t1，f（t）0，f（sinx）递增f（sinx）有极小值 f（）=b；（）x时，|f（sinx）f0（sinx）|=|（aa0）sinx+bb0|aa0|+|bb0|当（aa0） （bb0）0 时，取 x=，等号成立；当（aa0） （bb0）0 时，取 x=，等号成立由此可知，|f（sinx）f0（sinx）|在，上的最大值为 D=|aa0|+|bb0|（）D1 即为|a|+|b|1，此时 0a21，1b1，从而 z=b1取 a=0，b=1，则|a|+|b|1，并且 z=b=1由此可知，z=b满足条件 D1 的最大值为 1【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题